🔟 தரம் 10 · அலகு 4 · P1

சதுரப்புக் கோவைகள்

Binomial expressions — expanding products of two binomials & perfect squares (a±b)²

★★★★★ சதுரப்புக் கோவைவிரித்தல்நிறை வர்க்கம்(a+b)²

$(3x+2)$ போன்ற இரண்டு உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கோவை சதுரப்புக் கோவை (binomial). இரண்டு சதுரப்புக் கோவைகளைப் பெருக்கினால் என்ன கிடைக்கும்? ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் $(3x+2)$, அகலம் $(2x+3)$ எனில் அதன் பரப்பளவு $(3x+2)(2x+3)$ — இதை விரித்தெழுத வேண்டும். இந்தப் பாடம் இரண்டே திறன்களைக் கற்பிக்கிறது: (1) இரு சதுரப்புக் கோவைகளைப் பெருக்கி விரித்தல், (2) ஒரு சதுரப்புக் கோவையை வர்க்கித்தல் $(a\pm b)^2$. இவை அடுத்த பல அலகுகளுக்கு (காரணிப்படுத்தல், சமன்பாடு) அடித்தளம்.

படி 1 — இரு சதுரப்புக் கோவைகளைப் பெருக்குதல்

விதி எளிது: முதல் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும், இரண்டாம் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்க வேண்டும். ஒன்றையும் விட்டுவிடக் கூடாது — நான்கு பெருக்கல்கள். பின் ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றிணை.

$(3x+2)(2x+3)$: முதல் கோவையை இரண்டாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றாலும் இரண்டாம் கோவையைப் பெருக்கு. $$= 3x(2x+3) + 2(2x+3)$$

$3x$ உம் $2$ உம் தனித்தனியே $(2x+3)$ முழுவதையும் பெருக்க வேண்டும் — பங்கீட்டு விதி (distributive law).

ஒவ்வொன்றையும் விரி: $$= 6x^2 + 9x + 4x + 6$$

$3x\times2x=6x^2$, $3x\times3=9x$, $2\times2x=4x$, $2\times3=6$. நான்கு உறுப்புகள்.

நடு உறுப்புகள் ($9x, 4x$) ஒத்தவை — ஒன்றிணை: $$= 6x^2 + 13x + 6$$

இதை ஒரு பரப்பளவுப் படத்தாலும் சரிபார்க்கலாம் — செவ்வகத்தை நான்கு சிறு செவ்வகங்களாகப் பிரித்தால், அவற்றின் பரப்புகள் சேர்ந்தே மொத்தப் பரப்பு:

நீளம் $(3x+2)$, அகலம் $(2x+3)$ → பகுதிகள் $6x^2+4x+9x+6 = 6x^2+13x+6$.

↔ வித்தியாச வர்க்க வடிவம் $(3x+2y)(3x-2y) = 9x^2 - 6xy + 6xy - 4y^2 = 9x^2 - 4y^2$. நடு உறுப்புகள் நீங்கிவிடும் — இது $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ என்ற வடிவம். அடிக்கடி வரும்; கவனி.

படி 2 — சதுரப்புக் கோவையை வர்க்கித்தல்

$(x+2)^2$ என்பது $(x+2)(x+2)$ தான். மேலே கற்ற முறையாலேயே விரிக்கலாம். ஆனால் ஒரு சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்தால் நேரம் மிஞ்சும். $(a+b)^2$ ஐ விரித்துப் பார்ப்போம்:

$$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$ab$ உம் $ba$ உம் ஒன்றே — எனவே $2ab$. இதுவே நடு உறுப்பு.

இரு திறவுச் சூத்திரங்கள் $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad\qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

சொற்களில்: முதல் உறுப்பின் வர்க்கம் + (முதல்×இரண்டாம் உறுப்பின் இருமடங்கு) + இரண்டாம் உறுப்பின் வர்க்கம். கழித்தல் வடிவில் நடு உறுப்பு மட்டும் எதிர்க்குறி.

$(3x+5y)^2$: $a = 3x$, $b = 5y$ எனப் பயன்படுத்து. $$= (3x)^2 + 2(3x)(5y) + (5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2$$

$(3x)^2 = 9x^2$ — குணகத்தையும் மாறியையும் இரண்டையும் வர்க்கிக்க வேண்டும், $3x^2$ அல்ல.

$(3a-2b)^2$: கழித்தல் வடிவம் → நடு உறுப்பு எதிர்க்குறி. $$= (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$$

⚠ பொதுவான தவறு $(a+b)^2$ ஆனது $a^2+b^2$ அல்ல! நடு உறுப்பு $2ab$ ஐ மறக்காதே. சோதனை: $(3+4)^2 = 49$, ஆனால் $3^2+4^2 = 25$. வித்தியாசம் $2\times3\times4 = 24$ — அதுவே $2ab$.

படி 3 — எண்களை வேகமாகக் கணித்தல்

இந்தச் சூத்திரம் பெரிய எண்களின் வர்க்கத்தை மனதிலேயே காண உதவும். எண்ணை அருகிலுள்ள வட்ட எண் $\pm$ சிறிய எண்ணாக எழுது:

$105^2 = (100+5)^2 = 100^2 + 2(100)(5) + 5^2 = 10000 + 1000 + 25 = 11025$.

$99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

$99$ ஐ $(100-1)$ ஆக்கினால் கழித்தல் வடிவம் — மனக்கணக்கில் எளிது.

படி 4 — பயனுள்ள விளைவுகள்

இச்சூத்திரங்களிலிருந்து இரு கைக்குறிப்புகள் பிறக்கின்றன — பரீட்சையில் அடிக்கடி வரும்:

$$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \qquad\qquad x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$$

எடுத்துக்காட்டாக $x+y = 5$, $xy = 6$ எனில், $x^2+y^2 = 5^2 - 2(6) = 25-12 = 13$ — $x, y$ ஐத் தனியே காணாமலே! இவை சூத்திரத்தை பின்னோக்கிப் பயன்படுத்தும் வினாக்கள்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

காரணிப்படுத்துக: $x^2 + 3x - 10$.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

காரணிகளாக்குக: $9 - 4y^2$.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

காரணிகளைக் காண்க: $2x^2 + x - 6$.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

காரணிகளைக் காண்க: $x^2 + 3x - 10$.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$2x^2 + 3x + 1$ இன் ஒரு காரணி $(x+1)$. மற்றைய காரணியைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ · $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ (வித்தியாச வர்க்கம்).
பெருக்கம்: முதல் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இரண்டாம் கோவையின் ஒவ்வொன்றையும் பெருக்கு (4 பெருக்கல்).
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy$.
எண் வர்க்கம்: $105^2=(100+5)^2$, $99^2=(100-1)^2$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

பெருக்கம் (4 படி): பிரி → ஒவ்வொன்றாலும் பெருக்கு → 4 உறுப்பு → ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றிணை.
குணகம் உள்ள உறுப்பு: $(3x)^2 = 9x^2$ (குணகத்தையும் வர்க்கி), $3x^2$ அல்ல.
வர்க்கம்: முதல்² + (முதல்×இரண்டாம் ×2) + இரண்டாம்². கழித்தலில் நடு உறுப்பு மட்டும் எதிர்க்குறி.
எதிர் உறுப்பு: $(-2y)^2 = 4y^2$ (எதிர்க்குறி வர்க்கத்தில் நேராகும்).
வெற்றிடம்/நிறை வர்க்கம்: நடு உறுப்பு $=2ab$ → $b$ காண்; கூட்ட வேண்டியது $b^2$.
பின்னோக்கு வினா: $x+y$, $xy$ தந்தால் $x^2+y^2$ ($x,y$ காணாமலே) — அடையாளம் பயன்படுத்து.
சோதனை: $(2x+3y)^2 = 4x^2+12xy+9y^2$; $(3a-2b)^2 = 9a^2-12ab+4b^2$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

எச்சரிக்கை: $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ — நடு உறுப்பு $2ab$ ஐ ஒருபோதும் மறக்காதே.
வித்தியாச வர்க்கத்தில் ($(a+b)(a-b)$) நடு உறுப்புகள் நீங்கும் — விடை $a^2-b^2$ மட்டும்.
எல்லா விரிவையும் ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றிணைத்து இறுதி வடிவில் எழுது.
பின்னோக்கு வினா திறவுகோல்: $(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$ ஐ மறுசீரமைத்துப் பயன்படுத்து.

📝 மேலும் பயிற்சி