🔟 தரம் 10 · அலகு 7 · P1

இருபடிக் கோவைகளின் காரணிகள்

Factors of quadratic expressions

★★★★★ இருபடிகாரணிப்படுத்தல்

ஒரு செவ்வக தோட்டத்தின் பரப்பளவு $x^2+7x+10$ சதுர மீட்டர் என்று கொடுத்தால் — அதன் நீளமும் அகலமும் என்ன? பரப்பளவு = நீளம் × அகலம் என்பதால், நாம் கேட்கிறோம்: "எந்த இரு கோவைகளின் பெருக்கல் $x^2+7x+10$ ஆகும்?" அந்த கோவைகளைக் கண்டுபிடிக்கும் செயலே காரணிப்படுத்தல் (factorisation). விரித்தல் — $(x+2)(x+5)$ ஐ பெருக்கி $x^2+7x+10$ ஆக்குவது — ஒரு திசையில் செல்கிறது; காரணிப்படுத்தல் நேர்மாறு திசையில் செல்கிறது: நீண்ட கோவையைப் பார்த்து அதன் காரணிகளைக் கண்டுபிடிக்கிறது. இந்தப் பாடம் நான்கு முறைகளை — பொதுக் காரணி, குழுவாக்கல், நடு உறுப்புப் பிரித்தல், வர்க்க வித்தியாசம் — செய்துகாட்டிக் கற்பிக்கிறது. இவை கற்றால் இருபடிச் சமன்பாடுகள் மற்றும் அட்சரகணிதப் பின்னங்கள் (அடுத்த அலகுகள்) எல்லாம் எளிதாகும்.

படி 1 — பொதுக் காரணி (எளிமையானது)

எல்லா உறுப்புகளிலும் பொதுவான ஒன்றை வெளியே எடு. $4x^2 + 6x$ இல், $2x$ இரண்டிலும் பொது: $4x^2 + 6x = 2x(2x+3)$. சோதனை: $2x \times 2x = 4x^2$, $2x \times 3 = 6x$ ✓. எப்போதும் முதலில் பொதுக் காரணியைத் தேடு — அது மீதியை எளிதாக்கும்.

படி 2 — குழுவாக்கல் (grouping)

நான்கு உறுப்புகள் இருந்தால், இரண்டிரண்டாகக் குழுவாக்கி ஒவ்வொன்றிலும் பொதுக் காரணி எடு:

$a^2 - 2a + ab - 2b$: முதல் இரண்டில் $a$ பொது, அடுத்த இரண்டில் $b$ பொது. $$= a(a-2) + b(a-2)$$

இப்போது $(a-2)$ இரண்டு குழுவிலும் பொது — அதுவே சரியான குழுவாக்கம் என்பதற்கான அடையாளம்.

பொதுவான $(a-2)$ ஐ வெளியே எடு: $$= (a-2)(a+b)$$

படி 3 — முவுறுப்பு இருபடிக் கோவை (நடு உறுப்பைப் பிரித்தல்)

$ax^2 + bx + c$ வடிவம் — இதுவே மிக முக்கியம். உத்தி: நடு உறுப்பை இரண்டாகப் பிரி, அந்த இரண்டின் பெருக்கல் = முதல்×கடைசி உறுப்பு, கூட்டல் = நடு உறுப்பு ஆக இருக்க வேண்டும். பின் குழுவாக்கு.

$x^2 + 7x + 10$: முதல்×கடைசி $= x^2 \times 10 = 10x^2$; நடு $= 7x$. பெருக்கல் $10x^2$, கூட்டல் $7x$ தரும் இரு உறுப்பு: $2x$ உம் $5x$ உம்.

$2x \times 5x = 10x^2$ ✓, $2x + 5x = 7x$ ✓. இரண்டு நிபந்தனையும் பூர்த்தியாக வேண்டும்.

நடு உறுப்பை $2x + 5x$ எனப் பிரித்து, குழுவாக்கு: $$x^2 + 2x + 5x + 10 = x(x+2) + 5(x+2) = (x+2)(x+5)$$

🔑 குறிகளை விரைவாகத் தீர்மானித்தல் கடைசி உறுப்பு $+$ எனில் இரு எண்களும் ஒரே குறி (நடு உறுப்பின் குறி). கடைசி உறுப்பு $-$ எனில் எதிர் குறிகள் (பெரிய எண் நடு உறுப்பின் குறி). எ.கா. $x^2-3x-10$: கடைசி $-$, எனவே எதிர்க்குறி → $-5, +2$ → $(x-5)(x+2)$.

முதல் குணகம் $1$ அல்லாதபோதும் அதே முறை. $3x^2 + 14x + 15$: முதல்×கடைசி $= 45x^2$, நடு $14x$ → பிரி $5x + 9x$ ($5x \times 9x = 45x^2$, $5x+9x=14x$): $3x^2 + 5x + 9x + 15 = x(3x+5) + 3(3x+5) = (3x+5)(x+3)$.

படி 4 — இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்

$a^2 - b^2$ வடிவம் (இரண்டும் நிறை வர்க்கம், இடையே கழித்தல்) — ஒரே வரியில் காரணிப்படுத்தலாம்:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

$4x^2 - 9$: இரண்டையும் வர்க்க வடிவில் எழுது — $(2x)^2 - 3^2$. $$= (2x-3)(2x+3)$$

$4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$. வடிவத்தை அடையாளம் கண்டால் வேலை ஒரு வரியில் முடியும்.

பொதுக் காரணி + வித்தியாசம்: $8x^2 - 2 = 2(4x^2 - 1) = 2(2x-1)(2x+1)$.

முதலில் $2$ ஐ வெளியே எடுத்ததால் உள்ளே தூய வர்க்க வித்தியாசம் தெரிந்தது.

அடைப்புகளிலும் இதே வடிவம்: $(x+1)^2 - 4 = (x+1)^2 - 2^2 = [(x+1)-2][(x+1)+2] = (x-1)(x+3)$.

படி 5 — காரணிகளைச் சரிபார்த்தல் & பயன்படுத்தல்

காரணிகள் சரியா? திரும்பப் பெருக்கிப் பார் — மூலக் கோவை வந்தால் சரி. மேலும், காரணிகள் எண் கணக்கையும் எளிதாக்கும்: $8^2 + 7\times8 + 10$ ஐ நேரே செய்யாமல், $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$ என்பதைப் பயன்படுத்தி $(8+2)(8+5) = 10 \times 13 = 130$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) பொதுக் காரணியை மறந்து விடுவது — எப்போதும் முதலில் தேடு. (2) வர்க்க வித்தியாசத்தை $(a-b)^2$ உடன் குழப்புவது: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ ஆனால் $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. (3) குறி தவறு — கடைசி உறுப்பின் குறியைப் பார்த்து ஒரே/எதிர் குறி எனத் தீர்மானி.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $(x-1)(x-2) = 0$.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $x^2 - 36 = 0$.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $2x^2 - 8 = 0$.

2022 — வினாத்தாள் II (தெரிவு செய்த பகுதிகள்)

(வினா 3 இன் ஒரு பகுதி) சமன்பாடு $2r^2 + 4r - 6 = 0$ ஐத் தீர்க்க. (3)

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

காரணிப்படுத்தல் = விரித்தலின் நேர்மாறு. எப்போதும் முதலில் பொதுக் காரணி தேடு.
முவுறுப்பு: நடு உறுப்பைப் பிரி — பெருக்கல் = முதல்×கடைசி, கூட்டல் = நடு.
குறிகள்: கடைசி $+$ → ஒரே குறி (நடு உறுப்பின்); கடைசி $-$ → எதிர் குறிகள்.
வர்க்க வித்தியாசம்: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
நிறை வர்க்கம்: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ — வர்க்க வித்தியாசத்துடன் குழப்பாதே.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

நான்கு முறை: (1) பொதுக் காரணி (2) குழுவாக்கல் (4 உறுப்பு) (3) முவுறுப்பு நடு-உறுப்புப் பிரித்தல் (4) வர்க்க வித்தியாசம்.
முவுறுப்பு (a=1): பெருக்கல் $c$, கூட்டல் $b$ தரும் இரு எண் கண்டு நேராக $(x+p)(x+q)$.
முவுறுப்பு (a≠1): பெருக்கல் $= a\times c$ (உறுப்புடன்), கூட்டல் $= b$ → பிரித்து குழுவாக்கு. எ.கா. $6x^2+x-15$: $-90x^2$, $x$ → $10x, -9x$.
மறுவரிசை: $m^2-40+6m$ → $m^2+6m-40$ எனத் தரப்படுத்திப் பின் காரணி.
எதிர் முதல் உறுப்பு: $10-3x-x^2$ → $(2-x)(x+5)$ (அல்லது $-1$ வெளியே எடு).
அடைப்பு வர்க்க வித்.: $(x+1)^2-4 = [(x+1)-2][(x+1)+2]$.
எண் கணிப்பு: $8^2+7\cdot8+10 = (8+2)(8+5) = 130$ — காரணிகளால் வேகம்.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

எப்போதும் முதலில் பொதுக் காரணி; பின் வடிவத்தை அடையாளம் காண் (முவுறுப்பா? வர்க்க வித்தியாசமா?).
காரணிகளைத் திரும்பப் பெருக்கி மூலக் கோவை வருகிறதா எனச் சரிபார்.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ vs $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ — இரண்டையும் தெளிவாகப் பிரித்துணர்.
முழுமையாகக் காரணிப்படுத்து: $x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ — மேலும் காரணி உள்ளதா எனப் பார்.

📝 மேலும் பயிற்சி