🔟 தரம் 10 · அலகு 30 · P2

நிகழ்தகவு

Probability — single and combined events, grids and trees

★★★★★ நிகழ்தகவுமாதிரிவெளி

"நாளை மழை பெய்யும் வாய்ப்பு $70\%$" — இந்த வானிலை அறிவிப்பை கேட்டிருக்கிறீர்கள். $70\% = 0.7$ என்பது மழை நடக்கும் வாய்ப்பை $0$ (நடக்காது) முதல் $1$ (நிச்சயம் நடக்கும்) வரை அளக்கிறது. இதுவே நிகழ்தகவு (probability). நேர்மையான நாணயம்/தாயம் போல் எல்லா பெறுகளும் சமதகவுடையன எனில், நிகழ்தகவு வெறுமனே சாதகப் பெறுகள் ÷ மொத்தப் பெறுகள். இந்த அலகு அந்த அடிப்படையிலிருந்து — ஒன்றிப்பு/இடைவெட்டல் விதிகள், தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகள், நிரப்பி விதி, நெடியாரி (grid) முறை — அனைத்தையும் செய்துகாட்டுகிறது.

படி 1 — அடிப்படை நிகழ்தகவு

நிகழ்தகவு வரையறை $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{\text{நிகழ்ச்சியின் பெறுகள்}}{\text{மாதிரி வெளியின் பெறுகள்}}$

$1$–$5$ அட்டைகள், இரட்டை எண் $A = \{2, 4\}$: $n(S) = 5$, $n(A) = 2$, $P(A) = \dfrac{2}{5}$.

தாயம் $\{1,\ldots,6\}$: $P(4) = \dfrac{1}{6}$; ஒற்றை $\{1,3,5\} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$; $2$ இலும் கூடியது $\{3,4,5,6\} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

எளிய நிகழ்ச்சி = ஒரே பெறு ($\{3\}$); கூட்டு நிகழ்ச்சி = பல பெறு ($\{2,4\}$).

படி 2 — ஒன்றிப்பும் இடைவெட்டலும்

$A \cup B$ = ஒன்றிப்பு (ஏதேனும்); $A \cap B$ = இடைவெட்டல் (இரண்டிலும்)

கூட்டல் விதி $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$S = \{1,\ldots,5\}$, $A = \{3,4,5\}$, $B = \{2,4\}$. $A \cap B = \{4\}$, $A \cup B = \{2,3,4,5\}$. $P(A \cup B) = \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$. ✓

படி 3 — தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகள்

பொது மூலகம் இல்லையேல் ($A \cap B = \emptyset$) நிகழ்ச்சிகள் தம்முன்புறத்துக்கும் (mutually exclusive). அப்போது $P(A \cap B) = 0$, எனவே:

தம்முன்புறத்துக்கும் $A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

தம்முன்புறத்துக்கும் $P(X) = \dfrac{1}{6}$, $P(Y) = \dfrac{7}{12}$: $P(X \cap Y) = 0$; $P(X \cup Y) = \dfrac{2}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$.

படி 4 — நிரப்பி நிகழ்ச்சி

நிகழ்ச்சி $A$ நிகழாமை = அதன் நிரப்பி, $A'$ எனக் குறிப்போம். $A \cup A' = S$, $A \cap A' = \emptyset$, எனவே:

நிரப்பி விதி $P(A') = 1 - P(A)$

$P(A) = \dfrac{2}{7}$, $P(B) = \dfrac{3}{7}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{14}$: $P(A \cup B) = \dfrac{4}{14} + \dfrac{6}{14} - \dfrac{1}{14} = \dfrac{9}{14}$; $P(A') = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$; $P\big((A \cup B)'\big) = 1 - \dfrac{9}{14} = \dfrac{5}{14}$.

படி 5 — நெடியாரி (grid)

இரு பொருள் (இரு நாணயம் / தாயம் + நாணயம்) ஒரே நேரம் எறிந்தால், எல்லா பெறுகளையும் ஒரு நெடியாரியில் காட்டலாம். இரு நாணயம் → $2 \times 2 = 4$ பெறுகள்.

இரு நாணயம் $S = \{HH, HT, TH, TT\}$. $P(HH) = \dfrac{1}{4}$; ஒரு தலை ஒரு பூ $= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

படி 6 — சாரா நிகழ்ச்சிகள் & மர வரைபடம்

ஒரு நிகழ்ச்சி மற்றொன்றில் தாக்கம் செலுத்தாவிட்டால் (இரு நாணயம், மீள்வைத்தல்) அவை சாரா நிகழ்ச்சிகள் (independent). இங்கு பெருக்கல் விதி:

சாரா நிகழ்ச்சிகள் — பெருக்கல் விதி $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
(தம்முன்புறம் = ஒரே நேரம் நடவாது; சாரா = நடக்கும், ஆனால் ஒன்று மற்றதில் தாக்கமில்லை)

சாரா $P(X) = \dfrac{1}{3}$, $P(Y) = \dfrac{1}{4}$: $P(X \cap Y) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$; $P(X \cup Y) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.

மர வரைபடம் (tree): நாணயம் இருமுறை. ஒவ்வொரு கிளையிலும் $\dfrac{1}{2}$. பாதை வழியே பெருக்கு: $P(HH) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. குறைந்தது ஒரு பூ $= 1 - P(HH) = \dfrac{3}{4}$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $P$ எப்போதும் $0 \le P \le 1$. (2) $P(A \cup B)$ இல் $P(A \cap B)$ ஐக் கழிக்க மறக்காதே (தம்முன்புறத்துக்கும் தவிர). (3) நிரப்பி $P(A') = 1 - P(A)$ — விரைவான வழி. (4) நெடியாரியில் மொத்தப் பெறுகள் $=$ வரிசை $\times$ நிரை. (5) சாரா → பெருக்கு ($P(A)P(B)$); தம்முன்புறம் → கூட்டு ($P(A)+P(B)$) — குழப்பாதே. "மர வரைபடத்தில் கிளை வழியே பெருக்கு, கிளைகளுக்கிடையே கூட்டு."

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$A, B$ சாரா நிகழ்வுகள், $P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}$. $P(A \cup B)$ காண்க.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$1$ முதல் $3$ வரை எண்ணிடப்பட்ட $3$ சர்வசம அட்டைகள் உள்ள பெட்டியிலிருந்து எழுமாறாக ஓர் அட்டை எடுக்கும்போது, ஒற்றை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவை எழுதுக.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

ஒரு கூடையில் $7$ வெள்ளை $+ 2$ கறுப்புப் பந்துகள் (ஒரே அளவு). எழுமாறாக எடுக்கும் ஒரு பந்து கறுப்பாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$1$ முதல் $6$ வரை இலக்கமிட்ட பகடை உருளப்படும்போது, $2$ இன் மடங்கு அல்லது $3$ இன் மடங்கு கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

பகடையின் ஆறு பக்கங்களில் $2,2,3,3,4,4$ எழுதப்பட்டுள்ளன. உருட்டும்போது ஒரு முதன்மை எண் (prime) மேல்நோக்கி விழுவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

நிகழ்தகவு $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$ (சாதகப் பெறு ÷ மொத்தப் பெறு).
$0 \le P \le 1$. நிச்சயம் $=1$, இயலாமை $=0$.
எளிய நிகழ்ச்சி = ஒரே பெறு; கூட்டு நிகழ்ச்சி = பல பெறு.
நிரப்பி: $P(A') = 1 - P(A)$.
நெடியாரி: மொத்தப் பெறு = வரிசை $\times$ நிரை (இரு நாணயம் $\to 4$).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

கூட்டல் விதி: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
தம்முன்புறத்துக்கும் ($A \cap B = \emptyset$): $P(A \cap B)=0$, $P(A \cup B) = P(A)+P(B)$.
எ.கா: $P(A)=\tfrac{2}{7}, P(B)=\tfrac{3}{7}, P(A \cap B)=\tfrac{1}{14} \Rightarrow P(A \cup B) = \tfrac{9}{14}$.
நிரப்பி: $P\big((A \cup B)'\big) = 1 - P(A \cup B)$.
இருவழி அட்டவணை: சாதக எண்ணிக்கை ÷ மொத்த எண்ணிக்கை.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

மறைமுகத் தம்முன்புறம்: $P(X \cap Y) = P(X)+P(Y)-P(X \cup Y)$; $=0$ எனில் தம்முன்புறத்துக்கும்.
நெடியாரி: தாயம்($1$–$4$)+நாணயம் $\to 8$ பெறு; $(2,H) \to \tfrac{1}{8}$.
நிரப்பி வேகவழி: $P(B)$ வேண்டினால் $P(B')$ இருந்தால் $1 - P(B')$.
சாரா நிகழ்ச்சி (independent): $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (மீள்வைத்தல்/இரு நாணயம்).
மர வரைபடம்: கிளை வழியே பெருக்கு, கிளைகளுக்கிடையே கூட்டு.
எச்சரிக்கை: சாரா → பெருக்கு; தம்முன்புறம் → கூட்டு. $P(A \cup B)$ இல் $P(A \cap B)$ ஐக் கழி.

📝 மேலும் பயிற்சி