🔟 தரம் 10 · அலகு 9 · P1

முக்கோணிகள் II

Triangles II — isosceles triangle theorem & converse

★★★★☆ முக்கோணிஇருசமபக்கம்

ஒரு கூரை, ஒரு கூடாரம், ஒரு பாலத்தின் முக்கோண ஆதரவு — பல நிஜ வடிவங்கள் இருசமபக்க முக்கோணங்கள் (இரு பக்கம் சமநீளம்). இவற்றுக்கு ஒரு அழகான பண்பு உண்டு: சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்களும் சமம் — அது சமச்சீரின் (symmetry) நேரடி விளைவு. இந்தப் பாடம் அந்தத் தேற்றத்தையும், அதன் மறுதலையையும் (converse), அவற்றின் நிறுவலுடன் செய்துகாட்டிக் கற்பிக்கிறது.

படி 1 — இருசமபக்க முக்கோணித் தேற்றம்

$AB = AC$ எனில், எதிர்க் கோணங்கள் $A\hat{B}C = A\hat{C}B$.

தேற்றம் இரு பக்கம் சமம் $\Rightarrow$ அவற்றின் எதிர்க் கோணங்கள் சமம். $AB = AC \Rightarrow A\hat{B}C = A\hat{C}B$

எடுத்துக்காட்டு: $AB = AC$, $A\hat{B}C = 50°$. $A\hat{C}B$ உம் $B\hat{A}C$ உம்? $$A\hat{C}B = A\hat{B}C = 50° \quad (\text{சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்கள்})$$

$AB = AC$ எனவே அவற்றின் எதிர்க் கோணங்கள் ($A\hat{C}B$, $A\hat{B}C$) சமம்.

அகக் கூட்டுத்தொகை $180°$: $$B\hat{A}C = 180° - (50° + 50°) = 80°$$

ஏன் இது உண்மை? (நிறுவல்) உச்சிக் கோணம் $B\hat{A}C$ இன் இருசமவெட்டி $AD$ வரைந்தால், $\Delta ABD$ உம் $\Delta ACD$ உம்: $AB=AC$ (தரப்பட்டது), $B\hat{A}D=D\hat{A}C$ (இருசமவெட்டி), $AD$ பொது → ப.கோ.ப. ஒருங்கிணைவு. எனவே ஒத்த உறுப்புகள் சமம் → $A\hat{B}D = A\hat{C}D$.

🔑 மூன்று கோடுகள் ஒன்றாகின்றன இருசமபக்க முக்கோணியில் உச்சியிலிருந்து வரும் கோண இருசமவெட்டி = நடுக்கோடு (median) = செங்குத்து (altitude) = அடிப்பக்கச் செங்குத்து இருசமவெட்டி — எல்லாம் ஒரே கோடு. மேற்படி நிறுவலில் $BD=DC$ உம் $A\hat{D}B = A\hat{D}C = 90°$ உம் வருவதால் இது தெளிவாகும்.

படி 2 — தேற்றத்தின் மறுதலை

தேற்றத்தைத் திருப்பிப் போட்டால்? இரு கோணங்கள் சமம் எனில், அவற்றின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமமா? ஆம் — அதுவே மறுதலை.

மறுதலை (converse) இரு கோணம் சமம் $\Rightarrow$ அவற்றின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம். $P\hat{Q}R = P\hat{R}Q \Rightarrow PR = PQ$

எடுத்துக்காட்டு: $\Delta ABC$ இல் $\hat{B} = 50°$, $\hat{C} = 80°$. சம பக்கச் சோடி? $$\hat{A} = 180° - (50° + 80°) = 50°$$

$\hat{A} = \hat{B} = 50°$ — இரு கோணம் சமம்.

சம கோணங்களின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்: $\hat{A}$ எதிர் $BC$, $\hat{B}$ எதிர் $AC$. $$\therefore AC = BC \quad (\text{மறுதலை})$$

படி 3 — ஒருங்கிணைவுடன் இணைத்தல்

இருசமபக்க வினாக்கள் அடிக்கடி ஒருங்கிணைவையும் (அலகு 5) கோணத் தேற்றங்களையும் (அலகு 8) சேர்த்துப் பயன்படுத்தும். எடுத்துக்காட்டு: $AB=AC$, $BP=CQ$ ($P,Q \in BC$). $A\hat{B}P = A\hat{C}Q$ (சம பக்க எதிர்க் கோணம்), எனவே $\Delta ABP \equiv \Delta ACQ$ (ப.கோ.ப.) → $AP=AQ$ → $\Delta APQ$ இருசமபக்கம் → $A\hat{P}Q = A\hat{Q}P$.

⚠ பொதுவான தவறு தேற்றம் (பக்கம்→கோணம்) vs மறுதலை (கோணம்→பக்கம்) — எது தரப்பட்டது, எது நிறுவ வேண்டியது எனப் பார்த்துச் சரியானதைப் பயன்படுத்து. சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்களே சமம் (அடுத்த கோணம் அல்ல).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

தேற்றம்: $AB=AC \Rightarrow A\hat{B}C = A\hat{C}B$ (சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்கள் சமம்).
மறுதலை: $\hat{B}=\hat{C} \Rightarrow$ எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம் ($AC=AB$).
அடிக் கோணம் $= \dfrac{180° - \text{உச்சிக் கோணம்}}{2}$.
சமபக்க முக்கோணி → ஒவ்வொரு கோணமும் $60°$.
மைய/பரிதிக் கோணம்: $B\hat{O}C = 2B\hat{A}C$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

தேற்றம் (பக்கம்→கோணம்): நிறுவல் — உச்சி இருசமவெட்டி $AD$ வரைந்து $\Delta ABD \equiv \Delta ACD$ (ப.கோ.ப.).
மறுதலை (கோணம்→பக்கம்): இரு கோணம் சமம் → எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்.
மூன்று கோடு ஒன்று: இருசமபக்கத்தில் உச்சி இருசமவெட்டி = நடுக்கோடு = செங்குத்து = அடிப்பக்க செங்குத்து இருசமவெட்டி.
கோண கணிப்பு: $AB=AC$ → இரு அடிக் கோணம் சமம்; கூட்டுத்தொகை $180°$ கொண்டு மூன்றாம் காண்.
இணைப்பு: பல வினா இருசமபக்கம் + ஒருங்கிணைவு (அலகு 5) + புறக் கோணம் (அலகு 8) சேர்த்து.
$60°$ நிறுவல்: சமபக்கம் → மூன்று கோணமும் சமம் → $180/3 = 60°$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

தேற்றம் vs மறுதலை — எது தரப்பட்டது (பக்கமா/கோணமா), எது நிறுவ வேண்டியது எனப் பார்.
சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்களே சமம் — அடுத்த கோணம் அல்ல.
இருசமபக்க நிரூபணத்தில் உச்சியிலிருந்து இருசமவெட்டி/செங்குத்து வரைவது சாவி.
வட்டக் கோண வினா: மையக் கோணம் $=$ பரிதிக் கோணத்தின் இருமடங்கு — அலகு 31 க்கும் அடிப்படை.

📝 மேலும் பயிற்சி