🔟 தரம் 10 · அலகு 17 · P1

இணைகரங்கள் II

Parallelograms II — conditions & special types (rectangle, square, rhombus)

★★★★☆ இணைகரம்செவ்வகம்சாய்சதுரம்

ஒரு தரை வேலையாளர் ஒரு நாற்பக்கத் தரைத்தட்டை இணைகரமாக வெட்ட வேண்டும் — அதை எப்படிச் சரிபார்ப்பார்? அலகு 16 இல் "இணைகரம் எனில் இந்தப் பண்புகள் இருக்கும்" என்று கற்றோம். இந்த அலகு அதன் நேர்மாறு: "ஒரு நாற்பக்கம் எப்போது இணைகரம் என நிறுவலாம்?" ஒரு நாற்பக்கம் இணைகரம் என நிறுவ நான்கு வழிகள் உள்ளன — அவற்றுள் ஏதேனும் ஒன்றைக் காட்டினால் போதும். பின் சிறப்பு இணைகரங்களான செவ்வகம், சாய்சதுரம், சதுரம் இவற்றின் கூடுதல் பண்புகளையும் பார்ப்போம்.

இணைகரமாவதற்கான நான்கு நிபந்தனைகள்

ஒரு நாற்பக்கம் இணைகரம் ஆகும், எனில்…

(1) இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் சமம்; அல்லது
(2) இரு சோடி எதிர்க் கோணங்களும் சமம்; அல்லது
(3) மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்கும்; அல்லது
(4) ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் சமமும் சமாந்தரமும்.

இவற்றில் நான்காவது மிக அடிக்கடி பயன்படும் — ஒரே ஒரு பக்கச் சோடி சமம் + சமாந்தரம் எனக் காட்டினால் போதும் (இரண்டையும் தனித்தனியே காட்ட வேண்டியதில்லை).

படி 1 — நிபந்தனை சரிபார்த்தல்

நாற்பக்கம் $ABCD$ இல் $AB = DC = 8$, $AD = BC = 5$. இணைகரமா?

இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் சமம் (நிபந்தனை 1) → ஆம், இணைகரம்.

கோணங்கள் $110°, 70°, 110°, 70°$ (வரிசையாக). இணைகரமா?

எதிர்க் கோணங்கள் சமம் ($110°=110°$, $70°=70°$) (நிபந்தனை 2) → ஆம்.

எச்சரிக்கை: ஒரே ஒரு சோடி பக்கம் சமாந்தரம், ஆனால் சமம் அல்ல → இணைகரம் அல்ல (அது சரிவகம்/trapezium).

படி 2 — நிறுவல் (நிபந்தனை 4 பயன்படுத்தி)

எடுத்துக்காட்டு: $\Delta ABC$ இல் $T$ ஆனது $BC$ இன் நடுப்புள்ளி; $C$ வழியே $AB$ க்குச் சமாந்தரக் கோடு நீட்டப்பட்ட $AT$ ஐ $D$ இல் சந்திக்கிறது. $ABDC$ இணைகரம் என நிறுவு.

$AB \parallel CD$ தரப்பட்டது; $AB = CD$ எனக் காட்டினால் நிபந்தனை 4 பூர்த்தி.

$\Delta ABT$, $\Delta CDT$ இல்: $BT = TC$ (நடுப்புள்ளி), $\hat{ATB} = \hat{CTD}$ (குத்தெதிர்), $\hat{ABT} = \hat{TCD}$ (ஒன்றுவிட்ட) → $\Delta ABT \equiv \Delta CDT$ (கோ.கோ.ப.). $$\therefore AB = CD$$

இப்போது $AB = CD$ உம் $AB \parallel CD$ உம் → நிபந்தனை 4 → $ABDC$ இணைகரம்.

படி 3 — சிறப்பு இணைகரங்கள்

வடிவம்	கூடுதல் பண்புகள்
செவ்வகம்	எல்லாக் கோணமும் $90°$; மூலைவிட்டங்கள் சமம்.
சாய்சதுரம்	எல்லாப் பக்கமும் சமம்; மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் இருசமம்; உச்சிக் கோணத்தை இருசமம்.
சதுரம்	செவ்வகம் + சாய்சதுரம் — எல்லாப் பக்கமும் சமம், எல்லாக் கோணமும் $90°$; மூலைவிட்டங்கள் சமம் + செங்கோணத்தில் இருசமம்.

⭐ சாய்சதுரப் பக்கம் சாய்சதுர மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் இருசமமாக்குவதால், பக்கம் ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் கர்ணம்: $AC = 18$, $BD = 24$ எனில் பாதிகள் $9, 12$; பக்கம் $= \sqrt{9^2+12^2} = \sqrt{225} = 15$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) ஒரு பக்கச் சோடி சமாந்தரம் மட்டும் போதாது — சமமும் வேண்டும் (நிபந்தனை 4). (2) இணைகரம் என நிறுவ நான்கில் ஒன்றைத் தெளிவாகக் காட்டு. (3) செவ்வகம் ↔ சாய்சதுரம் பண்புகளைக் குழப்பாதே (செவ்வகம் = சம மூலைவிட்டம்; சாய்சதுரம் = செங்கோண மூலைவிட்டம்).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

இணைகரம் என நிறுவ 4 நிபந்தனைகள் (ஏதேனும் ஒன்று போதும்).
(1) எதிர்ப் பக்கம் சமம் (2) எதிர்க் கோணம் சமம் (3) மூலைவிட்டம் இருசமம் (4) ஒரு சோடி சமம்+சமாந்தரம்.
செவ்வகம்: எல்லாக் கோணம் $90°$ + மூலைவிட்டம் சமம்.
சாய்சதுரம்: எல்லாப் பக்கம் சமம் + மூலைவிட்டம் செங்கோணத்தில் இருசமம்.
சதுரம்: செவ்வகம் + சாய்சதுரம்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

நிபந்தனை 4 மிக அடிக்கடி: ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கம் சமம்+சமாந்தரம் எனக் காட்டு (இரண்டையும்).
நிறுவல் முறை: ஒரு ஒருங்கிணைவைக் காட்டி $\to$ பக்கம் சமம்/கோணம் சமம் $\to$ ஒரு நிபந்தனை.
மூலைவிட்ட நிபந்தனை: $OE=OF$ உம் $OB=OD$ உம் எனக் காட்டினால் இணைகரம்.
செவ்வகம் vs சாய்சதுரம்: செவ்வகம் = சம மூலைவிட்டம்; சாய்சதுரம் = செங்கோண மூலைவிட்டம்.
சாய்சதுரப் பக்கம்: பாதி மூலைவிட்டங்களைக் கொண்டு பைதகரஸ் — $\sqrt{9^2+12^2}=15$.
நடுப்புள்ளி இணைகரம்: எந்த நாற்பக்கத்தின் பக்க நடுப்புள்ளிகளும் இணைகரம் (Varignon).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

சமாந்தரம் மட்டும் போதாது — நிபந்தனை 4 க்கு சமமும் வேண்டும்.
இணைகரம் என நிறுவ நான்கில் ஒன்றைத் தெளிவாகக் காட்டு.
சிறப்பு வடிவ பண்புகளைக் குழப்பாதே (செவ்வகம்=சம மூலைவிட்டம், சாய்சதுரம்=செங்கோண மூலைவிட்டம்).
மூலைவிட்ட பாதிகளைக் கொண்டு சாய்சதுர/சதுரப் பக்கத்தைப் பைதகரஸால் காண்.

📝 மேலும் பயிற்சி