🔟 தரம் 10 · அலகு 18 · P1

தொடைகள் (கணங்கள்)

Sets — notation, Venn diagrams, two-set regions, n(A∪B) formula

★★★★☆ தொடைகணம்வென் படம்

"இந்த வகுப்பில் கிரிக்கெட் விளையாடுவோர், உணவுப்பந்து விளையாடுவோர், இரண்டையும் விளையாடுவோர் எத்தனை?" — இத்தகைய தகவல்களைச் சுத்தமாக ஒழுங்குபடுத்த தொடைகளும் (sets) வென் வரைபடங்களும் உதவுகின்றன. ஒரு தொடை = பொருள்களின் தொகுப்பு. இந்தப் பாடம் தொடைகளை எழுதும் வழிகள், வென் வரைபடப் பிரதேசங்கள் ($\cup, \cap$, நிரப்பி), பின் எண்ணிக்கைச் சூத்திரம் $n(A\cup B)$ ஐ செய்துகாட்டிக் கற்பிக்கிறது.

படி 1 — ஒரு தொடையை எழுதும் நான்கு வழிகள்

$A = \{1\text{–}10\}$ இடைப்பட்ட $3$ இன் மடங்குகள் என்பதை நான்கு வழிகளில் எழுதலாம்:

சொற்களில்: $A = \{1$ க்கும் $10$ க்கும் இடைப்பட்ட $3$ இன் மடங்குகள்$\}$
பட்டியல்: $A = \{3, 6, 9\}$
வென் வரைபடம்: $3, 6, 9$ ஐ ஒரு வட்டத்தினுள் எழுது
பிறப்பாக்கி வடிவம்: $A = \{x : x \text{ is } 3 \text{ இன் மடங்கு}, \ 1 < x < 10\}$

பிறப்பாக்கி வடிவத்தில் "$:$" க்குப் பின் $x$ எவ்வாறிருக்க வேண்டும் என்பது கூறப்படும். $\mathbb{Z}$ = முழுஎண்கள், $\mathbb{Z}^+$ = நேர் முழுஎண்கள். எ.கா. $\{0,1,2,3\} = \{x \in \mathbb{Z} : 0 \le x \le 3\}$.

படி 2 — வென் வரைபடப் பிரதேசங்கள்

அகிலத் தொடை $\varepsilon$; $n_1$ = $A$ மட்டும், $n_2$ = $A\cap B$, $n_3$ = $B$ மட்டும்.

நிரப்பி $A'$ = $A$ இல் இல்லாதவை.
இடைவெட்டு $A \cap B$ = $A$ உம் $B$ உம் — பொது மூலகங்கள்.
ஒன்றிப்பு $A \cup B$ = $A$ அல்லது $B$ — அனைத்து மூலகங்களும்.

$\varepsilon = \{1,2,\dots,10\}$, $A = \{2,4,6,8,10\}$, $B = \{2,3,5,7\}$: $$A' = \{1,3,5,7,9\}; \quad A \cap B = \{2\}; \quad A \cup B = \{2,3,4,5,6,7,8,10\}$$

$A'$ = $A$ இல் இல்லாத ε-மூலகங்கள். $A\cap B$ = இரண்டிலும் உள்ள $2$ மட்டும்.

கூட்டுப் பிரதேசங்கள்: $(A \cup B)' = \{1,9\}$ (இரண்டிலும் இல்லாதவை); $A \cap B' = \{4,6,8,10\}$ ($A$ மட்டும்); $A' \cap B = \{3,5,7\}$ ($B$ மட்டும்).

படி 3 — எண்ணிக்கைச் சூத்திரம்

$n(A)$ = $A$ இல் உள்ள மூலகங்களின் எண்ணிக்கை. வரைபடப் பிரதேசங்களை $n_1, n_2, n_3$ என்றால்: $n(A) = n_1 + n_2$, $n(B) = n_2 + n_3$, $n(A\cup B) = n_1 + n_2 + n_3$. இவற்றை இணைத்தால்:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

ஏன் $-n(A\cap B)$? பொது மூலகங்கள் $n(A)$ உம் $n(B)$ உம் இரண்டிலும் இருமுறை எண்ணப்படுகின்றன — எனவே ஒருமுறை கழிக்க வேண்டும். (முட்டற்ற தொடைகள் எனில் $A\cap B = \emptyset$, எனவே $n(A\cup B) = n(A) + n(B)$.)

$n(A) = 35$, $n(B) = 24$, $n(A\cap B) = 11$. $n(A\cup B)$? $$= 35 + 24 - 11 = 48$$

பின்னோக்கு: $n(X) = 16$, $n(X\cap Y) = 5$, $n(X\cup Y) = 29$. $n(Y)$? $$29 = 16 + n(Y) - 5 \;\Rightarrow\; n(Y) = 18$$

⭐ வென் வரைபட வாசிப்பு இரு வட்ட வரைபடத்தில்: "$A$ மட்டும்" = இடைவெட்டுக்கு வெளியேயான $A$ பகுதி; "ஒரு விளையாட்டில் மட்டும்" = $A$ மட்டும் $+$ $B$ மட்டும்; "எதிலும் இல்லை" = வட்டங்களுக்கு வெளியே. இடைவெட்டிலிருந்து எண்ணத் தொடங்கு.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $n(A)$ என்பது $A$ இன் முழு எண்ணிக்கை (இடைவெட்டு உட்பட), "$A$ மட்டும்" அல்ல. (2) சூத்திரத்தில் $-n(A\cap B)$ மறக்காதே — இல்லையேல் பொது மூலகங்கள் இருமுறை எண்ணப்படும். (3) "உம்" = $\cap$, "அல்லது" = $\cup$.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$A = \{2$ இன் மடங்குகள்$\}$, $B = \{3$ இன் மடங்குகள்$\}$ எனின், $A \cap B$ இல் உள்ள ஒரு மூலகத்தை எழுதுக.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தரப்பட்ட வென் வரிப்படத்தில் $A \cap B$ ஐ வரைகுறிக்கும் பிரதேசத்தை நிழற்றுக.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

வென் வரிப்படத்தில் $B \cap A$ ஐ வரைகுறிக்கும் பிரதேசத்தை நிழற்றுக.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

வென் வரிப்படத்தில் $A = \{4, 1\}$, $B = \{1, 3\}$, $\varepsilon = \{4, 1, 3, 2\}$. $A' \cup B'$ ஐ அதன் மூலகங்களின் சார்பில் எழுதுக.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

வென் வரிப்படத்தில் $A' \cap B$ ஐ வரைகுறிக்கும் பிரதேசத்தை நிழற்றுக.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

தொடை எழுத 4 வழி: சொற்களில் · பட்டியல் · வென் வரைபடம் · பிறப்பாக்கி வடிவம்.
$A'$ = நிரப்பி (இல்லாதவை); $A\cap B$ = "உம்" (பொது); $A\cup B$ = "அல்லது" (அனைத்து).
$n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$.
முட்டற்ற ($A\cap B=\emptyset$): $n(A\cup B) = n(A)+n(B)$.
பிறப்பாக்கி: $\{x : $ நிபந்தனை$\}$; $\mathbb{Z}$=முழுஎண், $\mathbb{Z}^+$=நேர் முழுஎண்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

பிரதேசங்கள்: $A$ மட்டும் $= A\cap B'$; $B$ மட்டும் $= A'\cap B$; இடைவெட்டு $= A\cap B$; எதிலும் இல்லை $= (A\cup B)'$.
சூத்திரம்: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ — பொது மூலகங்கள் இருமுறை எண்ணப்படுவதால் $-n(A\cap B)$.
பின்னோக்கு: மூன்று தந்தால் நான்காவதைச் சூத்திரத்தால் காண்.
வென் வாசிப்பு: இடைவெட்டிலிருந்து எண்ணத் தொடங்கு; $n(A) = $ $A$ மட்டும் $+$ இடைவெட்டு.
உட்தொடை ($Y\subset X$): $Y$ முழுவதும் $X$ க்குள்; $X\cup Y = X$, $X\cap Y = Y$.
முட்டற்ற: $n(A\cap B)=0$ எனில் பொது மூலகம் இல்லை.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

$n(A)$ = $A$ இன் முழு எண்ணிக்கை (இடைவெட்டு உட்பட), "$A$ மட்டும்" அல்ல.
சூத்திரத்தில் $-n(A\cap B)$ மறக்காதே.
"உம்" $=\cap$, "அல்லது" $=\cup$ — சொல்லைச் சரியாக மொழிபெயர்.
வென் சொல் வினா: இடைவெட்டை முதலில் நிரப்பு, பின் மற்ற பிரதேசங்கள்.

📝 மேலும் பயிற்சி