🔟 தரம் 10 · அலகு 24 · P2

கூட்டல் விருத்தி

Number patterns / arithmetic growth

★★★☆☆ ஒழுங்குவிருத்தி

$3, 8, 13, 18, \ldots$ — ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தையதைவிட ஒரே அளவு ($5$) கூடுகிறது. இப்படி அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையேயான வித்தியாசம் மாறாதிருக்கும் தொடரே கூட்டல் விருத்தி (arithmetic progression). இந்த அலகு அந்த மாறா வித்தியாசம் ($d$), எந்த உறுப்பையும் காணும் சூத்திரம் $T_n = a + (n-1)d$, மற்றும் முதல் $n$ உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை $S_n$ — அனைத்தையும் செய்துகாட்டுகிறது.

படி 1 — பொது வித்தியாசம் $d$

பொது வித்தியாசம் $d = (\text{எந்தவொரு உறுப்பு}) - (\text{அதற்கு முன்னுள்ள உறுப்பு})$

$12, 17, 22, \ldots$: $d = 17 - 12 = 5$.

$10, 6, 2, \ldots$: $d = 6 - 10 = -4$ (குறையும் விருத்தி).

$d$ மாறாதிருந்தால் மட்டுமே கூட்டல் விருத்தி. $1, -1, 1, -1$ — $d$ மாறுவதால் அல்ல.

படி 2 — $n$ ஆம் உறுப்பு $T_n$

முதல் உறுப்பு $a$, பொது வித்தியாசம் $d$. $T_2 = a + d$, $T_3 = a + 2d$, … எனவே $n$ ஆம் உறுப்புக்கு $(n-1)$ தடவை $d$ சேர்க்கப்படுகிறது:

$n$ ஆம் உறுப்புச் சூத்திரம் $T_n = a + (n-1)d$

இதில் $a, d, n, T_n$ — நான்கு கணியங்கள். எவை மூன்று தெரிந்தாலும் நான்காவதைக் காணலாம்.

$T_n$ காணல்: $3, 7, 11, \ldots$ இல் $15$ ஆம் உறுப்பு. $a=3, d=4$: $T_{15} = 3 + 14 \times 4 = 3 + 56 = 59$.

$a$ காணல்: $d=4$, $T_{26}=105$: $105 = a + 25 \times 4 \Rightarrow a = 5$.

$d$ காணல்: $a=-32$, $T_{12}=1$: $1 = -32 + 11d \Rightarrow 11d = 33 \Rightarrow d = 3$.

$n$ காணல்: $30, 25, 20, \ldots$ இல் $-65$ எத்தனையாம்? $a=30, d=-5$: $-65 = 30 + (n-1)(-5) \Rightarrow -65 = 35 - 5n \Rightarrow 5n = 100 \Rightarrow n = 20$.

படி 3 — இரு உறுப்புகளிலிருந்து $a, d$ (ஒருங்கலை)

$T_7 = 38$, $T_{12} = 63$. சமன்பாடுகள்: $a + 6d = 38$ ①, $a + 11d = 63$ ②. ② $-$ ①: $5d = 25 \Rightarrow d = 5$; ① இல்: $a = 8$. எனவே $T_{20} = 8 + 19 \times 5 = 103$.

படி 4 — கூட்டுத்தொகை $S_n$

$3 + 5 + 7 + \cdots + 17$ ஐ முன்னும் பின்னுமாக எழுதிக் கூட்டினால், ஒவ்வொரு சோடியும் $a + l = 20$. $n$ சோடி $\Rightarrow 2S_n = n(a+l)$. இதிலிருந்து:

கூட்டுத்தொகை — இரு வடிவம் $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ (இறுதி உறுப்பு $l$ தெரியின்)
$S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ ($a, d$ தெரியின்)

$1 + 2 + \cdots + 100$: $a=1, l=100, n=100$. $S_{100} = \dfrac{100}{2}(101) = 5050$.

$5, 10, 15, \ldots$ முதல் $12$ உறுப்பு: $a=5, d=5$. $S_{12} = \dfrac{12}{2}\{10 + 11 \times 5\} = 6 \times 65 = 390$.

$n$ காணல்: $13, 11, 9, \ldots$ இல் கூட்டுத்தொகை $40$ ஆக எத்தனை உறுப்பு? $a=13, d=-2$: $40 = \dfrac{n}{2}\{26 - 2(n-1)\} \Rightarrow n^2 - 14n + 40 = 0 \Rightarrow (n-4)(n-10)=0$.

$n = 4$ உம் $n = 10$ உம் — இரண்டும் சரி! ($T_5$ முதல் $T_{10}$ வரை கூட்டுத்தொகை $0$ என்பதால்.)

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $T_n = a + (n-1)d$ — $(n-1)$, $n$ அல்ல. (2) $S_n$: இறுதி உறுப்பு தெரியின் $\dfrac{n}{2}(a+l)$, இல்லையேல் $\dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$. (3) $S_n = 40$ போன்ற கணக்கில் இருபடிச் சமன்பாடு வரும் — இரண்டு விடைகளும் சரியாகலாம். (4) $n$ ஓர் இயல் எண்ணாக இல்லையேல் அவ்வுறுப்பு இல்லை.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

கூட்டல் விருத்தி: அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசம் மாறாது.
பொது வித்தியாசம் $d = T_n - T_{n-1}$.
$n$ ஆம் உறுப்பு: $T_n = a + (n-1)d$.
கூட்டுத்தொகை: $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ (இறுதி உறுப்பு தெரியின்).
கூட்டுத்தொகை: $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ ($a, d$ தெரியின்).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$a, d, n, T_n$ — மூன்று தெரிந்தால் நான்காவதை $T_n = a+(n-1)d$ இல் காண்.
எ.கா: $3,7,11,\ldots$ $T_{15} = 3 + 14(4) = 59$.
இரு உறுப்பு → ஒருங்கலை: $T_7=38, T_{12}=63 \Rightarrow d=5, a=8$.
கூட்டுத்தொகை: $1+\cdots+100 = \dfrac{100}{2}(101) = 5050$.
$5,10,\ldots$ முதல் $12$: $S_{12} = 6(10+55) = 390$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

$S_n$ → $n$ காணல் இருபடி தரும்: $13,11,9,\ldots$ $S_n=40 \Rightarrow n=4$ அல்லது $10$ (இரண்டும் சரி).
எண்தொகுதி: $5$ இன் மடங்குகள் $<200$: $n=39$, $S=3900$.
ஒற்றை எண் $2$–$180$: $3,\ldots,179$, $n=89$, $S=8099$.
எச்சரிக்கை: $T_n=a+(n-1)d$ இல் $(n-1)$; $n$ இயல் எண் இல்லையேல் அவ்வுறுப்பு இல்லை.

📝 மேலும் பயிற்சி