🔥 மீட்டல் — தரம் 10

அலகு 1 — ஆரைச்சிறை

• வில்லின் நீளம் $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$
• ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360} + 2r$  ($+2r$ கூட்ட மற).
• அரைவட்ட வில் $= \pi r$ ; கால் வட்ட வில் $= \dfrac{\pi r}{2}$.
• பின்னம் $\dfrac{\theta}{360}$ = வில், முழுப் பரிதியின் என்ன பங்கு.
• NIE இல் $\pi = \dfrac{22}{7}$.

அலகு 2 — வர்க்கமூலம்

• வர்க்கமூலம் = வர்க்கத்தின் நேர்மாறு: $3^2=9 \Rightarrow \sqrt 9 = 3$.
• நிறைவாக்கங்கள்: $11^2{=}121 \dots 21^2{=}441,\ 25^2{=}625$ — மனப்பாடம் செய்.
• அண்ணளவாக்கம்: எண்ணை இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்து, கிட்டிய பக்கம் நோக்கி நகர்.
• வகுத்தல் முறை: இலக்கங்களை இரண்டிரண்டாக ($\overline{17}\ \overline{64}$) பிரி → விடையில் அவ்வளவு இலக்கம்.
• எச்சரிக்கை: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt a + \sqrt b$. முதலில் கூட்டு, பின் மூலம்.

அலகு 3 — பின்னங்கள்

• தொகுதி (மேல்) / பகுதி (கீழ்). வகைகள்: முறைமை · முறைமையில்லா · அலகு · கலப்பெண்.
• கூட்டல்/கழித்தல்: பொதுப் பகுதிக்கு மாற்று, பின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு/கழி.
• பெருக்கல்: தொகுதி×தொகுதி, பகுதி×பகுதி. "இன்" = பெருக்கல்.
• வகுத்தல்: இரண்டாம் பின்னத்தின் நிகர்மாறால் பெருக்கு ($\div\tfrac{a}{b} = \times\tfrac{b}{a}$).
• ஒழுங்கு: BODMAS — அடைப்பு → இன் → வகு/பெருக்கு → கூட்டு/கழி.

அலகு 4 — சதுரப்புக் கோவைகள்

• $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$  ·  $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
• $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ (வித்தியாச வர்க்கம்).
• பெருக்கம்: முதல் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இரண்டாம் கோவையின் ஒவ்வொன்றையும் பெருக்கு (4 பெருக்கல்).
• $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy$.
• எண் வர்க்கம்: $105^2=(100+5)^2$, $99^2=(100-1)^2$.

அலகு 5 — முக்கோணிகளின் ஒருங்கிணைவு

• நான்கு சந்தர்ப்பம்: ப.கோ.ப.(SAS) · கோ.கோ.ப.(AAS) · ப.ப.ப.(SSS) · செ.ப.ப.(RHS).
• ப.கோ.ப. இல் கோணம் இரு பக்கங்களுக்கு இடையே இருக்க வேண்டும். SSA போதாது.
• குறியீடு $\equiv$; எழுத்து வரிசையே ஒத்த உறுப்புகளைச் சொல்லும்.
• மறைந்த சமக் கூறுகள்: பொது பக்கம் · குத்துவெட்டுக் கோணம் · ஒன்று மாறு கோணம் · வட்ட ஆரை.
• ஒருங்கிணைந்தபின் "ஒத்த உறுப்புகள் சமம்" → மீதிப் பக்கம்/கோணம்.

அலகு 6 — பரப்பளவு

• ஆரைச்சிறைப் பரப்பு $= \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}$  (பரப்பில் $r^2$ — வர்க்கம்!).
• வில் (சுற்றளவு) $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$ — இதில் வர்க்கம் இல்லை. குழப்பாதே.
• அரைவட்டம் $=\dfrac12\pi r^2$, கால் வட்டம் $=\dfrac14\pi r^2$.
• அரைவட்டத்தில் $r = $ விட்டம் $\div 2$.
• முந்தைய: முக்கோணி $\frac12 ah$ · இணைகரம் $ah$ · சரிவகம் $\frac12(a+b)h$ · வட்டம் $\pi r^2$.

அலகு 7 — இருபடிக் கோவைகளின் காரணிகள்

• காரணிப்படுத்தல் = விரித்தலின் நேர்மாறு. எப்போதும் முதலில் பொதுக் காரணி தேடு.
• முவுறுப்பு: நடு உறுப்பைப் பிரி — பெருக்கல் = முதல்×கடைசி, கூட்டல் = நடு.
• குறிகள்: கடைசி $+$ → ஒரே குறி (நடு உறுப்பின்); கடைசி $-$ → எதிர் குறிகள்.
• வர்க்க வித்தியாசம்: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
• நிறை வர்க்கம்: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ — வர்க்க வித்தியாசத்துடன் குழப்பாதே.

அலகு 8 — முக்கோணிகள் I

• அகக் கோணக் கூட்டுத்தொகை $= 180°$.
• புறக் கோணம் $=$ அகத்தெதிர் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை.
• நேர்க்கோட்டில் கோணங்கள் $= 180°$; குத்தெதிர்க் கோணங்கள் சமம்.
• சமாந்தரம்: ஒன்றுவிட்ட = சமம், ஒத்த = சமம், ஒரே பக்க அகம் = $180°$.
• BOC விதி: $\hat{B},\hat{C}$ இருசமவெட்டிகள் → $B\hat{O}C = 90° + \tfrac12\hat{A}$.

அலகு 9 — முக்கோணிகள் II

• தேற்றம்: $AB=AC \Rightarrow A\hat{B}C = A\hat{C}B$ (சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்கள் சமம்).
• மறுதலை: $\hat{B}=\hat{C} \Rightarrow$ எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம் ($AC=AB$).
• அடிக் கோணம் $= \dfrac{180° - \text{உச்சிக் கோணம்}}{2}$.
• சமபக்க முக்கோணி → ஒவ்வொரு கோணமும் $60°$.
• மைய/பரிதிக் கோணம்: $B\hat{O}C = 2B\hat{A}C$.

அலகு 10 — நேர்மாறு விகிதசமன்

• நேர்மாறு: ஒன்று கூட மற்றொன்று குறையும். $xy = k$ (மாறிலி).
• நேர்: ஒன்று கூட மற்றொன்றும் கூடும். $\dfrac{x}{y} = k$.
• ஆட்கள் × நாட்கள் $=$ வேலையின் அளவு (மனித-நாட்கள், மாறாது).
• கதி × நேரம் $=$ தூரம் (மாறாது).
• இனங்காண: இரட்டித்தால் இரட்டிப்பு → நேர்; பாதி → நேர்மாறு.

அலகு 11 — தரவுகளை வகைப்படுத்தல்

• ஆரைச்சிறைக் கோணம் $= 360° \times \dfrac{\text{பகுதி}}{\text{மொத்தம்}}$.
• கோணம் → எண்ணிக்கை: $\text{மொத்தம்} \times \dfrac{\theta}{360}$.
• ஒரு அலகின் கோணம் $= \dfrac{360°}{\text{மொத்தம்}}$.
• எல்லாக் கோணமும் சேர்ந்து $360°$ — மீதிப் பகுதியைக் கழித்தல் மூலம் காண்.
• பின்னம் $= \dfrac{\theta}{360}$; சதவீதம் $= \dfrac{\theta}{360}\times100$.

அலகு 12 — அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொது மடங்கு சிறியது

• LCM = எல்லாவற்றாலும் வகுபடும் மிகச் சிறிய கோவை.
• ஒவ்வொரு வேறுபட்ட காரணியின் மிகப் பெரிய வலுவை எடுத்துப் பெருக்கு.
• எண்ணுக்கும் ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ஈருறுப்புக் காரணிக்கும் தனித்தனியே பெரிய வலு.
• ஈருறுப்பு/இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து.
• $(b-a) = -(a-b)$ — ஒரே காரணி, குறி மட்டும் வேறு.

அலகு 13 — அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

• பகுதிகளின் பொ.ம.க.சி ஐப் பொதுப் பகுதியாக்கு, பின் தொகுதிகளைக் கூட்டு/கழி.
• பகுதி ஒன்றானபின் தொகுதிகளை மட்டும் செய்.
• பகுதியில் இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து.
• கழித்தலில் முழுத் தொகுதியையும் எதிர்க்குறியாக்கு: $-(3x+1)$.
• கடைசியில் தொகுதி/பகுதி பொது காரணியால் சுருங்குமா எனப் பார்.

அலகு 14 — சதவீதம்

• தொகையின் $r\% = \text{தொகை}\times\dfrac{r}{100}$.
• சதவீதம் காண $= \dfrac{\text{பகுதி}}{\text{முழு}}\times100\%$.
• வரிக்கு/வட்டிக்குப் பின் மொத்தம் $= \text{தொகை}\times\dfrac{100+r}{100}$.
• எளிய வட்டி $I = \dfrac{PRT}{100}$.
• காலாண்டு இறை வரி $= $ ஆண்டு வரி $\div 4$.

அலகு 15 — சமன்பாடுகள்

• பின்னச் சமன்பாடு: ஒரே பின்னமாக்கு → குறுக்குப் பெருக்கல் → $x$ காண்.
• ஒருங்கமை: நீக்கல் (குணகம் சமப்படுத்தி கூட்டு/கழி) அல்லது பிரதியிடல்.
• இருபடி: $=0$ ஆக்கு → காரணிப்படுத்து → ஒவ்வொரு காரணி $=0$.
• இருபடிக்கு இரு மூலங்கள்; $x^2=k \Rightarrow x=\pm\sqrt{k}$.
• பெருக்கல் $0$ → ஒன்றேனும் காரணி $0$.

அலகு 16 — இணைகரங்கள் I

• இணைகரம் = இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் சமாந்தரம்.
• எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்; எதிர்க் கோணங்கள் சமம்.
• அடுத்த கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$.
• மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்கும் ($AO=OC$, $BO=OD$).
• ஒவ்வொரு மூலைவிட்டமும் பரப்பை இருசமமாகப் பிரிக்கும்.

அலகு 17 — இணைகரங்கள் II

• இணைகரம் என நிறுவ 4 நிபந்தனைகள் (ஏதேனும் ஒன்று போதும்).
• (1) எதிர்ப் பக்கம் சமம் (2) எதிர்க் கோணம் சமம் (3) மூலைவிட்டம் இருசமம் (4) ஒரு சோடி சமம்+சமாந்தரம்.
• செவ்வகம்: எல்லாக் கோணம் $90°$ + மூலைவிட்டம் சமம்.
• சாய்சதுரம்: எல்லாப் பக்கம் சமம் + மூலைவிட்டம் செங்கோணத்தில் இருசமம்.
• சதுரம்: செவ்வகம் + சாய்சதுரம்.

அலகு 18 — தொடைகள் (கணங்கள்)

• தொடை எழுத 4 வழி: சொற்களில் · பட்டியல் · வென் வரைபடம் · பிறப்பாக்கி வடிவம்.
• $A'$ = நிரப்பி (இல்லாதவை); $A\cap B$ = "உம்" (பொது); $A\cup B$ = "அல்லது" (அனைத்து).
• $n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$.
• முட்டற்ற ($A\cap B=\emptyset$): $n(A\cup B) = n(A)+n(B)$.
• பிறப்பாக்கி: $\{x : $ நிபந்தனை$\}$; $\mathbb{Z}$=முழுஎண், $\mathbb{Z}^+$=நேர் முழுஎண்.

அலகு 19 — மடக்கை I

• $a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$ (சட்டி ↔ மடக்கை வடிவம்).
• $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (பெருக்கல் → கூட்டல்).
• $\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$ (வகுத்தல் → கழித்தல்).
• $\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$.
• மடக்கையின் அடி எப்போதும் நேர் எண்.

அலகு 20 — மடக்கை II

• $\lg = \log_{10}$. மடக்கை $=$ சிறப்பியல்பு (புள்ளிக்கு முன்) $+$ தசமக்கூறு (புள்ளிக்குப் பின், அட்டவணையிலிருந்து).
• சிறப்பியல்பு $=$ முழுஎண் இலக்க எண்ணிக்கை $-1$. ($85.83 \to 1$).
• தசமக்கூறு இலக்கங்களைச் சார்ந்தது, இடத்தை அல்ல: $\lg 8.583, \lg 858.3$ — ஒரே தசமக்கூறு $9337$.
• முறன்மடக்கை: $\text{antilog}$ மடக்கையின் நேர்மாறு. சிறப்பியல்பு $\Rightarrow$ தசமப் புள்ளி இடம்.
• பெருக்கல் $\to$ மடக்கை கூட்டல்; வகுத்தல் $\to$ கழித்தல்; பின் antilog.

அலகு 21 — வரைபுகள்

• நேர்க்கோடு $y = mx + c$: $m$ = படித்திறன், $c$ = $y$-வெட்டுத்துண்டு.
• படித்திறன்: $m = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ — இரு புள்ளியையும் ஒரே வரிசையில் வை.
• பரவளைவு $y = ax^2 + b$: திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$, சமச்சீர் அச்சு $x = 0$.
• $a > 0$ → ∪ இழிவுப் புள்ளி; $a < 0$ → ∩ உயர்வுப் புள்ளி. பெறுமானம் $= b$.
• மூலங்கள் = பரவளைவு $x$-அச்சை வெட்டும் இடங்கள் ($y = 0$).

அலகு 22 — வீதம்

• கதி $= \dfrac{\text{தூரம்}}{\text{நேரம்}}$; தூரம் $=$ கதி $\times$ நேரம்; நேரம் $= \dfrac{\text{தூரம்}}{\text{கதி}}$.
• அலகு மாற்றம்: km/h $\to$ m/s $\times \dfrac{5}{18}$; m/s $\to$ km/h $\times \dfrac{18}{5}$.
• சராசரிக் கதி $= \dfrac{\text{மொத்தத் தூரம்}}{\text{மொத்த நேரம்}}$ (கதிகளின் சராசரி அல்ல).
• தூர–நேர வரைபின் படித்திறன் $=$ கதி.
• பாய்வு வீதம் $= \dfrac{\text{கனவளவு}}{\text{நேரம்}}$; $1\ \text{m}^3 = 1000$ l.

அலகு 23 — குத்திரங்கள்

• எழுவாய் = தனியாக ஒரு பக்கம் நிற்கும் கணியம். மற்றதை எழுவாயாக்க = அதைத் தனிமைப்படுத்து.
• எதிர்ச் செயலை இரு பக்கத்திலும் செய்: $+\leftrightarrow-$, $\times\leftrightarrow\div$, வர்க்கம் $\leftrightarrow$ மூலம்.
• $v = u + at \Rightarrow u = v - at$.
• $A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$.
• பிரதியீடு: ஒன்று தவிர மற்றதைப் போட்டுத் தெரியாததைக் காண்.

அலகு 24 — கூட்டல் விருத்தி

• கூட்டல் விருத்தி: அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசம் மாறாது.
• பொது வித்தியாசம் $d = T_n - T_{n-1}$.
• $n$ ஆம் உறுப்பு: $T_n = a + (n-1)d$.
• கூட்டுத்தொகை: $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ (இறுதி உறுப்பு தெரியின்).
• கூட்டுத்தொகை: $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ ($a, d$ தெரியின்).

அலகு 25 — அட்சரகணிதச் சமனிலிகள்

• சமனிலி: $>, <, \ge, \le$. தீர்வு ஒரு எண் வீச்சு.
• ⚠ மறையெண்ணால் ×/÷ செய்தால் குறி திரும்பும்: $> \to <$, $\ge \to \le$.
• கூட்டல்/கழித்தல், நேரெண்ணால் ×/÷ — குறி மாறாது.
• எண்கோடு: $\circ$ (திறந்த) = சேராது ($>,<$); $\bullet$ (நிறை) = சேரும் ($\ge,\le$).
• பிரதேசம்: புள்ளிக்கோடு = சேராது; தடிப்புக்கோடு = சேரும்.

அலகு 26 — மீட்டளன் பரம்பல்

• மீட்டளன் ($f$) = ஒரு வகுப்பாய்வில் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
• நடுப்பெறுமானம் $x = \dfrac{\text{கீழ் எல்லை} + \text{மேல் எல்லை}}{2}$.
• வீச்சு $=$ பெரிய $-$ சிறிய; பருமன் $=$ அடுத்தடுத்த வகுப்பு அகலம்.
• ஆகார வகுப்பு = அதிக மீட்டளன் உள்ள வகுப்பு.
• இடை $= \dfrac{\Sigma fx}{\Sigma f}$.

அலகு 27 — வட்டத்தின் நாண்கள்

• நாண் = வட்டத்தின் இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு. விட்டம் = மிக நீளமான நாண் $= 2r$.
• தேற்றம் 1: மையம் → நாண் நடுப்புள்ளி கோடு $\perp$ நாண்.
• தேற்றம் 2: மையத்திலிருந்து செங்குத்து நாணை இருசமக்கூறிடும்.
• பைதகரஸ்: $r^2 = d^2 + \left(\dfrac{\text{நாண்}}{2}\right)^2$.
• $OP = OQ$ ஆரைகள் → $\triangle OPQ$ இருசமபக்கம்.

அலகு 28 — அமைப்புகள்

• ஒழுக்கு = ஒரு நிபந்தனையை நிறைவேற்றும் எல்லாப் புள்ளிகளின் பாதை.
• நிலைப் புள்ளியிலிருந்து மாறாத் தூரம் → வட்டம்.
• இரு புள்ளிகளிலிருந்து சம தூரம் → செங்குத்து இருசமக்கூறி.
• கோட்டிலிருந்து மாறாத் தூரம் → இரு சமாந்தர கோடுகள்.
• இரு வெட்டும் கோடுகளிலிருந்து சம தூரம் → கோண இருசமக்கூறிகள்.

அலகு 29 — மேற்பரப்பளவும் கனவளவும்

• உருளை வளைப்பரப்பு $= 2\pi rh$; வட்ட முகம் $= \pi r^2$.
• உருளை மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$.
• உருளை கனவளவு $V = \pi r^2 h$.
• அரியம் கனவளவு $V = (\text{குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு}) \times \text{நீளம்}$.
• $\pi = \dfrac{22}{7}$ (ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருந்தால் எளிது).

அலகு 30 — நிகழ்தகவு

• நிகழ்தகவு $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$ (சாதகப் பெறு ÷ மொத்தப் பெறு).
• $0 \le P \le 1$. நிச்சயம் $=1$, இயலாமை $=0$.
• எளிய நிகழ்ச்சி = ஒரே பெறு; கூட்டு நிகழ்ச்சி = பல பெறு.
• நிரப்பி: $P(A') = 1 - P(A)$.
• நெடியாரி: மொத்தப் பெறு = வரிசை $\times$ நிரை (இரு நாணயம் $\to 4$).

அலகு 31 — வட்டத்தின் கோணங்கள்

• தேற்றம் 1: மையக் கோணம் $= 2 \times$ பரிதிக் கோணம். $A\hat{O}B = 2A\hat{C}B$.
• தேற்றம் 2: ஒரே துண்டக் கோணங்கள் சமம். $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$.
• தேற்றம் 3: அரைவட்டக் கோணம் $= 90°$ (விட்டத்தினால்).
• தேற்றம் 4: சுழற்சி நாற்பக்கம் எதிர்க் கோணங்கள் கூட்டு $= 180°$.
• துணை: ஆரைகள் சமம் → இருசமபக்க முக்கோணி.