🔟 தரம் 10 · அலகு 1 · P1

ஆரைச்சிறை

Circular sectors — arc length, perimeter of a sector & composite figures

★★★★☆ வில்லின் நீளம்சுற்றளவுமையக் கோணம்π

ஒரு பீட்சாவை வெட்டி ஒரு துண்டை எடுத்துப் பாருங்கள். அது ஒரு முழு வட்டத்தின் ஒரு துண்டு — மையத்திலிருந்து இரண்டு நேர் விளிம்புகள், வெளியே வளைந்த ஒரு விளிம்பு. கையில் பிடிக்கும் விசிறி, கடிகாரத்தின் இரண்டு முட்களுக்கு இடைப்பட்ட பகுதி, ஒரு துடுப்பு வண்டியின் (wiper) துடைக்கும் பகுதி — எல்லாம் இதே வடிவம்தான். கணிதத்தில் இதை ஆரைச்சிறை (circular sector) என்கிறோம். இந்தப் பாடத்தில் அந்த வளைந்த விளிம்பின் நீளத்தையும் (வில்லின் நீளம்), அந்தத் துண்டின் சுற்றளவையும் எப்படிக் கணிப்பது என்று செய்துகாட்டிக் கற்போம்.

ஆரைச்சிறை என்றால் என்ன?

ஒரு வட்டத்தின் இரண்டு ஆரைகளாலும் அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பரிதியின் ஒரு பகுதியாலும் சூழப்பட்ட பிரதேசமே ஆரைச்சிறை. அந்த இரு ஆரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் — அதாவது மையத்தில் உள்ள கோணம் — மையக் கோணம் ($\theta$) எனப்படும். வளைந்த விளிம்பு வில் (arc) எனப்படும்.

ஆரைச்சிறை — மையம் O, ஆரை r, மையக் கோணம் θ, வளைந்த விளிம்பு = வில்.

மையக் கோணம் $0°$ முதல் $360°$ வரை எந்தப் பெறுமானமும் ஆகலாம். இரண்டு பழக்கமான வடிவங்களை முதலில் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: மையக் கோணம் $180°$ எனில் அது ஓர் அரை வட்டம்; $90°$ எனில் ஒரு கால் வட்டம். இவை இரண்டும் ஆரைச்சிறையின் சிறப்பு வகைகளே.

படி 1 — வில்லின் நீளம்: ஒரு பெரிய எண்ணம்

இங்கே ஒரே ஒரு எளிய எண்ணத்தைப் புரிந்துகொண்டால் போதும்: ஆரைச்சிறை என்பது முழு வட்டத்தின் ஒரு பின்னம். ஒரு முழு வட்டத்தைச் சுற்றி வர வேண்டிய தூரம் (பரிதி) $2\pi r$ என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிவீர்கள். ஆரைச்சிறையின் வில் என்பது அந்த முழுப் பரிதியின் ஒரு துண்டு மட்டுமே — எவ்வளவு துண்டு? மையக் கோணம் எவ்வளவு பகுதியோ அவ்வளவே.

யோசித்துப் பாருங்கள்: முழு வட்டத்தின் மையக் கோணம் $360°$. உங்கள் ஆரைச்சிறையின் கோணம் $\theta$ எனில், அது முழுக் கோணத்தின் $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கு. எனவே வில்லும் முழுப் பரிதியின் அதே $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கே. இது தான் முழுப் பாடத்தின் திறவுகோல்.

வில்லின் நீளம் $$\text{வில்லின் நீளம்} \;=\; 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$

இதைச் சோதித்துப் பாருங்கள், நம்பிக்கை வரும்: அரை வட்டத்தில் $\theta = 180°$, எனவே $\dfrac{180}{360} = \dfrac{1}{2}$ — வில் முழுப் பரிதியின் பாதி, அதாவது $\dfrac{2\pi r}{2} = \pi r$. கால் வட்டத்தில் $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$ — பரிதியின் கால்பங்கு. சூத்திரம் நம் பொது அறிவோடு ஒத்துப்போகிறது. (NIE பாடநூலில் $\pi$ இன் பெறுமானம் $\dfrac{22}{7}$ எனக் கொள்ளப்படுகிறது.)

செய்துகாட்டல் 1 — வில்லின் நீளம் காண்க

ஓர் ஆரைச்சிறையின் ஆரை $7$ cm, மையக் கோணம் $45°$. அதன் வில்லின் நீளத்தைக் காண்க.

இது முழு வட்டத்தின் என்ன பின்னம் எனப் பார்ப்போம். $$\frac{\theta}{360} = \frac{45}{360} = \frac{1}{8}$$

ஏன்? வில் எப்போதும் பரிதியின் $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கு என்பதால், முதலில் அந்தப் பின்னத்தைச் சுருக்கிக் கொள்வது கணக்கை எளிதாக்கும்.

இப்போது பரிதியின் அந்தப் பங்கை எடுக்கிறோம். $$\text{வில்} = 2\pi r \times \frac{1}{8} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times \frac{1}{8}$$

$2\pi r$ முழுப் பரிதி; அதில் $\dfrac{1}{8}$ பங்கே நமக்குத் தேவை.

$7$ ஐ $\dfrac{22}{7}$ உடன் சுருக்க, $7$-கள் ஒன்றையொன்று நீக்கும். $$= 2 \times 22 \times \frac{1}{8} = \frac{44}{8} = 5.5 \text{ cm}$$

$\dfrac{22}{7} \times 7 = 22$ என்பதால் கணக்கு சுருங்குகிறது — பின்னங்களை முன்கூட்டியே சுருக்குவது நேரத்தைச் சேமிக்கும்.

விடை: வில்லின் நீளம் $= 5.5$ cm.

⭐ பரீட்சைக் குறிப்பு எண்களைப் பெருக்கும் முன் $\dfrac{\theta}{360}$ பின்னத்தைச் சுருக்கி, $\dfrac{22}{7}$ உடன் வரும் $7$, $14$, $21$ போன்ற எண்களை நீக்கிவிடுங்கள். கணிப்பான் இல்லாமல் கூட விடை சுலபமாக வரும்.

படி 2 — அதே சூத்திரத்தை திருப்பிப் பயன்படுத்தல்

அதே சூத்திரத்தில் எது தெரியாதோ அதைக் காண திருப்பிப் பயன்படுத்தலாம். வில் தெரிந்து ஆரை அல்லது கோணம் கேட்டால், அறியாததை $r$ அல்லது $\theta$ என வைத்து, சூத்திரத்தில் இட்டுத் தீர்க்கவே வேண்டும்.

செய்துகாட்டல 2 — வில் தெரிந்து ஆரை காண்க

மையக் கோணம் $120°$ ஆகவுள்ள ஓர் ஆரைச்சிறையின் வில்லின் நீளம் $44$ cm. வட்டத்தின் ஆரையைக் காண்க.

ஆரையை $r$ cm என வைத்து, தெரிந்தவற்றைச் சூத்திரத்தில் இடுவோம். $$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{120}{360}$$

அறியாததை எழுத்தால் (இங்கு $r$) குறித்து, அறிந்த சூத்திரத்தில் இடுவதே இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை உத்தி.

$\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ எனச் சுருக்கி வலப்பக்கத்தை ஒழுங்கு செய்வோம். $$44 = \frac{44}{7} \times r \times \frac{1}{3} = \frac{44r}{21}$$

பின்னத்தைச் சுருக்கியதும் வலப்பக்கம் ஒரே எளிய கோவையாகிறது — இப்போது $r$ ஐத் தனியே பிரிக்கலாம்.

இரு பக்கங்களையும் $21$ ஆல் பெருக்கி, $44$ ஆல் வகுப்போம். $$44 \times 21 = 44r \;\Rightarrow\; r = \frac{44 \times 21}{44} = 21 \text{ cm}$$

$44$ இரு பக்கங்களிலும் வருவதால் நீங்கி, $r$ நேராக வந்துவிடுகிறது.

விடை: ஆரை $= 21$ cm.

படி 3 — ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு

இப்போது சுற்றளவு. ஒரு துண்டின் முழு விளிம்பையும் சுற்றி வர நீங்கள் என்ன தூரம் நடக்க வேண்டும்? இரண்டு நேர் விளிம்புகள் (இரண்டு ஆரைகள்) + வளைந்த விளிம்பு (வில்). அவ்வளவுதான். வேறு எந்தப் புதிய சூத்திரமும் தேவையில்லை — வில்லின் நீளத்துடன் இரண்டு ஆரைகளைக் கூட்டுங்கள்.

ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு $$\text{சுற்றளவு} \;=\; \text{வில்லின் நீளம்} + 2r \;=\; 2\pi r \times \frac{\theta}{360} + 2r$$

⚠ பொதுவான தவறு பலர் வில்லின் நீளத்தை மட்டும் எழுதி நிறுத்திவிடுவார்கள். சுற்றளவு என்றால் இரண்டு ஆரைகளையும் ($+2r$) கூட்ட மறக்காதீர்கள். "சுற்றளவு" = முழுவதையும் சுற்றி வரும் தூரம்.

செய்துகாட்டல் 3 — சுற்றளவு காண்க

மையக் கோணம் $120°$, ஆரை $21$ cm உடைய ஓர் ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவைக் காண்க.

முதலில் வில்லின் நீளம். $$\text{வில்} = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times \frac{120}{360} = 132 \times \frac{1}{3} = 44 \text{ cm}$$

$2 \times \dfrac{22}{7} \times 21 = 132$ (பரிதி), அதில் $\dfrac{1}{3}$ பங்கே வில்.

இப்போது இரண்டு ஆரைகளைக் கூட்டுவோம். $$\text{சுற்றளவு} = 44 + 2 \times 21 = 44 + 42 = 86 \text{ cm}$$

வில் ($44$) + ஆரை + ஆரை ($2 \times 21$). இதுவே துண்டை முழுவதும் சுற்றி வரும் தூரம்.

விடை: சுற்றளவு $= 86$ cm.

செய்துகாட்டல் 4 — சுற்றளவு தெரிந்து ஆரை காண்க

ஒரு வட்டத்தின் $\dfrac{2}{3}$ பங்காகவுள்ள ஓர் ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு $260$ cm. அதன் ஆரையைக் காண்க.

கோணம் தரப்படவில்லை; ஆனால் "வட்டத்தின் $\dfrac{2}{3}$" என்பதே நமது பின்னம். வில்லை $r$ இல் எழுதுவோம். $$\text{வில்} = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{2}{3} = \frac{88r}{21}$$

$\dfrac{\theta}{360}$ க்குப் பதிலாக நேரடியாக $\dfrac{2}{3}$ ஐப் பயன்படுத்தலாம் — அதுவும் "முழுவட்டத்தின் பின்னம்"தானே.

சுற்றளவு = வில் $+ 2r$, அது $260$ க்குச் சமன். $$\frac{88r}{21} + 2r = 260$$

சுற்றளவுச் சூத்திரத்தில் அறிந்த பெறுமானத்தை இட்டால், ஒரு சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

பின்னத்தை நீக்க இரு பக்கத்தையும் $21$ ஆல் பெருக்குவோம். $$88r + 42r = 260 \times 21 \;\Rightarrow\; 130r = 5460$$

$21$ ஆல் பெருக்கியதும் பின்னம் மறையும்; $2r \times 21 = 42r$.

$$r = \frac{5460}{130} = 42 \text{ cm}$$

இறுதியாக $r$ ஐத் தனியே பிரித்தோம்.

விடை: ஆரை $= 42$ cm.

📐 கூட்டுத் தள உருவங்கள் செவ்வகம் + அரைவட்டம், சதுரத்திலிருந்து ஆரைச்சிறை வெட்டியது போன்ற கூட்டு உருவங்களின் சுற்றளவையும் இதே கருத்தால் காணலாம் — ஒவ்வொரு விளிம்பின் நீளத்தையும் தனித்தனியே கண்டு கூட்டுங்கள்; வளைந்த விளிம்புகளுக்கு வில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள். பகுதி II வினாக்களில் இவ்வகை அதிகம் வரும்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

வில்லின் நீளம் $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$
ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360} + 2r$ ($+2r$ கூட்ட மற).
அரைவட்ட வில் $= \pi r$ ; கால் வட்ட வில் $= \dfrac{\pi r}{2}$.
பின்னம் $\dfrac{\theta}{360}$ = வில், முழுப் பரிதியின் என்ன பங்கு.
NIE இல் $\pi = \dfrac{22}{7}$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

மைய எண்ணம்: ஆரைச்சிறை = முழு வட்டத்தின் $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கு. எனவே வில்லும் பரிதியின் அதே பங்கு.
வில் காண: $\dfrac{\theta}{360}$ ஐ முதலில் சுருக்கு; பின் $2\pi r$ ஆல் பெருக்கு.
r அல்லது θ காண: அறியாததை எழுத்தால் குறித்து வில் சூத்திரத்தில் இட்டுத் தீர்.
சுற்றளவு: வில் கண்டபின் இரண்டு ஆரைகளைக் ($2r$) கூட்டு.
சுற்றளவு தெரிந்தால்: $2r$ ஐக் கழித்து வில்லைக் கண்டு, பின் θ அல்லது r காண்.
கூட்டு உரு: ஒவ்வொரு விளிம்பையும் தனியே கண்டு கூட்டு; வளைவுக்கு வில், செங்கோண முக்கோணிக்கு பைதகரஸ் $a^2+b^2=c^2$.
சுருக்க உதவி: $2 \times \dfrac{22}{7} \times 7 = 44$, $\times 14 = 88$, $\times 21 = 132$, $\times 10.5 = 66$ (முழுப் பரிதிகள்).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

இரண்டு சூத்திரங்கள் மட்டும் — வில் $= 2\pi r\dfrac{\theta}{360}$, சுற்றளவு $= $ வில் $+2r$. மற்றதெல்லாம் இவற்றை திருப்பிப் பயன்படுத்துவதே.
அடிக்கடி வரும் வினை: வில் காண் · சுற்றளவு காண் · சுற்றளவு/வில் தெரிந்து r அல்லது θ காண் · கூட்டு உரு சுற்றளவு.
தவறு எச்சரிக்கை: சுற்றளவில் $+2r$ மறக்காதே; கூட்டு உருவில் அரைவட்டம் இணைந்த நேர்ப் பக்கத்தைச் சேர்க்காதே.
விடைகள் $7,14,21,10.5$ போன்ற எண்களாக வந்தால் சரியான பாதையில் இருக்கிறாய் — $\dfrac{22}{7}$ உடன் அழகாகச் சுருங்கும்.

📝 மேலும் பயிற்சி