📚 கற்றல் முதன்மை க.பொ.த. (சா/த) க.பொ.த. (உ/த) பிற 🌐 English உள்நுழைய
சா/த · கணிதம் · தரம் 10 · அலகு 5
🔟 தரம் 10 · அலகு 5 · P1

முக்கோணிகளின் ஒருங்கிணைவு

Congruence of triangles — SSS, SAS, AAS, RHS
★★★☆☆ ஒருங்கிணைவுமுக்கோணி

ஒரே வடிவமும் ஒரே அளவும் கொண்ட இரு உருவங்களை ஒன்றின்மேல் ஒன்றாக வைத்தால் சரியாகப் பொருந்தும் — அவை ஒருங்கிணைவானவை (congruent). ஒரு கட்டடக் கலைஞர் ஒரே வடிவில் இரண்டு ஜன்னல்கள் வெட்ட வேண்டுமானால், எல்லா ஆறு உறுப்புகளையும் (3 பக்கம் + 3 கோணம்) அளக்க வேண்டுமா? இல்லை — சில மூன்று உறுப்புகள் சமம் எனக் காட்டினாலே போதும், மீதி தானாகப் பொருந்திவிடும். இந்தப் பாடம் அந்த "சில மூன்று" எவை என்பதை — நான்கு சந்தர்ப்பங்கள் — செய்துகாட்டி, அவற்றைக் கொண்டு நிரூபணம் எழுதக் கற்பிக்கிறது.

முக்கோணியின் ஆறு உறுப்புகள்

ஒரு முக்கோணியில் மூன்று பக்கங்களும் மூன்று கோணங்களும் — மொத்தம் ஆறு உறுப்புகள். இரண்டு முக்கோணிகள் ஒருங்கிணைந்தால், ஒத்த உறுப்புகள் எல்லாம் சமம். குறியீடு: $\Delta ABC \equiv \Delta PQR$. ஆனால் எல்லா ஆறையும் காட்ட வேண்டியதில்லை — சரியான மூன்று போதும். எச்சரிக்கை: எந்த மூன்றும் போதாது (உதாரணமாக இரு பக்கம் + அவற்றுக்கு இடையே இல்லாத ஒரு கோணம் — போதாது). கீழே போதுமான நான்கு சேர்க்கைகள்.

படி 1 — நான்கு சந்தர்ப்பங்கள்

B C A Q R P இரு பக்கம் + அடைக் கோணம் சமம் → ப.கோ.ப.
இரு பக்கங்களும் அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணமும் சமம் → ப.கோ.ப. (SAS).
ஒருங்கிணைவின் நான்கு சந்தர்ப்பங்கள்
ப.கோ.ப. (SAS): இரு பக்கம் + அவற்றின் அடைக் கோணம் சமம்.
கோ.கோ.ப. (AAS): இரு கோணம் + ஒரு ஒத்த பக்கம் சமம்.
ப.ப.ப. (SSS): மூன்று பக்கங்களும் சமம்.
செ.ப.ப. (RHS): செங்கோண முக்கோணியில் செம்பக்கமும் (hypotenuse) ஒரு பக்கமும் சமம்.
⚠ ஏன் "அடைக் கோணம்" முக்கியம்? ப.கோ.ப. இல் கோணம் இரு பக்கங்களுக்கு இடையே இருக்க வேண்டும். இரு பக்கமும் சமம், ஆனால் கோணம் அவற்றுக்கு இடையே இல்லை (SSA) எனில் — இரண்டு வெவ்வேறு முக்கோணிகள் சாத்தியம், ஒருங்கிணைவு உறுதியில்லை. அதனால்தான் "அடைக்" (included) கோணம் என வலியுறுத்துகிறோம்.

படி 2 — நிரூபணம் எப்படி எழுதுவது

நிரூபணம் ஒரு தர்க்க அடுக்கு — ஒவ்வொரு கூற்றுக்கும் ஒரு காரணம். வடிவம் எளிது: (1) எந்த இரு முக்கோணிகள் எனச் சொல்; (2) சமமான மூன்று உறுப்புகளை அடுக்கி, ஒவ்வொன்றுக்கும் காரணம் (தரப்பட்டது / பொது பக்கம் / குத்துவெட்டுக் கோணம் / ஆரை …); (3) எந்தச் சந்தர்ப்பம் எனக் கூறி $\equiv$; (4) "ஒத்த உறுப்புகள் சமம்" என்பதால் மீதியைத் தருக.

எடுத்துக்காட்டு: பட்டம் வடிவ $ABCD$ இல் $AB=AD$, $\hat{BAC}=\hat{DAC}$. $\Delta ABC \equiv \Delta ADC$ எனக் காட்டு.
படத்தைப் பார்த்து பொது உறுப்புகளைத் தேடு — இங்கு $AC$ இரு முக்கோணிக்கும் பொது பக்கம், அதுவே மூன்றாவது சமக் கூறு.
$ABC$, $ADC$ ஆகிய முக்கோணிகளில்: $$AB = AD \quad (\text{தரப்பட்டது})$$ $$\hat{BAC} = \hat{DAC} \quad (\text{தரப்பட்டது})$$ $$AC = AC \quad (\text{பொது பக்கம்})$$ $$\therefore \Delta ABC \equiv \Delta ADC \quad (\text{ப.கோ.ப.})$$
இரு பக்கம் ($AB, AC$) + அடைக் கோணம் ($\hat{BAC}$) — ப.கோ.ப. பொருந்துகிறது.
ஒத்த உறுப்புகள் சமம் என்பதால்: $$BC = DC, \quad \hat{ABC} = \hat{ADC}, \quad \hat{ACB} = \hat{ACD}$$
ஒருங்கிணைந்தபின்தான் இவற்றைச் சொல்லலாம் — ஒருங்கிணைவே இவற்றுக்குக் காரணம்.
🔑 அடிக்கடி வரும் "மறைந்த" சமக் கூறுகள் பொது பக்கம் (இரு முக்கோணிக்கும் பகிரப்படும்) · குத்துவெட்டுக் கோணம் (இரு கோடு வெட்டும்போது) · ஒன்று மாறு கோணம் (சமாந்தரக் கோடுகளில்) · வட்ட ஆரை (எல்லா ஆரையும் சமம்). இவற்றைப் படத்தில் தேடு.

படி 3 — செ.ப.ப. (RHS) — வட்டத்தில் ஒரு அழகான பயன்பாடு

வட்ட மையம் $O$ இலிருந்து நாண் $AB$ க்கு வரையும் செங்குத்து $OX$. $\Delta OXA \equiv \Delta OXB$: $\hat{OXA}=\hat{OXB}=90°$, செம்பக்கம் $OA=OB$ (இரண்டும் ஆரை), $OX$ பொது — எனவே செ.ப.ப.. இதிலிருந்து $AX=BX$ — அதாவது மையத்திலிருந்து நாணுக்கு வரையும் செங்குத்து நாணை இருசமமாக்கும். இந்த முடிவு பின்னர் "வட்டத்தின் நாண்கள்" அலகில் மீண்டும் வரும்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

  • நான்கு சந்தர்ப்பம்: ப.கோ.ப.(SAS) · கோ.கோ.ப.(AAS) · ப.ப.ப.(SSS) · செ.ப.ப.(RHS).
  • ப.கோ.ப. இல் கோணம் இரு பக்கங்களுக்கு இடையே இருக்க வேண்டும். SSA போதாது.
  • குறியீடு $\equiv$; எழுத்து வரிசையே ஒத்த உறுப்புகளைச் சொல்லும்.
  • மறைந்த சமக் கூறுகள்: பொது பக்கம் · குத்துவெட்டுக் கோணம் · ஒன்று மாறு கோணம் · வட்ட ஆரை.
  • ஒருங்கிணைந்தபின் "ஒத்த உறுப்புகள் சமம்" → மீதிப் பக்கம்/கோணம்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

  • ப.கோ.ப. (SAS): இரு பக்கம் + அடைக் கோணம்.
  • கோ.கோ.ப. (AAS): இரு கோணம் + ஒத்த பக்கம் (சம கோணங்களுக்கு எதிர்ப் பக்கங்களே ஒத்தவை).
  • ப.ப.ப. (SSS): மூன்று பக்கம்.
  • செ.ப.ப. (RHS): செங்கோணம் + செம்பக்கம்(hypotenuse) + ஒரு பக்கம்.
  • நிரூபண வடிவம்: முக்கோணிகளைச் சொல் → 3 சமக் கூறு + காரணம் → சந்தர்ப்பம் கூறி $\equiv$ → "ஒத்த உறுப்புகள் சமம்" → மீதி.
  • படத்தில் தேடு: பகிரப்படும் பக்கம் (பொது), வெட்டும் கோடுகள் (குத்துவெட்டு), $\parallel$ கோடுகள் (ஒன்று மாறு), ஆரைகள்.
  • இரண்டடுக்கு வினா: முதலில் ஒருங்கிணைவைக் காட்டு → பின் அதைப் பயன்படுத்தி $\parallel$ / செங்குத்து / நடுப்புள்ளி நிறுவு.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

  • நான்கு சந்தர்ப்ப பெயர்களை (ப.கோ.ப./கோ.கோ.ப./ப.ப.ப./செ.ப.ப.) மனனம் செய்; ஒவ்வொன்றுக்கும் எது தேவை எனத் தெளிவாக.
  • எச்சரிக்கை: SSA (இரு பக்கம் + இடையே இல்லாத கோணம்) ஒருங்கிணைவை உறுதிசெய்யாது.
  • நிரூபணத்தில் ஒவ்வொரு வரிக்கும் காரணம் எழுத மறக்காதே — அதுவே புள்ளி.
  • "செங்குத்து/சமாந்தரம்/இருசமம்" நிறுவ வேண்டிய வினாக்கள் கிட்டத்தட்ட எப்போதும் முதலில் ஒரு ஒருங்கிணைவைச் சார்ந்தவை.
📝 மேலும் பயிற்சி