🔟 தரம் 10 · அலகு 15 · P1

சமன்பாடுகள்

Equations — fraction, simultaneous & quadratic (by factorising)

★★★★★ சமன்பாடுஒருங்கமைஇருபடி

"$60$ மாங்காய்கள் சில நண்பர்களுக்குச் சமமாகப் பகிரப்பட்டன; ஒருவன் $3$ விற்றபின் $2$ எஞ்சின — நண்பர்கள் எத்தனை?" இதை யூகித்தும் தீர்க்கலாம், ஆனால் சமன்பாடு ஒரு நம்பகமான இயந்திரம் — தெரியாததை $x$ எனக் குறித்து, சொல்லை சமன்பாடாக்கி, தீர்த்தால் பதில். இந்தப் பாடம் மூன்று வகைச் சமன்பாடுகளைச் செய்துகாட்டும்: (1) பின்னச் சமன்பாடு ($x$ பகுதியில்), (2) ஒருங்கமை சமன்பாடு (இரு தெரியாதவை), (3) இருபடிச் சமன்பாடு (காரணியால்).

நினைவுபடுத்தல் — எளிய சமன்பாடு

இரு பக்கத்திற்கும் ஒரே செயலைச் செய்து $x$ ஐத் தனிமைப்படுத்து. $2x+8 = x+12 \Rightarrow x = 4$. பின்னம் இருந்தால் பகுதியால் பெருக்கி நீக்கு.

படி 1 — பின்னச் சமன்பாடு ($x$ பகுதியில்)

$x$ பகுதியில் இருந்தால்: முதலில் இடப்பக்கத்தை ஒரே பின்னமாக்கு (பொ.ம.க.சி), பின் குறுக்குப் பெருக்கல் (cross-multiply) செய்து $x$ ஐக் காண்.

$\dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{1}{2}$: இடப்பக்கம் ஒன்றாக்கு. $$\frac{5}{a} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; a = 10$$

$\dfrac5a = \dfrac12$ → குறுக்குப் பெருக்கல் $5\times2 = 1\times a$ → $a = 10$.

$\dfrac{2}{x+5} = \dfrac{3}{2(x-3)}$: குறுக்குப் பெருக்கல். $$2 \times 2(x-3) = 3(x+5) \;\Rightarrow\; 4x-12 = 3x+15 \;\Rightarrow\; x = 27$$

சொல் வடிவம்: $60$ மாங்காய், $x$ நண்பர் → ஒருவருக்கு $\dfrac{60}{x}$; $3$ விற்றபின் $2$ எஞ்சின: $$\frac{60}{x} - 3 = 2 \;\Rightarrow\; \frac{60}{x} = 5 \;\Rightarrow\; 5x = 60 \;\Rightarrow\; x = 12$$

படி 2 — ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் (இரு தெரியாதவை)

இரு தெரியாதவை ($x, y$) → இரு சமன்பாடு தேவை. இரண்டு வழிகள்: (அ) நீக்கல் — ஒரு மாறியின் குணகத்தைச் சமப்படுத்திக் கூட்டு/கழி; (ஆ) பிரதியிடல் — ஒன்றை மற்றொன்றில் இடு (ஒரு சமன்பாடு $x = \dots$ வடிவில் இருந்தால் எளிது).

நீக்கல்: $x+2y=110$ ①, $2x+3y=190$ ②. ① $\times2$ → $2x+4y=220$ ③. $$③ - ②:\ y = 30$$

$x$ குணகம் இரண்டிலும் $2$ ஆனதால் கழித்தால் $x$ நீங்கி $y$ கிடைக்கும்.

① இல் $y=30$ பிரதியிடு: $x + 60 = 110 \Rightarrow x = 50$. (கமலா ரூ.$50$, மாலா ரூ.$30$.)

பிரதியிடல்: $2x+y=80$ ①, $2x=3y$ ②. ① இல் $2x \to 3y$: $$3y + y = 80 \;\Rightarrow\; y = 20; \quad 2x = 60 \;\Rightarrow\; x = 30$$

படி 3 — இருபடிச் சமன்பாடு (காரணியால்)

$ax^2+bx+c = 0$ வடிவம். திறவுகோல்: இரு எண்களின் பெருக்கல் $0$ எனில், அவற்றுள் ஒன்றேனும் $0$. எனவே காரணிப்படுத்தி (அலகு 7) ஒவ்வொரு காரணியையும் $0$ ஆக்கு.

$x^2 + 5x + 6 = 0$: காரணிப்படுத்து. $$(x+3)(x+2) = 0$$

ஒவ்வொரு காரணியையும் $0$ ஆக்கு: $$x+3 = 0 \;\text{அல்லது}\; x+2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \;\text{அல்லது}\; x = -2$$

இருபடிக்கு இரு மூலங்கள் — இரண்டையும் எழுது. வாய்ப்புப் பார்: $(-3)^2+5(-3)+6 = 0$ ✓.

$b=0$ அல்லது $c=0$: $x^2-16 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+4)=0 \Rightarrow x = \pm4$. $x^2+2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x = 0, -2$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) இருபடிக்கு இரு மூலங்களும் எழுது — ஒன்றை விட்டுவிடாதே. (2) $x^2=25 \Rightarrow x=\pm5$ (இரண்டும்). (3) ஒருங்கமையில் ஒரு மாறியின் குணகம் சமப்படுத்திய பின்தான் கூட்டு/கழி. (4) பின்னச் சமன்பாட்டில் பகுதி $0$ ஆகும் $x$ பெறுமானம் சரியன்று.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $5x = 20$.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $x + 3 = 5$.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

பின்னச் சமன்பாடு: ஒரே பின்னமாக்கு → குறுக்குப் பெருக்கல் → $x$ காண்.
ஒருங்கமை: நீக்கல் (குணகம் சமப்படுத்தி கூட்டு/கழி) அல்லது பிரதியிடல்.
இருபடி: $=0$ ஆக்கு → காரணிப்படுத்து → ஒவ்வொரு காரணி $=0$.
இருபடிக்கு இரு மூலங்கள்; $x^2=k \Rightarrow x=\pm\sqrt{k}$.
பெருக்கல் $0$ → ஒன்றேனும் காரணி $0$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$x$ பகுதியில்: $\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow ad=cx$. பல உறுப்பு எனில் முதலில் சேர்த்து ஒரே பின்னம்.
ஒருங்கமை — நீக்கல்: ஒரு மாறியின் குணகத்தைச் சமப்படுத்த ஒரு/இரு சமன்பாட்டைப் பெருக்கு → கூட்டு/கழி → ஒரு மாறி → பிரதியிடு.
ஒருங்கமை — பிரதியிடல்: ஒரு சமன்பாடு $x=\dots$ வடிவில் இருந்தால் மற்றதில் இடு.
இருபடி: $ax^2+bx+c=0$ → காரணிப்படுத்து (அலகு 7) → மூலங்கள். $b=0$/$c=0$ எளிது.
சொல் வினா: தெரியாததை $x$ (அல்லது $x,y$) எனக் குறி → சொல்லை சமன்பாடாக்கு → தீர்.
வாய்ப்புப் பார்: மூலத்தைச் சமன்பாட்டில் இட்டு $0$ வருகிறதா எனச் சோதி.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

இருபடிக்கு இரு மூலங்களும் எழுது; ஒன்றை விட்டுவிடாதே.
ஒருங்கமையில் ஒரு மாறி கண்டபின் பிரதியிட்டு மற்றதைக் காண.
பின்னச் சமன்பாட்டில் பகுதி $0$ ஆகும் பெறுமானம் தீர்வன்று.
சொல் வினா: அலகு கவனம் (ரூ., வயது); இறுதியில் சொல்லுக்குப் பொருந்துகிறதா எனப் பார்.

📝 மேலும் பயிற்சி