🔟 தரம் 10 · அலகு 23 · P2

குத்திரங்கள்

Formulae — substitution and changing the subject

★★★☆☆ குத்திரம்எழுவாய்

ஒரு பயணத்தில் தூரம் $240$ கி.மீ, கதி $60$ கி.மீ/மணி என்றால் நேரம் எவ்வளவு? $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{240}{60} = 4$ மணி. $d = vt$ குத்திரத்தில் $t$ ஐ மட்டும் எழுவாயாக (subject) மாற்றி நேரடியாகக் கணித்தோம். இதுவே எழுவாய் மாற்றம் (change of subject): ஒரு குத்திரத்தில் தேவையான கணியத்தை ஒரு பக்கத்தில் தனிமையாக நிறுத்துவது. கூட்டல் ↔ கழித்தல், பெருக்கல் ↔ வகுத்தல், வர்க்கம் ↔ வர்க்கமூலம் — எதிர்ச் செயல்களால் ஒவ்வொரு படியாகத் தனிமைப்படுத்துகிறோம். இந்த அலகு எழுவாய் மாற்றத்தையும், குத்திரத்தில் மதிப்புகளை பிரதியிட்டுத் (substitution) தீர்ப்பதையும் செய்துகாட்டுகிறது.

படி 1 — எழுவாய் மாற்றத்தின் கொள்கை

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே செயலைச் செய்தால் சமனிலை மாறாது. தேவைப்படும் கணியத்தைத் தனிமைப்படுத்த: எதிர்ச் செயல்களை வரிசையாகச் செய் (கூட்டல் ↔ கழித்தல், பெருக்கல் ↔ வகுத்தல், வர்க்கம் ↔ வர்க்கமூலம்).

$A = l \times b$ இல் $b$ ஐ எழுவாயாக்கு: இரு பக்கத்தையும் $l$ ஆல் வகு → $b = \dfrac{A}{l}$.

$v = u + at$ இல் $u$ ஐ எழுவாயாக்கு: $at$ ஐ மாற்று → $u = v - at$.

படி 2 — வர்க்கம் & வர்க்கமூலம் கொண்ட குத்திரம்

வட்டப் பரப்பு: $A = \pi r^2$ இல் $r$ ஐ எழுவாயாக்கு. முதலில் $r^2 = \dfrac{A}{\pi}$, பின் வர்க்கமூலம் → $r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$.

$r$ ஆரை என்பதால் நேர்ப் பெறுமானம் மட்டும். கருத்து தெரியாவிட்டால் $\pm$ இரண்டையும் எழுது.

ஊசலின் ஆட்டக்காலம்: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ இல் $l$ ஐ எழுவாயாக்கு. $\dfrac{T}{2\pi} = \sqrt{\dfrac{l}{g}}$; இரு பக்கமும் வர்க்கி → $\dfrac{T^2}{4\pi^2} = \dfrac{l}{g}$; எனவே $l = \dfrac{gT^2}{4\pi^2}$.

பைதகரஸ்: $a^2 + b^2 = c^2$ இல் $b$ ஐ எழுவாயாக்கு → $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

படி 3 — பிரதியீடு (மதிப்புகளைப் போட்டுக் காணல்)

ஒன்று தவிர மற்ற எல்லா கணியங்களும் தரப்பட்டால், அவற்றைப் பிரதியிட்டுத் தெரியாததைக் காணலாம். இரு வழி: (அ) எழுவாய் மாற்றிப் பின் பிரதியிடு, (ஆ) நேரடியாகப் பிரதியிட்டுத் தீர் — இரண்டும் ஒரே விடை.

கூம்பின் கனவளவு: $v = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$, $v = 132$, $h = 14$, $\pi = \dfrac{22}{7}$. $r$ காண்க. $$132 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{22}{7} \times r^2 \times 14 = \dfrac{44}{3}r^2$$ $$r^2 = \dfrac{132 \times 3}{44} = 9 \Rightarrow r = 3$$

பைதகரஸ் பயன்பாடு: $x = \sqrt{a^2 + b^2}$, $x = 25$, $a = 24$. $b$ காண்க. $$25^2 = 24^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = 625 - 576 = 49 \Rightarrow b = 7$$

ஊசல்: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$, $l = 490$, $g = 10$, $\pi = \dfrac{22}{7}$. $$T = 2 \times \dfrac{22}{7} \times \sqrt{\dfrac{490}{10}} = \dfrac{44}{7} \times \sqrt{49} = \dfrac{44}{7} \times 7 = 44$$

⭐ ஏன் எழுவாய் மாற்றம்? ஒரே குத்திரத்தை பல பெறுமானங்களுக்குப் பயன்படுத்த வேண்டுமானால், தேவையான கணியத்தை எழுவாயாக்கி வைத்தால் ஒவ்வொரு முறையும் மீண்டும் தீர்க்க வேண்டியதில்லை — கணிப்பான்/கணினியிலும் இது அவசியம்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) எதிர்ச் செயலை இரு பக்கத்திலும் செய் — ஒரு பக்கம் மட்டும் அல்ல. (2) வர்க்கமூலம் எடுக்கும்போது முழுக் கோவைக்கும் எடு: $\sqrt{c^2 - a^2} \ne c - a$. (3) வர்க்கி/மூலமெடுக்கும் வரிசையைப் பின்பற்று — முதலில் மூலம் கொண்ட உறுப்பைத் தனிமைப்படுத்து, பின் வர்க்கி.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சூத்திரம் $pq - r = u$ இல் $p$ யை எழுவாக்குக (subject).

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$P = A(1 + rt)$ இல் $A$ ஐ எழுவாக்குக.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

எழுவாய் = தனியாக ஒரு பக்கம் நிற்கும் கணியம். மற்றதை எழுவாயாக்க = அதைத் தனிமைப்படுத்து.
எதிர்ச் செயலை இரு பக்கத்திலும் செய்: $+\leftrightarrow-$, $\times\leftrightarrow\div$, வர்க்கம் $\leftrightarrow$ மூலம்.
$v = u + at \Rightarrow u = v - at$.
$A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$.
பிரதியீடு: ஒன்று தவிர மற்றதைப் போட்டுத் தெரியாததைக் காண்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

மூலம் கொண்ட குத்திரம்: முதலில் மூல உறுப்பைத் தனிமைப்படுத்து, பின் வர்க்கி. $T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}} \Rightarrow l = \dfrac{gT^2}{4\pi^2}$.
$a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow b = \sqrt{c^2 - a^2}$ (முழுக் கோவைக்கும் மூலம்!).
பிரதியீடு: $v^2 = u^2 + 2as$, $v=10,a=3,s=6 \Rightarrow u^2 = 64 \Rightarrow u = 8$.
கூம்பு: $v=\tfrac13\pi r^2 h$, $v=132,h=14,\pi=\tfrac{22}{7} \Rightarrow r = 3$.
ஊசல்: $T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$, $l=490,g=10 \Rightarrow T = 44$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

பைதகரஸ் பயன்பாடு: $x=25,a=24 \Rightarrow b=\sqrt{625-576}=7$.
கோளம்: $A=4\pi r^2$, $A=616 \Rightarrow r=7$.
$k^2 = lm$, $l=9,m=4 \Rightarrow k = \pm 6$ (கருத்து தெரியாவிட்டால் $\pm$).
எச்சரிக்கை: $\sqrt{c^2-a^2} \ne c-a$; வர்க்கி/மூலமெடுக்கும் வரிசையைப் பின்பற்று.

📝 மேலும் பயிற்சி