🔟 தரம் 10 · அலகு 12 · P1

அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொது மடங்கு சிறியது

Lowest common multiple (LCM) of algebraic expressions

★★★☆☆ பொ.ம.சிஅட்சரகணிதம்

மூன்று ஐஸ்கிரீம் வண்டிகள் முறையே $3$, $6$, $8$ நாட்களுக்கு ஒருமுறை ஒரே இடத்துக்கு வருகின்றன. அவை எத்தனை நாட்களுக்குப் பின் மீண்டும் ஒரே நாளில் சந்திக்கும்? இதற்கான பதில் $3, 6, 8$ இன் பொது மடங்குகூட்டுச் சிறியது (LCM) — மூன்றாலும் வகுபடும் மிகச் சிறிய எண். அதே எண்ணம் அட்சரகணிதக் கோவைகளுக்கும் ($4a^2, 6ab$ போன்றவை), பின்னர் அட்சரகணிதப் பின்னங்களைக் கூட்ட/கழிக்கப் பயன்படும். இந்தப் பாடம் எண் LCM → கோவை LCM வரை செய்துகாட்டிக் கற்பிக்கிறது.

படி 1 — எண்களின் LCM (மீட்டல்)

ஒவ்வோர் எண்ணையும் முதன்மைக் காரணிகளின் வலுவாக எழுதி, ஒவ்வொரு முதன்மை எண்ணின் மிகப் பெரிய வலுவை எடுத்துப் பெருக்கு.

$6, 8, 12$: $6 = 2\times3$, $8 = 2^3$, $12 = 2^2\times3$.

முதன்மை எண்கள் $2, 3$. ஒவ்வொன்றின் மிகப் பெரிய வலு தேவை.

$2$ இன் பெரிய வலு $2^3$, $3$ இன் பெரிய வலு $3^1$: $$\text{LCM} = 2^3 \times 3 = 24$$

படி 2 — ஒற்றை உறுப்புக் கோவைகளின் LCM

அதே முறை — எண் காரணிகளுக்கும் எழுத்து மாறிகளுக்கும் மிகப் பெரிய வலுவை எடு.

$4a^2, 6ab, 8b$: $4a^2 = 2^2 a^2$, $6ab = 2\cdot3\cdot a\cdot b$, $8b = 2^3 b$.

பெரிய வலுக்கள்: $2^3,\ 3^1,\ a^2,\ b^1$: $$\text{LCM} = 2^3 \times 3 \times a^2 \times b = 24a^2b$$

எண்ணுக்கும் ($24$) ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ($a^2, b$) தனித்தனியே மிகப் பெரிய வலு.

படி 3 — ஈருறுப்புக் காரணிகள் கொண்ட கோவைகள்

$(x+2)$ போன்ற ஈருறுப்புக் காரணிகளையும் ஒரு "பகுதி" போலவே நடத்து — முதலில் காரணிப்படுத்து, பின் மிகப் பெரிய வலுவை எடு.

$2x+4$ உம் $3x-9$ உம்: காரணிப்படுத்து → $2x+4 = 2(x+2)$, $3x-9 = 3(x-3)$.

வேறுபட்ட காரணிகள் $2, 3, (x+2), (x-3)$: $$\text{LCM} = 2 \times 3 \times (x+2)(x-3) = 6(x+2)(x-3)$$

வலு கொண்ட காரணி: $15x^2,\ 20(x+1),\ 10(x+1)^2$ → பெரிய வலுக்கள் $2^2, 3, 5, x^2, (x+1)^2$: $$\text{LCM} = 60x^2(x+1)^2$$

↔ $(a-b)$ vs $(b-a)$ $(b-a) = -(a-b)$. எனவே $(b-a)$ உம் $(a-b)$ உம் ஒரே காரணி (குறி மட்டும் வேறு). LCM இல் ஒரே வடிவத்துக்கு மாற்றிக்கொள்: $(b-a), 2(a-b), 4a^2(a-b)^2$ → $\text{LCM} = -4a^2(a-b)^2$.

படி 4 — இருபடிக் காரணிகளும் சேர்ந்தபோது

இருபடிக் கோவை வந்தால் முதலில் அதை காரணிப்படுத்து (அலகு 7), பின் வழக்கம் போல LCM காண்.

$3(x+2)^2,\ x^2+5x+6,\ 2x^2+7x+3$ → காரணிப்படுத்து: $$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3), \quad 2x^2+7x+3 = (x+3)(2x+1)$$

வேறுபட்ட காரணிகள் $3, (x+2), (x+3), (2x+1)$; பெரிய வலு $(x+2)^2$: $$\text{LCM} = 3(x+2)^2(x+3)(2x+1)$$

⚠ பொதுவான தவறு காரணிப்படுத்தாமல் LCM காண முயலாதே — $x^2-9$ ஐ $(x-3)(x+3)$ ஆக்கியபின்தான் காரணிகள் தெரியும். ஒவ்வொரு வேறுபட்ட காரணியின் மிகப் பெரிய வலுவை மட்டும் எடு (எல்லா வலுக்களையும் பெருக்காதே).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$x(x+2)$ மற்றும் $x^2$ ஆகிய இரு கோவைகளின் மீ.சி.ம. (LCM) காண்க.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$xy$ மற்றும் $x^2$ ஆகிய இரு கோவைகளின் பொது மடங்குகளில் சிறியதை (மீ.சி.ம.) காண்க.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$3c^2$, $6xy$, $2y$ ஆகியவற்றின் மீ.சி.ம. (LCM) காண்க.

2024 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$6x^2$, $5xy$, $2y^2$ ஆகியவற்றின் மீ.சி.ம. (LCM) காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

LCM = எல்லாவற்றாலும் வகுபடும் மிகச் சிறிய கோவை.
ஒவ்வொரு வேறுபட்ட காரணியின் மிகப் பெரிய வலுவை எடுத்துப் பெருக்கு.
எண்ணுக்கும் ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ஈருறுப்புக் காரணிக்கும் தனித்தனியே பெரிய வலு.
ஈருறுப்பு/இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து.
$(b-a) = -(a-b)$ — ஒரே காரணி, குறி மட்டும் வேறு.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

எண் LCM: முதன்மைக் காரணி வலு → ஒவ்வொன்றின் பெரிய வலு பெருக்கு. $6,8,12 \to 2^3\cdot3 = 24$.
ஒற்றை உறுப்பு: எண் LCM × ஒவ்வொரு மாறியின் பெரிய வலு. $4a^2,6ab,8b \to 24a^2b$.
ஈருறுப்பு: காரணிப்படுத்து → $2x+4=2(x+2)$ → பெரிய வலு எடு.
இருபடி: முதலில் காரணிப்படுத்து (அலகு 7), பின் LCM. $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.
வர்க்க வித்தியாசம்: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ ஆக்கியபின் காரணி எடு.
பயன்பாடு: "எத்தனை நாட்களுக்குப் பின் மீண்டும்?" = கால இடைவெளிகளின் LCM.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

காரணிப்படுத்தாமல் LCM காண முயலாதே — முதலில் எல்லாவற்றையும் காரணிகளாக்கு.
எல்லா வலுக்களையும் பெருக்காதே — ஒவ்வொரு வேறுபட்ட காரணியின் மிகப் பெரிய வலு மட்டும்.
$(b-a)$ உம் $(a-b)$ உம் ஒரே காரணி — ஒரே வடிவத்துக்கு மாற்று.
பயன்பாட்டு வினா: சுழற்சி/மீண்டும் சந்திப்பு → LCM; "சம மீதி" வினா → LCM + மீதி.

📝 மேலும் பயிற்சி