🔟 தரம் 10 · அலகு 25 · P2

அட்சரகணிதச் சமனிலிகள்

Algebraic inequalities

★★★★☆ சமனிலிஅட்சரகணிதம்

கடைக்குப் போய் $x$ கிலோ பழம் வாங்குகிறீர்கள் — ஒரு கிலோ ரூ.$15$, மொத்த செலவு ரூ.$100$ க்கு மிகாமல் இருக்க வேண்டும். $15x \le 100$ — இது ஒரு சமனிலி (inequality). சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு மதிப்பு விடை கிடைக்கும்; சமனிலியில் ஒரு மதிப்பு வீச்சு கிடைக்கும் ($x \le 6.67$, எனவே அதிகூடியது $6$ கிலோ). சமன்பாட்டின் அதே விதிகள் — ஒரே ஒரு விதிவிலக்கு தவிர: மறையெண்ணால் பெருக்கினால்/வகுத்தால் குறியீடு திரும்பும் ($> \to <$). இந்த அலகு சமனிலியைத் தீர்த்தல், எண்கோட்டில் குறித்தல், ஆள்கூற்றுத் தளத்தில் பிரதேசம் காட்டல் — அனைத்தையும் செய்துகாட்டுகிறது.

படி 1 — அடிப்படை விதிகள்

⚠ தங்கவிதி மறையெண்ணால் பெருக்கும்/வகுக்கும்போது குறியீடு திரும்பும்: $>\ \to\ <$, $\ge\ \to\ \le$. (கூட்டல்/கழித்தல், நேரெண்ணால் பெருக்கல்/வகுத்தல் — குறியீடு மாறாது.)

$x + 20 > 50 \Rightarrow x > 30$. முழுஎண் தீர்வு: $\{31, 32, 33, \ldots\}$.

$-3x \ge 12$: இரு பக்கத்தையும் $-3$ ஆல் வகு → குறியீடு திரும்பும் → $x \le \dfrac{12}{-3} = -4$.

$-3 \times (-5) = 15 \ge 12$ ✓ ஆனால் $-3 \times 0 = 0 \not\ge 12$ — எனவே $x \le -4$.

படி 2 — எண்கோட்டில் குறித்தல்

திறந்த வட்டம் ($\circ$) = அந்த எண் சேராது ($>, <$); நிறை வட்டம் ($\bullet$) = சேரும் ($\ge, \le$).

$x > 3$: $3$ இல் திறந்த வட்டம், வலப்பக்கம்

படி 3 — $ax + b \ge c$ வடிவம்

சுற்றளவு கணக்கு: $2x + 10 < 30 \Rightarrow 2x < 20 \Rightarrow x < 10$. நீளம் $>$ அகலம் ($x > 5$) எனின் தீர்வு $5 < x < 10$, முழுஎண் $\{6, 7, 8, 9\}$.

$3 - 2x \le 9 \Rightarrow -2x \le 6 \Rightarrow x \ge -3$ (மறையால் வகுத்ததால் திரும்பும்).

பழ விலை: $60 + 2y \le 100 \Rightarrow 2y \le 40 \Rightarrow y \le 20$. அதிகூடிய முழுஎண் விலை ரூ. $20$.

படி 4 — ஆள்கூற்றுத் தளத்தில் பிரதேசம்

ஒரு கோடு தளத்தை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது. $x = 3$ (நிலைக்குத்துக் கோடு): வலப்பக்கம் $x > 3$, இடப்பக்கம் $x < 3$. $y = x$ (சாய்வுக் கோடு): மேலே $y > x$, கீழே $y < x$. புள்ளிக்கோடு = கோடு சேராது ($>, <$); தடிப்புக்கோடு = கோடு சேரும் ($\ge, \le$).

$x > 3$: $x = 3$ கோட்டின் வலப்பக்கம் (புள்ளிக்கோடு)

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) மறையால் ×/÷ செய்யும்போது மட்டுமே குறியீடு திரும்பும் — கூட்டல்/கழித்தலில் அல்ல. (2) $>, <$ → திறந்த வட்டம்/புள்ளிக்கோடு; $\ge, \le$ → நிறை வட்டம்/தடிப்புக்கோடு. (3) "அதிகூடிய முழுஎண்" கேட்டால் வீச்சின் விளிம்பு முழுஎண்ணா எனப் பார் ($y \le 20$ → $20$; $p < 166.67$ → $166$).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$2x + 1 \le 5$ ஐத் திருப்தியாக்கும் எல்லா நேர் நிறையெண்களையும் எழுதுக.

2024 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$3x + 11 > 2$ இன் மறை நிறையெண் (negative integer) தீர்வுகளைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

சமனிலி: $>, <, \ge, \le$. தீர்வு ஒரு எண் வீச்சு.
⚠ மறையெண்ணால் ×/÷ செய்தால் குறி திரும்பும்: $> \to <$, $\ge \to \le$.
கூட்டல்/கழித்தல், நேரெண்ணால் ×/÷ — குறி மாறாது.
எண்கோடு: $\circ$ (திறந்த) = சேராது ($>,<$); $\bullet$ (நிறை) = சேரும் ($\ge,\le$).
பிரதேசம்: புள்ளிக்கோடு = சேராது; தடிப்புக்கோடு = சேரும்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$-3x \ge 12 \Rightarrow x \le -4$ (திரும்பல்).
$2x + 10 < 30 \Rightarrow x < 10$; $x>5$ உடன் $\Rightarrow 5
$3 - 2x \le 9 \Rightarrow x \ge -3$.
$60+2y \le 100 \Rightarrow y \le 20$ (அதிகூடிய விலை ரூ.20).
இரட்டை: $x>-2$ உம் $x\le6$ உம் $\Rightarrow -2

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

$x=3$ கோடு: வலம் $x>3$, இடம் $x<3$. $y=x$ கோடு: மேலே $y>x$, கீழே $y
புள்ளி உரியதா எனப் பார்க்க: ஆள்கூறுகளைப் பிரதியிடு. $C(0,-1)$: $-1 \ge 0$? இல்லை.
"அதிகூடிய/சிறிய முழுஎண்": வீச்சின் விளிம்பைப் பார். $p<166.67 \Rightarrow 166$; $y<-5 \Rightarrow -6$.
எச்சரிக்கை: மறையால் ×/÷ செய்தால் மட்டுமே குறி திரும்பும்.

📝 மேலும் பயிற்சி