🔟 தரம் 10 · அலகு 29 · P2

மேற்பரப்பளவும் கனவளவும்

Surface area and volume of solids

★★★★★ மேற்பரப்புகனவளவு

ஒரு தகர உருளைக் கொள்கலனுக்கு வெளிப்பூச்சு பூசுகிறீர்கள் — எவ்வளவு சாயம் வேண்டும்? அதுவே மேற்பரப்பளவு. அதே கொள்கலனில் எவ்வளவு நீர் பிடிக்கும்? அதுவே கனவளவு. உருளை மற்றும் முக்கோண அரியம் (prism) இரண்டுக்கும் ஒரே தந்திரம்: வளைப்பரப்பை வெட்டி விரித்தால் ஒரு செவ்வகம் கிடைக்கும் (மேற்பரப்பு அதன் பகுதிகளின் கூட்டு); கனவளவு = குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு × உயரம். $\pi = \dfrac{22}{7}$ (NIE முறை) — ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருக்கும்போது கணக்கீடு மிக எளிது.

படி 1 — உருளையின் மேற்பரப்பளவு

வளைப்பரப்பு வெட்டி விரித்தால் செவ்வகம்: $2\pi r \times h$

உருளை — பரப்பளவு வளைப்பரப்பு $= 2\pi rh$ • ஒரு வட்ட முகம் $= \pi r^2$
மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$

$r = 7$, $h = 15$: ஒரு முகம் $= \dfrac{22}{7} \times 49 = 154$; வளைப்பரப்பு $= 2 \times \dfrac{22}{7} \times 7 \times 15 = 660$; மொத்தம் $= 2(154) + 660 = 968\ \text{cm}^2$.

மூடியில்லா: பரப்பு $= \pi r^2 + 2\pi rh$ (ஒரு முகம் மட்டும்). குழாய் (இரு முனை திறந்த): $2\pi rh$.

படி 2 — உருளையின் கனவளவு

உருளை — கனவளவு $V = (\text{குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு}) \times h = \pi r^2 h$

$r = 14$, $h = 20$: $V = \dfrac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 20 = 12\,320\ \text{cm}^3$.

தலைகீழ்: அடியின் பரப்பு $346.5$, $V = 6930$ → $r^2 = \dfrac{346.5 \times 7}{22} = 110.25 \Rightarrow r = 10.5$; $h = \dfrac{6930}{346.5} = 20$ cm.

படி 3 — முக்கோண அரியம் (prism)

குறுக்குவெட்டு முக்கோணமாகவுள்ள அரியம்: 2 முக்கோண முகம் + 3 செவ்வக முகம். முக்கோண முகத்தின் உயரம் பெரும்பாலும் பைதகரஸால் முதலில் காண வேண்டும்.

முக்கோண அரியம்: 2 முக்கோணம் + 3 செவ்வகம்

அரியம் மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2 \times (\text{முக்கோண பரப்பு}) + (\text{3 செவ்வக பரப்புகள்})$
கனவளவு $V = (\text{குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு } A) \times l$

இருசமபக்கம் $AB = AC = 10$, $BC = 16$, $l = 30$. $X$ நடுப்புள்ளி → $XC = 8$; $AX = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$. முக்கோண பரப்பு $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$.

2 முக்கோணம் $= 96$; செவ்வகங்கள் $= 10\times30 + 10\times30 + 16\times30 = 300+300+480 = 1080$. மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 96 + 1080 = 1176\ \text{cm}^2$.

கனவளவு: செங்கோண முக்கோணி அடி $6$, உயரம் $8$, $l = 15$: $A = \dfrac{1}{2}(6)(8) = 24$; $V = 24 \times 15 = 360\ \text{cm}^3$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $\pi r^2$ (பரப்பு) உம் $2\pi rh$ (வளைப்பரப்பு) உம் குழப்பாதே; TSA இல் வட்ட முகம் இரண்டு. (2) அரியத்தில் முக்கோண உயரத்தைப் பைதகரஸால் முதலில் காண். (3) கனவளவு $=$ குறுக்குவெட்டு $\times$ நீளம் — உருளைக்கும் அரியத்துக்கும் ஒரே கொள்கை. (4) $\pi = \dfrac{22}{7}$ (ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருக்கும்போது எளிது).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

உருளை வளைப்பரப்பு $= 2\pi rh$; வட்ட முகம் $= \pi r^2$.
உருளை மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$.
உருளை கனவளவு $V = \pi r^2 h$.
அரியம் கனவளவு $V = (\text{குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு}) \times \text{நீளம்}$.
$\pi = \dfrac{22}{7}$ (ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருந்தால் எளிது).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

உருளை $r=7,h=15$: முகம் $154$, வளைப்பரப்பு $660$, TSA $968$.
மூடியில்லா $= \pi r^2 + 2\pi rh$; குழாய் $= 2\pi rh$.
கனவளவு $r=14,h=20$: $\dfrac{22}{7}(196)(20) = 12\,320$.
அரியம்: 2 முக்கோணம் + 3 செவ்வகம். முக்கோண உயரம் பைதகரஸால் காண.
அரியம் $AB=AC=10,BC=16$: $AX=6$, பரப்பு $48$, TSA ($l=30$) $= 1176$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

தலைகீழ்: TSA $2442$, $r+h=37 \Rightarrow 2\pi r(37)=2442 \Rightarrow r=10.5$.
நீர் இடப்பெயர்ச்சி: உயர்ந்த கனவளவு = அமிழ்த்திய பொருளின் கனவளவு.
நீர் மாற்றம்: பெரிய $V \div$ சிறிய $V =$ தடவைகள்.
எச்சரிக்கை: TSA இல் வட்ட முகம் இரண்டு; $\pi r^2$ (பரப்பு) ≠ $2\pi rh$ (வளைப்பரப்பு).

📝 மேலும் பயிற்சி