🔟 தரம் 10 · அலகு 13 · P1

அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

Algebraic fractions

★★★★☆ அட்சரகணிதம்பின்னம்

கீதா ஒரு சோதனைக்கு $\dfrac{2}{x}$ லிட்டர் அமிலமும் $\dfrac{3}{2x}$ லிட்டர் நீரும் சேர்க்க வேண்டும் — மொத்தம் எவ்வளவு? எண் பின்னங்களைக் கூட்டுவது போலவே இங்கும் பொதுப் பகுதியை எடுத்துக் கூட்டுகிறோம் — ஆனால் $x, 2x$ போன்ற மாறிகள் பகுதியில் இருப்பதால் இது அட்சரகணிதப் பின்னம் (algebraic fraction). தொகுதியிலோ பகுதியிலோ அட்சரகணிதக் கோவை இருந்தால் அது அட்சரகணிதப் பின்னம்: $\dfrac{x}{4}$, $\dfrac{2x+1}{x+3}$ போன்றவை. இந்த அலகில் அலகு 3 (பின்னம்) + அலகு 7 (காரணி) + அலகு 12 (LCM) — மூன்றும் ஒன்றுசேர்கின்றன.

படி 1 — ஒற்றை உறுப்புப் பகுதிகள்

எண் பின்னம் போலவே: பகுதிகளின் பொ.ம.க.சி ஐப் பொதுப் பகுதியாக்கு, தொகுதிகளைச் சரிசெய், பின் கூட்டு/கழி.

$\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{2x}$: பகுதிகள் $x, 2x$ — பொ.ம.க.சி $2x$. $$= \frac{4}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{7}{2x}$$

$\dfrac2x = \dfrac{4}{2x}$ (மேலும் கீழும் $\times2$). பகுதி ஒன்றானதும் தொகுதிகளைக் கூட்டு.

$\dfrac{5}{3a} - \dfrac{3}{4a}$: பொ.ம.க.சி $12a$. $$= \frac{20}{12a} - \frac{9}{12a} = \frac{11}{12a}$$

வேறு மாறிகள்: $\dfrac{2}{3x} + \dfrac{5}{4y^2}$ → பொ.ம.க.சி $12xy^2$. $$= \frac{8y^2}{12xy^2} + \frac{15x}{12xy^2} = \frac{8y^2 + 15x}{12xy^2}$$

தொகுதி கூட்ட முடியாதவை ($8y^2, 15x$) என்பதால் அப்படியே வைத்திருக்கிறோம்.

படி 2 — ஈருறுப்புப் பகுதிகள்

பகுதிகள் $(x+3)$ போன்ற ஈருறுப்புகள் எனில், அவற்றின் பொ.ம.க.சி பெரும்பாலும் பெருக்கல் $(x+3)(x+4)$. தொகுதியை விரித்துச் சுருக்கு.

$\dfrac{2}{x+3} + \dfrac{3}{x+4}$: பொ.ம.க.சி $(x+3)(x+4)$. $$= \frac{2(x+4) + 3(x+3)}{(x+3)(x+4)}$$

தொகுதியை விரித்துச் சேர்: $$= \frac{2x+8+3x+9}{(x+3)(x+4)} = \frac{5x+17}{(x+3)(x+4)}$$

தொகுதியை மட்டும் விரி; பகுதியை காரணி வடிவிலேயே வை.

படி 3 — பகுதியில் இருபடிக் கோவை

பகுதியில் $x^2 - 3x - 10$ போன்ற இருபடிக் கோவை இருந்தால், முதலில் காரணிப்படுத்து (அலகு 7) — அப்போதுதான் பொதுப் பகுதி தெரியும்.

$\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x^2 - 3x - 10}$: காரணிப்படுத்து → $x^2-3x-10 = (x+2)(x-5)$. $$= \frac{1}{x+2} + \frac{1}{(x+2)(x-5)}$$

இப்போது பொ.ம.க.சி $(x+2)(x-5)$ தெளிவாகத் தெரிகிறது.

$$= \frac{(x-5) + 1}{(x+2)(x-5)} = \frac{x-4}{(x+2)(x-5)}$$

முடிவில் சுருங்குமா எனப் பார்: சில நேரங்களில் தொகுதி பகுதியின் ஒரு காரணியால் சுருங்கும். $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} - \dfrac{2}{x^2-1}$ இல், பகுதி $(x-1)(x+1)$; தொகுதி $4x-4 = 4(x-1)$ → $(x-1)$ சுருங்கி $\dfrac{4}{x+1}$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டாதே பகுதிகளையும் — பொதுப் பகுதிக்கு மாற்றியபின் தொகுதிகளை மட்டும். (2) கழித்தலில் முழுத் தொகுதியையும் எதிர்க்குறியாக்கு: $-\dfrac{3x+1}{x+2}$ இல் $-(3x+1)$. (3) இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்த மறக்காதே. (4) கடைசியில் சுருங்குமா எனப் பார்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

கூட்டுக: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x}$.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $\dfrac{1}{3x} - \dfrac{1}{4x} = \dfrac{1}{12}$.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சுருக்குக: $\dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{2x}$.
சுருக்குக: $\dfrac{3a}{10b} + \dfrac{9}{5b}$.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சுருக்குக: $\dfrac{ax}{2} + \dfrac{3a}{4x}$.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சுருக்குக: $\dfrac{3x}{y} \times \dfrac{5y^2}{6x}$.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

பகுதிகளின் பொ.ம.க.சி ஐப் பொதுப் பகுதியாக்கு, பின் தொகுதிகளைக் கூட்டு/கழி.
பகுதி ஒன்றானபின் தொகுதிகளை மட்டும் செய்.
பகுதியில் இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து.
கழித்தலில் முழுத் தொகுதியையும் எதிர்க்குறியாக்கு: $-(3x+1)$.
கடைசியில் தொகுதி/பகுதி பொது காரணியால் சுருங்குமா எனப் பார்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

ஒற்றை உறுப்பு: $\dfrac{5}{3a}-\dfrac{3}{4a}$ → பொ.ம.க.சி $12a$ → $\dfrac{20-9}{12a}=\dfrac{11}{12a}$.
வேறு மாறி: $\dfrac{2}{3x}+\dfrac{5}{4y^2}$ → $\dfrac{8y^2+15x}{12xy^2}$ (தொகுதி கூட்ட முடியாது).
ஈருறுப்பு: பொ.ம.க.சி பெரும்பாலும் பெருக்கல் $(x+3)(x+4)$. தொகுதியை மட்டும் விரி.
இருபடி: காரணிப்படுத்து → $x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$ → பொ.ம.க.சி தெளிவாகும்.
சுருங்கல்: $\dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{4}{x+1}$ — பொது காரணி நீக்கு.
பகுதியை காரணி வடிவிலேயே வை; தொகுதியை மட்டும் விரித்துச் சேர்.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

பகுதிகளைக் கூட்டாதே — பொதுப் பகுதிக்கு மாற்றி தொகுதிகளை மட்டும்.
கழித்தலில் அடைப்பு + எதிர்க்குறி கவனம்: $-(x+2)$.
இருபடி/வர்க்க வித்தியாசம் வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து (அலகு 7).
விடையில் சுருங்கும் வாய்ப்பைச் சோதி; பகுதியை காரணி வடிவில் விட்டுவிடலாம்.

📝 மேலும் பயிற்சி