🔟 தரம் 10 · அலகு 6 · P1

பரப்பளவு

Area — sector area and composite plane figures

★★★★☆ பரப்பளவுஆரைச்சிறை

ஒரு பீட்சாத் துண்டின் மேற்பரப்பு எவ்வளவு? ஒரு வட்ட விசிறி எவ்வளவு துணி கொண்டது? இவை பரப்பளவு வினாக்கள். அலகு 1 இல் ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவை (விளிம்பின் நீளம்) கண்டோம்; இப்போது அதன் பரப்பளவை (உள்ளிட்ட இடம்) காண்போம். அதே மைய எண்ணம் மீண்டும் வேலை செய்யும் — ஆரைச்சிறை என்பது முழு வட்டத்தின் ஒரு பின்னம், எனவே அதன் பரப்பும் முழு வட்டப் பரப்பின் அதே பின்னமே.

முந்தைய பரப்பளவு சூத்திரங்கள்

இவற்றை நினைவில் வையுங்கள் — கூட்டு உருவங்களில் தேவைப்படும்:

உருவம்	பரப்பளவு
செவ்வகம்	$A = $ நீளம் $\times$ அகலம்
சதுரம்	$A = a^2$
முக்கோணி	$A = \dfrac12 \times$ அடி $\times$ உயரம்
இணைகரம்	$A = $ அடி $\times$ உயரம்
சரிவகம்	$A = \dfrac12(a+b) \times h$
வட்டம்	$A = \pi r^2$

படி 1 — ஆரைச்சிறையின் பரப்பளவு

ஆரை $r$, மையக் கோணம் $\theta$ உடைய ஆரைச்சிறை — நிழற்றிய பகுதியே பரப்பளவு.

முழு வட்டத்தின் பரப்பு $\pi r^2$. ஆரைச்சிறை அதன் $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கு (மையக் கோணம் முழுக் கோணம் $360°$ இன் என்ன பகுதியோ அதே). எனவே:

ஆரைச்சிறையின் பரப்பளவு $$A = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$$

எடுத்துக்காட்டு: $r = 14$ cm, $\theta = 45°$. பரப்பளவு? $$A = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times \frac{45}{360}$$

$\dfrac{\theta}{360} = \dfrac{45}{360} = \dfrac18$ — முதலில் சுருக்கினால் கணக்கு எளிது.

$\dfrac{22}{7}\times14\times14 = 22\times2\times14 = 616$ (முழு வட்டப் பரப்பு); அதன் $\dfrac18$: $$A = 616 \times \frac18 = 77 \text{ cm}^2$$

இதே சூத்திரத்தைப் பின்னோக்கியும் பயன்படுத்தலாம் — பரப்பு தந்து ஆரை அல்லது கோணம் கேட்டால். எடுத்துக்காட்டாக, பரப்பு $462\ \text{cm}^2$, $r = 21$ எனில் கோணம்: $462 = \dfrac{22}{7}(441)\dfrac{\theta}{360} = 1386\cdot\dfrac{\theta}{360}$, எனவே $\theta = \dfrac{462\times360}{1386} = 120°$.

படி 2 — கூட்டுத் தள உருவங்கள்

நிஜப் பொருள்கள் (ஜன்னல், விளையாட்டு மைதானம், அலங்காரத் தகடு) பல எளிய வடிவங்களின் சேர்க்கை. உத்தி எளிது: உருவத்தை எளிய துண்டுகளாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றின் பரப்பையும் கண்டு, சேர்ந்தால் கூட்டு, வெட்டி அகற்றினால் கழி.

சேர்க்கை: பக்கம் $14$ cm சதுரம் + ஒரு பக்கத்தில் அரைவட்டம். சதுரப் பரப்பு $= 14\times14 = 196$.

அரைவட்டத்தின் விட்டம் $= 14 \Rightarrow$ ஆரை $r = 7$.

அரைவட்டப் பரப்பு $= \dfrac12 \pi r^2 = \dfrac12 \times \dfrac{22}{7} \times 49 = 77$. மொத்தம்: $$A = 196 + 77 = 273 \text{ cm}^2$$

வெட்டி அகற்றல்: $20\times7$ செவ்வகத் தகட்டிலிருந்து $r=7$ கால் வட்டம் அகற்றப்படுகிறது. $$A = (20\times7) - \left(\frac{90}{360}\times\frac{22}{7}\times49\right) = 140 - 38.5 = 101.5 \text{ cm}^2$$

"நிழற்றிய/எஞ்சிய" பகுதி எனில் — பெரிய வடிவிலிருந்து அகற்றிய துண்டைக் கழி.

⭐ பரீட்சைக் குறிப்பு கூட்டு உருவ வினாவில் முதலில் எந்த எளிய வடிவங்கள், சேர்க்கையா/கழிப்பா எனப் படத்தில் குறித்துக் கொள். $r = $ விட்டம்$\div 2$ என்பதை அரைவட்டங்களில் மறக்காதே.

⚠ பொதுவான தவறு பரப்பில் $r$ ஐ வர்க்கிக்க ($r^2$) வேண்டும்; சுற்றளவில் ($2\pi r$) வர்க்கம் இல்லை. இரண்டையும் குழப்பாதே — பரப்பு $= \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}$, வில் $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

இணைகரம் $ABCD$ இல் $AB = 12$ cm, முக்கோணி $BCD$ இன் பரப்பு $48$ cm$^2$. $DC$ இற்கு வரையப்படும் செங்குத்து உயரம் $AP$ இன் நீளத்தைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

ஆரைச்சிறைப் பரப்பு $= \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}$ (பரப்பில் $r^2$ — வர்க்கம்!).
வில் (சுற்றளவு) $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$ — இதில் வர்க்கம் இல்லை. குழப்பாதே.
அரைவட்டம் $=\dfrac12\pi r^2$, கால் வட்டம் $=\dfrac14\pi r^2$.
அரைவட்டத்தில் $r = $ விட்டம் $\div 2$.
முந்தைய: முக்கோணி $\frac12 ah$ · இணைகரம் $ah$ · சரிவகம் $\frac12(a+b)h$ · வட்டம் $\pi r^2$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

ஆரைச்சிறை: முழு வட்டப் பரப்பு $\pi r^2$ இன் $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கு. $\pi=\dfrac{22}{7}$.
பின்னோக்கு: பரப்பு தந்து $\theta$ காண் → $\theta = \dfrac{A\times360}{\pi r^2}$; ஆரை காண் → $r^2 = \dfrac{A\times360}{\pi\theta}$, பின் $\sqrt{}$.
கூட்டு உரு: எளிய துண்டுகளாகப் பிரி → ஒவ்வொன்றின் பரப்பு → சேர்க்கை எனில் கூட்டு, வெட்டியெடுப்பு எனில் கழி.
"நிழற்றிய/எஞ்சிய": பெரிய வடிவு − அகற்றிய துண்டு.
இரு அரைவட்டம் = ஒரு முழு வட்டம் (சம ஆரை எனில்) — சேர்த்துக் கணி.
சுருக்க உதவி: $\dfrac{22}{7}\times49 = 154$, $\times196 = 616$, $\times441 = 1386$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

பரப்பு $= \pi r^2\dfrac{\theta}{360}$ vs வில் $= 2\pi r\dfrac{\theta}{360}$ — $r^2$ vs $r$ ஐக் கவனி.
கூட்டு உருவில் முதலில் படத்தில் "எந்த வடிவங்கள், கூட்டா/கழிப்பா" எனக் குறி.
அரைவட்டம்/வட்டம் வந்தால் விட்டத்திலிருந்து ஆரை எடு ($r=d/2$).
விடைக்கு அலகு $\text{cm}^2$ (பரப்பு) எழுத மறக்காதே.

📝 மேலும் பயிற்சி