🔟 தரம் 10 · அலகு 8 · P1

முக்கோணிகள் I

Triangles I — angle properties and the exterior angle

★★★★☆ முக்கோணிகோணம்

ஒரு முக்கோணியின் மூன்று மூலைகளும் எப்போதும் சேர்ந்து $180°$ ஆகும் — இதை ஒரு காகித முக்கோணியின் மூன்று மூலைகளைக் கிழித்து ஒரே நேர்க்கோட்டில் வைத்தால் நீங்களே பார்க்கலாம். இந்த ஒரு உண்மையும், அதோடு தொடர்புடைய புறக் கோண விதியும்தான் கோணம் தொடர்பான பெரும்பாலான வினாக்களைத் தீர்க்கும் சாவிகள். இந்தப் பாடம் இரண்டு தேற்றங்களை — அவற்றின் நிறுவலுடன் — செய்துகாட்டி, கோணம் கணித்தலிலும் நிரூபணத்திலும் பயன்படுத்தக் கற்பிக்கிறது.

அகக் கோணமும் புறக் கோணமும்

முக்கோணியின் உள்ளே உள்ள மூன்று கோணங்கள் அகக் கோணங்கள். ஒரு பக்கத்தை நீட்டினால் வெளியே உருவாகும் கோணம் புறக் கோணம். கீழே $BC$ ஐ $D$ வரை நீட்டியதால் $ACD$ ஒரு புறக் கோணம். அதற்கு "தொலைவில்" உள்ள இரு அகக் கோணங்கள் ($BAC$, $ABC$) அகத்தெதிர்க் கோணங்கள்.

பக்கம் $BC$ ஐ $D$ வரை நீட்ட, புறக் கோணம் $A\hat{C}D$ உருவாகிறது.

படி 1 — புறக் கோணத் தேற்றம்

தேற்றம் 1 புறக் கோணம் $=$ அகத்தெதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை. $A\hat{C}D = A\hat{B}C + B\hat{A}C$

எடுத்துக்காட்டு: புறக் கோணம் $A\hat{B}D = 110°$, அகத்தெதிர் $B\hat{A}C = 60°$. $A\hat{C}B$? $$B\hat{A}C + A\hat{C}B = A\hat{B}D \;\Rightarrow\; 60° + A\hat{C}B = 110°$$ $$\therefore A\hat{C}B = 50°$$

புறக் கோணம் இரு தொலை அகக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதால், ஒன்று தெரிந்தால் மற்றதைக் கழித்தல் மூலம் காணலாம்.

ஏன் இது உண்மை? $C$ இல் $AB$ க்குச் சமாந்தரமாக $CE$ வரைந்தால், $E\hat{C}D = A\hat{B}C$ (ஒத்த கோணங்கள்) உம் $A\hat{C}E = B\hat{A}C$ (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்) உம். இவை இரண்டும் சேர்ந்து புறக் கோணம் $A\hat{C}D$ ஆகவே, $A\hat{C}D = A\hat{B}C + B\hat{A}C$. இதுவே முறையான நிறுவல்.

படி 2 — அகக் கோணக் கூட்டுத்தொகை தேற்றம்

தேற்றம் 2 முக்கோணியின் மூன்று அகக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $= 180°$ (இரண்டு செங்கோணம்). $$A\hat{B}C + B\hat{A}C + A\hat{C}B = 180°$$

கணிப்பு: இரு கோணம் $60°, 40°$. மூன்றாம் கோணம்? $$60° + 40° + A\hat{C}B = 180° \;\Rightarrow\; A\hat{C}B = 80°$$

தெரியாக் கணியம்: கோணங்கள் $x, 2x, 30°$. $$x + 2x + 30° = 180° \;\Rightarrow\; 3x = 150° \;\Rightarrow\; x = 50°$$

கோணங்களை $x$ இல் எழுதி, கூட்டுத்தொகை $180°$ எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்.

சாத்தியமா? $55°, 60°, 75°$ → கூட்டுத்தொகை $190° \neq 180°$ → அத்தகைய முக்கோணி இருக்க முடியாது.

கூட்டுத்தொகை சரியாக $180°$ ஆனால் மட்டுமே முக்கோணி சாத்தியம்.

இரண்டும் தொடர்புடையவை: நேர்க்கோடு $BCD$ மீது $A\hat{C}B + A\hat{C}D = 180°$. புறக் கோண விதியால் $A\hat{C}D = A\hat{B}C + B\hat{A}C$. இரண்டையும் சேர்த்தால் $A\hat{C}B + A\hat{B}C + B\hat{A}C = 180°$ — அகக் கோணக் கூட்டுத்தொகை தேற்றமே! ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்று பிறக்கிறது.

படி 3 — பிற கோண உண்மைகள் (நிரூபணத்தில் தேவை)

நேர்க்கோட்டில் கோணங்கள்: ஒரு நேர்க்கோட்டின் மீது உள்ள கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$.
குத்தெதிர்க் கோணங்கள்: இரு கோடு வெட்டும்போது எதிரெதிர் கோணங்கள் சமம்.
சமாந்தரக் கோடுகள்: ஒன்றுவிட்ட (alternate) கோணங்கள் சமம்; ஒத்த (corresponding) கோணங்கள் சமம்; ஒரே பக்க அகக் கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$.

⭐ பரீட்சைக் குறிப்பு BOC விதி: $B, C$ இன் அகக் கோண இருசமவெட்டிகள் $O$ இல் சந்தித்தால், $B\hat{O}C = 90° + \dfrac12 A$. எ.கா. $A = 100°$ எனில் $B\hat{O}C = 90° + 50° = 140°$ — விரைவு வினாவுக்கு உதவும்.

⚠ பொதுவான தவறு புறக் கோணம் $=$ அகத்தெதிர் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை — அதற்கு அடுத்துள்ள அகக் கோணத்தைச் சேர்க்காதே. நிரூபணத்தில் ஒவ்வொரு வரிக்கும் காரணம் (தேற்றம்/குத்தெதிர்/சமாந்தரம்) எழுத மறக்காதே.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

ஒரு முக்கோணியின் இரு அகக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $100°$ எனின், மூன்றாவது அகக் கோணத்தைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

அகக் கோணக் கூட்டுத்தொகை $= 180°$.
புறக் கோணம் $=$ அகத்தெதிர் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை.
நேர்க்கோட்டில் கோணங்கள் $= 180°$; குத்தெதிர்க் கோணங்கள் சமம்.
சமாந்தரம்: ஒன்றுவிட்ட = சமம், ஒத்த = சமம், ஒரே பக்க அகம் = $180°$.
BOC விதி: $\hat{B},\hat{C}$ இருசமவெட்டிகள் → $B\hat{O}C = 90° + \tfrac12\hat{A}$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

புறக் கோணத் தேற்றம்: $A\hat{C}D = A\hat{B}C + B\hat{A}C$. நிறுவல்: $AB \parallel CE$ வரைந்து ஒத்த + ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்.
அகக் கூட்டுத்தொகை: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$. நிறுவல்: உச்சியினூடாக எதிர்ப் பக்கத்திற்குச் சமாந்தர கோடு.
தெரியாக் கணியம்: கோணங்களை $x$ இல் எழுதி கூட்டுத்தொகை $=180°$ (அல்லது புறக் கோண) சமன்பாட்டைத் தீர்.
விகிதம்: $2:3:4$ → $2k+3k+4k=180 \Rightarrow k=20$ → $40,60,80$.
சாத்தியமா?: மூன்று கோணமும் சேர்ந்து சரியாக $180°$ ஆனால் மட்டுமே முக்கோணி.
நிரூபணம்: ஒவ்வொரு வரிக்கும் காரணம் (தேற்றம் / குத்தெதிர் / சமாந்தரம் / நேர்க்கோடு).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

இரண்டு தேற்றங்களும் தொடர்புடையவை: புறக்+அடுத்த அகம் $=180°$, புறக்$=$அகத்தெதிர் இரண்டின் கூட்டு → அகக் கூட்டுத்தொகை $180°$.
புறக் கோணம் $=$ அகத்தெதிர் இரண்டின் கூட்டு; அடுத்த அகக் கோணத்தைச் சேர்க்காதே.
கோண நிரூபணத்தில் சமாந்தரக் கோடு வரைவது அடிக்கடி உதவும்.
இருசமவெட்டி வந்தால் கோணத்தைப் பாதியாக்கு; $B\hat{O}C=90°+\tfrac12\hat{A}$ விரைவு உதவி.

📝 மேலும் பயிற்சி