🔟 தரம் 10 · அலகு 3 · P1

பின்னங்கள்

Fractions — the four operations with proper, improper and mixed fractions

★★★★☆ பின்னம்கூட்டல்கழித்தல்பெருக்கல்வகுத்தல்

ஒரு சாக்லேட்டை பத்துச் சம துண்டுகளாக உடைத்துப் பாருங்கள். ஒரு துண்டு முழுச் சாக்லேட்டின் $\dfrac{1}{10}$; மூன்று துண்டுகள் $\dfrac{3}{10}$. "ஒரு வகுப்பின் $\dfrac{2}{3}$ பேர் பெண் பிள்ளைகள்", "தொட்டியின் $\dfrac{3}{4}$ நீர் தீர்ந்தது" — அன்றாடப் பேச்சில் பகுதியைக் குறிக்க நாம் எப்போதும் பின்னங்களையே பயன்படுத்துகிறோம். இந்தப் பாடத்தில் பின்னங்களின் வகைகளையும், அவற்றைக் கூட்டல்/கழித்தல்/ பெருக்கல்/வகுத்தல் செய்வதையும், பின் சொல்லில் வரும் பிரச்சினைகளில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதையும் செய்துகாட்டிக் கற்போம். எப்போதும் "எதன்" பின்னம் என்பதை (முழு அளவை) மனதில் வையுங்கள் — அதுவே சாவி.

பின்னத்தின் பாகங்களும் வகைகளும்

$\dfrac{2}{6}$ இல், கீழே உள்ள $6$ பகுதி (denominator) — முழு அலகு எத்தனை சம பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டது; மேலே உள்ள $2$ தொகுதி (numerator) — அதில் எத்தனை எடுக்கப்பட்டது. தொகுதி பகுதியிலும் சிறிது எனில் முறைமைப் பின்னம் ($\tfrac{2}{6}$); பெரிது எனில் முறைமையில்லாப் பின்னம் ($\tfrac{11}{4}$); தொகுதி $1$ எனில் அலகுப் பின்னம் ($\tfrac{1}{5}$); முழுஎண் + பின்னம் சேர்ந்தால் கலப்பெண் ($2\tfrac{3}{4}$).

🔄 கலப்பெண் ↔ முறைமையில்லாப் பின்னம் $2\tfrac{3}{4} = 1 + 1 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{4}{4}+\tfrac{4}{4}+\tfrac{3}{4} = \tfrac{11}{4}$. எளிய வழி: $2\tfrac34 = \dfrac{(2\times4)+3}{4} = \dfrac{11}{4}$. திரும்ப: $\tfrac72 = 3\tfrac12$ ($7\div2 = 3$ மீதி $1$).

படி 1 — சமவளவுப் பின்னங்கள்: எல்லாவற்றுக்கும் அடிப்படை

$\dfrac12 = \dfrac24 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}$ — இவை ஒரே அளவைக் குறிக்கும் சமவளவுப் பின்னங்கள். தொகுதியையும் பகுதியையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால் (அல்லது வகுத்தால்) பெறுமானம் மாறாது:

$$\frac{1}{2} = \frac{1\times 3}{2\times 3} = \frac{3}{6}, \qquad \frac{8}{20} = \frac{8\div 4}{20\div 4} = \frac{2}{5}$$

இது ஏன் முக்கியம்? பகுதி வேறுபட்ட பின்னங்களை ஒப்பிடவோ, கூட்டவோ, கழிக்கவோ — முதலில் அவற்றை ஒரே பகுதி கொண்ட சமவளவுப் பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும். $\dfrac23$ vs $\dfrac34$ ஐ ஒப்பிட: $\dfrac23 = \dfrac{8}{12}$, $\dfrac34 = \dfrac{9}{12}$ → $\dfrac{9}{12} > \dfrac{8}{12}$, எனவே $\dfrac34 > \dfrac23$.

படி 2 — கூட்டலும் கழித்தலும்: பொதுப் பகுதி காண்

பகுதி ஒன்றாக இருந்தால் வேலை எளிது — தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு/கழி: $\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{10}$. பகுதி வேறுபட்டால், முதலில் பொதுப் பகுதிக்கு (LCD) மாற்று.

$\dfrac23 + \dfrac14$: பொதுப் பகுதி $12$. ஒவ்வொன்றையும் மாற்று: $$\frac23 = \frac{2\times4}{3\times4}=\frac{8}{12}, \qquad \frac14 = \frac{1\times3}{4\times3}=\frac{3}{12}$$

பகுதிகள் $3$ உம் $4$ உம்; இவற்றின் சிறிய பொது மடங்கு $12$. அதனால் இரண்டையும் $12$-பகுதியாக்குகிறோம்.

இப்போது தொகுதிகளைக் கூட்டு: $$\frac{8}{12}+\frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

பகுதி ஒன்றானதும் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டினால் போதும். $\dfrac{11}{12}$ மேலும் சுருங்காது.

⚠ பொதுவான தவறு $\dfrac23+\dfrac14$ ஆனது $\dfrac{2+1}{3+4}=\dfrac37$ அல்ல! பகுதிகளைக் கூட்டக் கூடாது. முதலில் பொதுப் பகுதிக்கு மாற்றி, பின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு.

படி 3 — பெருக்கலும் வகுத்தலும்

பெருக்கல் மிக எளிது — தொகுதியைத் தொகுதியால், பகுதியைப் பகுதியால். "$\dfrac34$ இன் $\dfrac12$" என்பதில் "இன்" = பெருக்கல்:

$$\frac34 \text{ இன் } \frac12 = \frac34 \times \frac12 = \frac{3\times1}{4\times2} = \frac{3}{8}$$

$\frac34$ இன் பாதி = $\frac38$ — பட்டை வரைபடம்.

வகுத்தல் இல் ஒரே ஒரு புதிய எண்ணம்: ஒரு பின்னத்தால் வகுப்பது என்பது அதன் நிகர்மாறால் (தலைகீழ்) பெருக்குவதற்குச் சமம். $\dfrac{a}{b}$ இன் நிகர்மாறு $\dfrac{b}{a}$.

$\dfrac13 \div \dfrac16$: $\dfrac16$ ஆல் வகுப்பதற்குப் பதிலாக அதன் நிகர்மாறு $\dfrac61$ ஆல் பெருக்கு. $$\frac13 \div \frac16 = \frac13 \times \frac61 = \frac{6}{3} = 2$$

"$\dfrac13$ இல் எத்தனை $\dfrac16$ உண்டு?" என்பதே வகுத்தல் — பதில் $2$, பொருளோடு பொருந்துகிறது.

முழுஎண்ணால் வகுத்தலும் இதே: $\dfrac35 \div 2 = \dfrac35 \div \dfrac21 = \dfrac35 \times \dfrac12 = \dfrac{3}{10}$.

$2 = \dfrac21$; அதன் நிகர்மாறு $\dfrac12$. எனவே $2$ ஆல் வகுத்தல் = $\dfrac12$ ஆல் பெருக்கல் ("அரைவாசி").

படி 4 — செய்கைகளின் ஒழுங்கு (BODMAS)

பல செய்கைகள் சேர்ந்த கோவையில் ஒழுங்கு முக்கியம்: Brackets (அடைப்புகள்) → Of ("இன்") → Division/Multiplication (வகுத்தல்/பெருக்கல், இடமிருந்து வலம்) → Addition/Subtraction (கூட்டல்/கழித்தல்).

$\left(2\tfrac23 - 1\tfrac12 + \tfrac56\right) \div \left(1\tfrac23 \text{ இன் } \tfrac45\right)$ — முதலில் கலப்பெண்களை மாற்று: $$= \left(\frac83 - \frac32 + \frac56\right) \div \left(\frac53 \times \frac45\right)$$

அடைப்புகளை முதலில். இடப்பக்கம் பொதுப் பகுதி $6$; வலப்பக்கம் "இன்" = பெருக்கல்: $$= \frac{16-9+5}{6} \div \frac{4}{3} = \frac{12}{6} \div \frac43 = 2 \div \frac43$$

$\dfrac83=\dfrac{16}{6}$, $\dfrac32=\dfrac96$, $\dfrac56$ — கூட்டி/கழித்து $\dfrac{12}{6}=2$. வலப்பக்கம் $\dfrac53\times\dfrac45=\dfrac{4}{3}$.

இறுதியாக வகுத்தல் → நிகர்மாறால் பெருக்கல்: $$2 \div \frac43 = \frac21 \times \frac34 = \frac{3}{2} = 1\tfrac12$$

படி 5 — சொல் வடிவப் பிரச்சினைகள் (மிக முக்கியம்)

பரீட்சையில் பெரும்பாலும் பின்னம் சொல் வடிவில் வரும். இரண்டே வகை: (1) "முழுவின் இவ்வளவு பகுதி எவ்வளவு?" → பெருக்கு; (2) "இவ்வளவு பகுதி = இவ்வளவு அளவு, முழு எவ்வளவு?" → அலகுப் பின்னம் கண்டு, மடங்காக்கு.

வகை 2 எடுத்துக்காட்டு: பேருந்தில் செல்லும் தூரம் $\dfrac35 = 12$ km. முழுத் தூரம்? $$\frac15 \text{ பகுதி} = 12 \div 3 = 4 \text{ km}$$

$\dfrac35 = 12$ எனில், ஒரு பங்கு ($\dfrac15$) அதன் மூன்றில் ஒன்று. முதலில் ஒரு பங்கு கண்டுபிடி.

இப்போது முழு ($\dfrac55$) = $5$ பங்கு: $$\text{முழுத் தூரம்} = 4 \times 5 = 20 \text{ km}$$

எஞ்சும் பகுதி வினாக்களில் கவனம்: "மீதியில் $\dfrac14$" என்றால் முழுவின் $\dfrac14$ அல்ல — மீதியின் $\dfrac14$. எடுத்துக்காட்டு: புத்தகங்களுக்கு $\dfrac23$ செலவழித்தபின், மீதி $\dfrac13$; போக்குவரத்து $= \dfrac13$ இன் $\dfrac14 = \dfrac13 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{12}$.

⭐ பரீட்சைக் குறிப்பு "மீதியில்…", "எஞ்சியதில்…" எனக் கண்டால் — அது முழுவை அல்ல, அந்த நேரத்து மீதியை அலகாகக் கொள்கிறது. முதலில் மீதிப் பின்னத்தைக் கண்டு, அதன்மீது அடுத்த பின்னத்தைப் பெருக்கு.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சுருக்குக: $\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}$.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

தொகுதி (மேல்) / பகுதி (கீழ்). வகைகள்: முறைமை · முறைமையில்லா · அலகு · கலப்பெண்.
கூட்டல்/கழித்தல்: பொதுப் பகுதிக்கு மாற்று, பின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு/கழி.
பெருக்கல்: தொகுதி×தொகுதி, பகுதி×பகுதி. "இன்" = பெருக்கல்.
வகுத்தல்: இரண்டாம் பின்னத்தின் நிகர்மாறால் பெருக்கு ($\div\tfrac{a}{b} = \times\tfrac{b}{a}$).
ஒழுங்கு: BODMAS — அடைப்பு → இன் → வகு/பெருக்கு → கூட்டு/கழி.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

சமவளவு: தொகுதி/பகுதியை ஒரே எண்ணால் ×/÷ — பெறுமானம் மாறாது. ஒப்பிட/கூட்ட இதுவே அடிப்படை.
கலப்பெண் → பின்னம்: $a\tfrac{b}{c} = \dfrac{ac+b}{c}$. திரும்ப: தொகுதியை பகுதியால் வகு.
கூட்டல்/கழித்தல்: பகுதிகளின் சிறிய பொது மடங்கு (LCD) → சமவளவாக்கு → தொகுதிகளைச் செய்.
பெருக்கல்/வகுத்தல்: கலப்பெண்களை முதலில் மாற்று; முடிந்தால் குறுக்கே சுருக்கு.
முழுவின் பகுதி: "முழுவின் $\tfrac{a}{b}$" $= $ முழு $\times \tfrac{a}{b}$.
பகுதி → முழு: "$\tfrac{a}{b} = $ அளவு" எனில் ஒரு பங்கு $= $ அளவு$\div a$, முழு $= $ அது$\times b$.
எஞ்சும் பகுதி வினா: "மீதியில் $\tfrac{a}{b}$" = அந்நேர மீதியின் பகுதி — மீதியைக் கண்டு பெருக்கு.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

எச்சரிக்கை: $\tfrac{a}{b}+\tfrac{c}{d} \neq \tfrac{a+c}{b+d}$. பகுதிகளைக் கூட்டாதே — பொதுப் பகுதிக்கு மாற்று.
"இன்" எப்போதும் பெருக்கல்; வகுத்தல் எப்போதும் நிகர்மாறால் பெருக்கல்.
சொல் வினா: எப்போதும் "எதன் பின்னம்?" எனக் கேள் — முழுவா, மீதியா?
விடையை எப்போதும் எளிய வடிவில் சுருக்கி, தேவைப்பட்டால் கலப்பெண்ணாக எழுது.

📝 மேலும் பயிற்சி