🔟 தரம் 10 · அலகு 19 · P2

மடக்கை I

Logarithms I — index↔log form, log rules

★★★★☆ மடக்கைஅடுக்கு

"$2$ ஐ எத்தனை முறை பெருக்கினால் $8$ வரும்?" — பதில் $3$ ($2^3 = 8$). இந்தக் கேள்விக்குப் பதிலளிக்கும் கருவியே மடக்கை (logarithm): $\log_2 8 = 3$. பெருக்கல்/வகுத்தலைக் கூட்டல்/கழித்தலாக மாற்றி, பெரிய கணக்குகளை எளிதாக்குவதற்காக ஜான் நேப்பியர் இதைக் கண்டுபிடித்தார். இந்தப் பாடம் சட்டி வடிவம் ↔ மடக்கை வடிவம் மாற்றத்தையும், மடக்கை விதிகளையும் செய்துகாட்டிக் கற்பிக்கிறது.

படி 1 — சட்டி வடிவம் ↔ மடக்கை வடிவம்

இரண்டும் ஒரே உண்மையை இரு வழிகளில் சொல்கின்றன. $a^x = N$ (சட்டி வடிவம்) என்பதே $\log_a N = x$ (மடக்கை வடிவம்).

$$a^x = N \quad\Longleftrightarrow\quad \log_a N = x$$

படிக்கும் முறை: $\log_a N$ = "$a$ ஐ எந்த வலுவுக்கு உயர்த்தினால் $N$ வரும்?". எடுத்துக்காட்டுகள்: $2^3 = 8 \Leftrightarrow \log_2 8 = 3$; $3^2 = 9 \Leftrightarrow \log_3 9 = 2$; $10^3 = 1000 \Leftrightarrow \log_{10} 1000 = 3$.

📌 இரு அடிப்படை உண்மைகள் $\log_a a = 1$ (ஏனெனில் $a^1 = a$) • $\log_a 1 = 0$ (ஏனெனில் $a^0 = 1$). $1$ இலும் சிறிய எண்களின் மடக்கை மறை: $\log_2(\tfrac18) = -3$ ($\tfrac18 = 2^{-3}$).

படி 2 — மடக்கைச் சமன்பாடு தீர்த்தல்

தெரியாதது எங்கிருந்தாலும், சட்டி வடிவத்திற்கு மாற்றித் தீர்.

$\log_2 64 = x$: சட்டி வடிவம் → $2^x = 64 = 2^6$, எனவே $x = 6$.

$\log_x 81 = 4$: $x^4 = 81 = 3^4$, எனவே $x = 3$.

$x = \pm3$ ஆனாலும், மடக்கையின் அடி நேராக இருக்க வேண்டும் → $x = 3$ மட்டும்.

$\log_5 x = 2$: $x = 5^2 = 25$.

படி 3 — மடக்கை விதிகள்

மடக்கையின் மந்திரம்: அடிகளில் வலுக்களைப் பெருக்கும்போது சட்டிகள் கூட்டப்படுகின்றன ($2^4 \times 2^5 = 2^{4+5}$). இதை மடக்கை வடிவில் எழுதினால்:

பெருக்கல் விதி: $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$
வகுத்தல் விதி: $\log_a\!\left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$

"பெருக்கலின் மடக்கை = மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை; வகுத்தலின் மடக்கை = மடக்கைகளின் வித்தியாசம்."

பெறுமானம் காண்: $\log_4 32 + \log_4 2 = \log_4(32\times2) = \log_4 64 = 3$ ($64 = 4^3$).

பல உறுப்பு: $\log_{10} 25 + \log_{10} 8 - \log_{10} 2 = \log_{10}\!\left(\dfrac{25\times8}{2}\right) = \log_{10} 100 = 2$.

கூட்டல் → தொகுதியில் பெருக்கல்; கழித்தல் → பகுதியில். ஒரே மடக்கையாக்கி, பின் பெறுமானம்.

சார்பில் தருதல்: $18 = 2\times3\times3$, எனவே $\log_a 18 = \log_a 2 + 2\log_a 3$.

சமன்பாடு: $\log_a 5 + \log_a x = \log_a 3 + \log_a 10 - \log_a 2$ → $\log_a(5x) = \log_a\!\left(\dfrac{30}{2}\right)$: $$5x = 15 \;\Rightarrow\; x = 3$$

இரு பக்கமும் ஒரே மடக்கையாக்கியதும், அடிக்குள் உள்ளவை சமம் → $5x = 15$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $\log_a(m+n)$ ஆனது $\log_a m + \log_a n$ அல்ல — விதிகள் பெருக்கல்/வகுத்தலுக்கு மட்டுமே. (2) மடக்கையின் அடி எப்போதும் நேர் எண் (மறை அடி கிடையாது). (3) $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$ ஐ மனப்பாடம் செய்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

$a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$ (சட்டி ↔ மடக்கை வடிவம்).
$\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (பெருக்கல் → கூட்டல்).
$\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$ (வகுத்தல் → கழித்தல்).
$\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$.
மடக்கையின் அடி எப்போதும் நேர் எண்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

வடிவ மாற்றம்: "$a$ ஐ எந்த வலுவுக்கு உயர்த்தினால் $N$?" $= \log_a N$.
சமன்பாடு: சட்டி வடிவத்திற்கு மாற்று. $\log_x 81 = 4 \Rightarrow x^4 = 81 \Rightarrow x = 3$ (அடி நேர்).
விதிப் பயன்பாடு: கூட்டல் → தொகுதியில் பெருக்கல், கழித்தல் → பகுதியில். ஒரே மடக்கையாக்கி பெறுமானம்.
சார்பில் தருதல்: எண்ணை முதன்மைக் காரணியாக்கு — $45 = 3^2\times5 \Rightarrow 2\log_a3 + \log_a5$.
சமன்பாடு தீர்: இரு பக்கமும் ஒரே மடக்கை → அடிக்குள் சமன். $1 = \log_a a$ ஐப் பயன்படுத்து.
பெறுமானம்: $\log_4 64 = 3$, $\log_{10} 100 = 2$ — அடியின் வலுவாக மாற்று.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

$\log_a(m+n) \neq \log_a m + \log_a n$ — விதிகள் பெருக்கல்/வகுத்தலுக்கு மட்டுமே.
மடக்கை அடி நேர் எண் (மறை/பூச்சியம் அல்ல).
$\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$ — மனப்பாடம்.
சமன்பாட்டில் $1$ ஐ $\log_a a$ ஆக எழுதி இணைக்கலாம்.

📝 மேலும் பயிற்சி