🔟 தரம் 10 · அலகு 20 · P2

மடக்கை II

Logarithms II — calculations using logarithms

★★★★☆ மடக்கைகணிப்பு

கணிப்பான் வருவதற்கு முன், $594.2 \times 9.275 \div 84.21$ போன்ற கடினமான கணக்குகளை மக்கள் மடக்கை அட்டவணை கொண்டு செய்தனர் — பெருக்கலைக் கூட்டலாகவும் வகுத்தலைக் கழித்தலாகவும் மாற்றி. இந்த அலகு அந்த அட்டவணையைப் படிக்கும் முறையை (தசமக்கூறு + சிறப்பியல்பு), முறன்மடக்கை (antilog) ஐ, பின் மடக்கையால் பெருக்கல்/வகுத்தல் செய்வதைச் செய்துகாட்டுகிறது. (இங்கு பயிற்சிகளில் அட்டவணைப் பெறுமானங்கள் தரப்படுகின்றன — நீங்கள் முறையில் கவனம் செலுத்தலாம்.)

படி 1 — தசமக்கூறும் சிறப்பியல்பும்

$10$ ஐ அடியாகக் கொண்ட மடக்கையை $\lg$ எனச் சுருக்குவோம் ($\lg = \log_{10}$). எந்த எண்ணின் மடக்கையும் இரு பகுதி: சிறப்பியல்பு (தசமப் புள்ளிக்கு முன், முழுஎண்) + தசமக்கூறு (புள்ளிக்குப் பின், அட்டவணையிலிருந்து). எடுத்துக்காட்டு: $\lg 85.83 = 1.9337$ — சிறப்பியல்பு $1$, தசமக்கூறு $9337$.

சிறப்பியல்பு விதி ($1$ இலும் பெரிய எண்) சிறப்பியல்பு $=$ (முழுஎண் பகுதியின் இலக்க எண்ணிக்கை) $-\ 1$

ஏன்? எண்ணை விஞ்ஞான முறையில் ($a \times 10^n$, $1 \le a < 10$) எழுதினால், $\lg = \lg a + n$; இங்கு $n$ = சிறப்பியல்பு, $\lg a$ = தசமக்கூறு. முக்கியம்: $8.583, 85.83, 858.3$ எல்லாவற்றுக்கும் தசமக்கூறு ஒன்றே ($9337$); சிறப்பியல்பு மட்டுமே மாறும் ($0, 1, 2$).

படி 2 — முறன்மடக்கை (antilog)

மடக்கையின் நேர்மாறு: $\lg 59.3 = 1.7731$ எனில் $\text{antilog}\,1.7731 = 59.3$. தசமக்கூறு அட்டவணையிலிருந்து இலக்கங்களைத் தரும்; சிறப்பியல்பு தசமப் புள்ளியின் இடத்தைத் தீர்மானிக்கும்.

$\text{antilog}\,0.5432 = 3.493$ (தசமக்கூறிலிருந்து). சிறப்பியல்பு $0$ → ஒரு இலக்க முழுஎண் பகுதி.

சிறப்பியல்பு கூடினால் தசமப் புள்ளி வலம் நகரும்: $$\text{antilog}\,1.5432 = 34.93, \quad \text{antilog}\,2.5432 = 349.3, \quad \text{antilog}\,3.5432 = 3493$$

இலக்கங்கள் ($3493$) ஒன்றே; சிறப்பியல்பு $+1$ ஆகும்போது $\times10$.

படி 3 — மடக்கையால் பெருக்கல்/வகுத்தல்

$\lg(MN) = \lg M + \lg N$, $\lg\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = \lg M - \lg N$ — விதிகளைப் பயன்படுத்தி, பின் முறன்மடக்கை எடு.

பெருக்கல்: $4.975 \times 10.31$. $P = 4.975\times10.31$ எனக் கொள்: $$\lg P = \lg 4.975 + \lg 10.31 = 0.6968 + 1.0132 = 1.7100$$ $$P = \text{antilog}\,1.7100 = 51.28$$

வகுத்தல்: $53.21 \div 4.97$: $$\lg P = \lg 53.21 - \lg 4.97 = 1.7260 - 0.6964 = 1.0296$$ $$P = \text{antilog}\,1.0296 = 10.71$$

கலப்பு: $\dfrac{594.2 \times 9.275}{84.21}$: $$\lg P = \lg 594.2 + \lg 9.275 - \lg 84.21 = 2.7739 + 0.9673 - 1.9254 = 1.8158$$ $$P = \text{antilog}\,1.8158 = 65.43$$

⭐ கணிப்பான் விஞ்ஞானக் கணிப்பான் செயல் வரிசையை (BODMAS) தானே பின்பற்றும்: $543 + 275 \times 17$ இல் பெருக்கல் முதலில் ($= 4675$), பின் $+543 = 5218$. அடைப்புகளுக்கு $($ $)$ சாவிகளைப் பயன்படுத்து.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) சிறப்பியல்பு $=$ இலக்க எண்ணிக்கை $-1$ — மறக்காதே. (2) தசமக்கூறு எண்ணின் இலக்கங்களைச் சார்ந்தது, இடத்தை அல்ல; $\lg 8.583$ உம் $\lg 858.3$ உம் ஒரே தசமக்கூறு. (3) பெருக்கல் → மடக்கை கூட்டல் (பெருக்கல் அல்ல). இறுதியில் antilog எடுக்க மறக்காதே.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

$\lg = \log_{10}$. மடக்கை $=$ சிறப்பியல்பு (புள்ளிக்கு முன்) $+$ தசமக்கூறு (புள்ளிக்குப் பின், அட்டவணையிலிருந்து).
சிறப்பியல்பு $=$ முழுஎண் இலக்க எண்ணிக்கை $-1$. ($85.83 \to 1$).
தசமக்கூறு இலக்கங்களைச் சார்ந்தது, இடத்தை அல்ல: $\lg 8.583, \lg 858.3$ — ஒரே தசமக்கூறு $9337$.
முறன்மடக்கை: $\text{antilog}$ மடக்கையின் நேர்மாறு. சிறப்பியல்பு $\Rightarrow$ தசமப் புள்ளி இடம்.
பெருக்கல் $\to$ மடக்கை கூட்டல்; வகுத்தல் $\to$ கழித்தல்; பின் antilog.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$\lg(MN) = \lg M + \lg N$, $\lg\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = \lg M - \lg N$.
எ.கா: $4.975 \times 10.31$: $\lg P = 0.6968 + 1.0132 = 1.7100 \Rightarrow P = 51.28$.
எ.கா: $53.21 \div 4.97$: $\lg P = 1.7260 - 0.6964 = 1.0296 \Rightarrow P = 10.71$.
கலப்பு $\dfrac{594.2 \times 9.275}{84.21}$: $2.7739 + 0.9673 - 1.9254 = 1.8158 \Rightarrow 65.43$.
antilog இடம்: $\text{antilog}\,0.5432 = 3.493 \Rightarrow 1.5432 \to 34.93,\ 2.5432 \to 349.3$.
கணிப்பான்: BODMAS தானே — $543 + 275 \times 17 = 5218$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

பயன்பாடு: $c = 2\pi r$, $\pi=3.142$, $r=10.5 \Rightarrow \lg c = 0.3010+0.4972+1.0212 = 1.8194 \Rightarrow c \approx 65.98$ cm.
$\log_4 64 + \log_3 81 - \log_5 5 + 1 = 3+4-1+1 = 7$.
வலு: $\lg 6.143 = 0.7884 \Rightarrow 10^{1.7884} = 61.43,\ 10^{2.7884} = 614.3$.
இறுதிச் சரிபார்ப்பு: எப்போதும் antilog எடுக்க மறக்காதே; சிறப்பியல்பை சரியாகச் சேர்.

📝 மேலும் பயிற்சி