🔟 தரம் 10 · அலகு 10 · P1

நேர்மாறு விகிதசமன்

Inverse proportion

★★★☆☆ நேர்மாறுவிகிதசமன்

ஒரு வேலையை அதிக ஆட்கள் செய்தால் குறைந்த நாட்களே தேவை. வேகமாக ஓட்டினால் பயணம் குறைந்த நேரத்தில் முடியும். ஒன்று கூடும்போது மற்றொன்று குறையும் — இதுவே நேர்மாறு விகிதசமன் (inverse proportion). நேர் விகிதசமனில் இரண்டும் ஒன்றாகக் கூடும்/குறையும்; நேர்மாறில் எதிராக. இந்தப் பாடம் இவற்றை வேறுபடுத்தி, "ஆட்கள் × நாட்கள் = மாறிலி" எனும் ஒரே எண்ணத்தால் வேலை-நாள் வினாக்களைச் செய்துகாட்டிக் கற்பிக்கிறது.

நேர் vs நேர்மாறு

வகை	நடத்தை	உறவு
நேர் விகிதசமன்	ஒன்று கூட மற்றொன்றும் கூடும்	$\dfrac{x}{y} = k$
நேர்மாறு விகிதசமன்	ஒன்று கூட மற்றொன்று குறையும்	$xy = k$

எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது? "ஒன்று இரட்டிப்பானால் மற்றொன்று என்னவாகும்?" எனக் கேள். இரட்டிப்பானால் நேர்; பாதியானால் நேர்மாறு. எடுத்துக்காட்டு: ஆட்களை இரட்டித்தால் நாட்கள் பாதியாகும் → நேர்மாறு.

படி 1 — மைய எண்ணம்: ஆட்கள் × நாட்கள் = வேலையின் அளவு

ஒரு வேலையின் மொத்த அளவு மாறாது. அதை மனித-நாட்களில் (man-days) அளக்கலாம்: ஆட்களின் எண்ணிக்கை × நாட்களின் எண்ணிக்கை = மாறிலி $k$. இதுவே நேர்மாறின் அட்சரகணித வடிவம் $xy = k$.

$$x \, y = k \qquad\Longleftrightarrow\qquad x_1 y_1 = x_2 y_2$$

எடுத்துக்காட்டு: $5$ ஆட்கள் ஒரு வேலையை $8$ நாட்களில் முடிப்பர். $10$ ஆட்களுக்கு எத்தனை நாட்கள்? $$\text{வேலையின் அளவு} = 5 \times 8 = 40 \text{ மனித-நாட்கள்}$$

ஆட்கள் எத்தனையானாலும் வேலை $40$ மனித-நாட்கள் — அது மாறாது.

$10$ ஆட்களுக்கு: $$\text{நாட்கள்} = \frac{40}{10} = 4 \text{ நாட்கள்}$$

ஆட்கள் இரட்டித்தது ($5 \to 10$), நாட்கள் பாதியானது ($8 \to 4$) — நேர்மாறு உறுதி.

விகித முறையும் பயன்படுத்தலாம் — ஆனால் ஒரு பக்கத்தை இடம் மாற்றி: $5$ ஆட்களுக்கு $8$ நாள், $10$ ஆட்களுக்கு $x$ நாள் எனில், ஆட்கள் விகிதம் $= $ நாட்களின் தலைகீழ் விகிதம்: $5 : 10 = x : 8$, எனவே $10x = 40$, $x = 4$.

படி 2 — "மனித-நாட்கள்" உத்தியால் கடினமான வினா

ஆட்களின் எண்ணிக்கை நடுவில் மாறும் வினாக்களுக்கு மனித-நாட்கள் உத்தியே சிறந்தது: மீதி வேலை ÷ புதிய ஆட்கள் = மீதி நாட்கள்.

$40$ பேருக்கு $12$ நாள் உணவு. $6$ நாள் கழித்து மேலும் $8$ பேர் சேர்ந்தால், மீதி உணவு எத்தனை நாள்? $$\text{மொத்த உணவு} = 40 \times 12 = 480 \text{ மனித-நாட்கள்}$$ $$\text{பயன்பட்டது} = 40 \times 6 = 240; \quad \text{மீதி} = 480 - 240 = 240$$

இப்போது $40 + 8 = 48$ பேர்: $$\text{மீதி நாட்கள்} = \frac{240}{48} = 5 \text{ நாட்கள்}$$

படி 3 — அட்சரகணித வடிவம் $xy = k$

ஒரே வேலையின் இரு சந்தர்ப்பங்களுக்கும் $k$ மாறாது, எனவே $x_1 y_1 = x_2 y_2$. இது தெரியாததைக் காண எளிது:

$8$ ஆட்கள் $9$ நாள்; $6$ ஆட்கள் எத்தனை நாள்? $$8 \times 9 = 6 \times y \;\Rightarrow\; 6y = 72 \;\Rightarrow\; y = 12 \text{ நாட்கள்}$$

$9$ நாள் வேலை செய்த குழுவில் $3$ பேர் சேர்த்தால் $6$ நாளில் முடியும். தொடக்கக் குழுவின் ஆட்கள்? $$x \times 9 = (x+3)\times 6 \;\Rightarrow\; 9x = 6x + 18 \;\Rightarrow\; 3x = 18 \;\Rightarrow\; x = 6$$

⭐ பரீட்சைக் குறிப்பு வேகம்-நேரம் வினா: தூரம் மாறாது எனில் வேகம் × நேரம் $=$ மாறிலி (தூரம்). $40$ km/h இல் $\tfrac12$ மணி ($= 20$ km) → $50$ km/h இல் நேரம் $= \dfrac{20}{50}$ மணி $= 24$ நிமிடம்.

⚠ பொதுவான தவறு நேர்மாறில் நேராக விகிதம் போடாதே ($5:10 = x:8$ அல்ல $5:10 = 8:x$). சந்தேகமெனில் "மனித-நாட்கள் = மாறிலி" உத்தியைப் பயன்படுத்து — அது எப்போதும் சரியாகும். எல்லாக் கணியமும் நேர்மாறு அல்ல: வட்ட ஆரையும் பரப்பும் நேர்மாறு அல்ல ($A \propto r^2$).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$100$ கிலோமீற்றர்/மணித்தியாலம் சீரான கதியில் செல்லும் ஒரு வாகனம் $25$ கிலோமீற்றர் தூரம் செல்வதற்கு எடுக்கும் நேரத்தைக் காண்க.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சீரான கதியில் செல்லும் ஒரு பேருந்து $3$ செக்கனில் $48$ மீற்றர் செல்கின்றது. பேருந்தின் கதியை மீற்றர்/செக்கனில் காண்க.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

ஒரு கட்டிடம் அமைக்க $6$ மனிதர்களுக்கு $5$ நாட்கள் தேவை. அதை $3$ நாட்களில் முடிக்கத் தேவையான மனிதர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
$352$ கன மீற்றர் கொள்ளளவுள்ள வெறும் நீர்த் தொட்டிக்கு $32$ கன மீற்றர்/மணி வீதம் நீர் பாய்ச்சப்படுகிறது. தொட்டி நிரம்ப எடுக்கும் நேரத்தை மணித்தியாலத்தில் காண்க.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$10$ மனிதர்கள் ஒரு வேலையைச் செய்து முடிக்க $6$ நாட்கள் தேவை. அதே வேலையின் இரு மடங்கை $8$ மனிதர்கள் செய்து முடிக்க எத்தனை நாட்கள் தேவை?
சீரான வீதத்தில் நீர் பாய்ந்து $480$ லீற்றர் தொட்டி $8$ நிமிடத்தில் நிரம்புகிறது. நீர் பாயும் வீதத்தைக் காண்க.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$60$ லீற்றர்/நிமிடம் வீதத்தில் நீர் பாயும் குழாயால் $420$ லீற்றர் தொட்டியை நிரப்ப எடுக்கும் நேரத்தைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

நேர்மாறு: ஒன்று கூட மற்றொன்று குறையும். $xy = k$ (மாறிலி).
நேர்: ஒன்று கூட மற்றொன்றும் கூடும். $\dfrac{x}{y} = k$.
ஆட்கள் × நாட்கள் $=$ வேலையின் அளவு (மனித-நாட்கள், மாறாது).
கதி × நேரம் $=$ தூரம் (மாறாது).
இனங்காண: இரட்டித்தால் இரட்டிப்பு → நேர்; பாதி → நேர்மாறு.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

மைய உத்தி: $x_1 y_1 = x_2 y_2$. தெரியாததைக் காண இதைப் பயன்படுத்து.
விகித முறை (கவனம்): நேர்மாறில் ஒரு பக்கத்தை தலைகீழ் ஆக்கு — $5:10 = x:8$.
நடுவில் மாறும் வினா: மொத்த வேலை காண் → பயன்பட்டதைக் கழி → மீதி ÷ புதிய ஆட்கள் = மீதி நாட்கள்.
$xy=k$ சமன்பாடு: $(x)(9) = (x+3)(6)$ போன்ற சமன்பாடுகளை விரித்துத் தீர்.
விகிதக் கலவை: $1:6$ → பாகங்கள் $7$; ஒவ்வொன்றின் பின்னம் $\tfrac17, \tfrac67$.
கூடுதல் நேரம்: உண்மையான மொத்த நேரம் − திட்டமிட்ட நேரம்.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

சந்தேகமெனில் எப்போதும் "மனித-நாட்கள் = மாறிலி" உத்தி — அது எப்போதும் சரி.
நேர்மாறில் நேராக விகிதம் போடாதே; ஒரு பக்கம் தலைகீழ்.
எல்லாக் கணியமும் நேர்மாறு அல்ல — வட்ட ஆரை-பரப்பு ($A\propto r^2$) நேர்மாறு அல்ல.
அலகு கவனம்: நேரத்தை மணி/நிமிடமாகச் சரியாக மாற்று ($0.4$ மணி $= 24$ நிமிடம்).

📝 மேலும் பயிற்சி