🔟 தரம் 10 · அலகு 21 · P2

வரைபுகள்

Graphs — straight-line graphs, gradient and intercept

★★★★★ வரைபுபடித்திறன்

ஒரு பேருந்து நிலையத்திலிருந்து புறப்பட்ட பேருந்து $x$ மணி நேரத்தில் $y = 5x + 20$ கி.மீ தூரத்தில் உள்ளது. இந்தச் சமன்பாட்டை ஒரு வரைபில் காட்டினால் ஒரு நேர்க்கோடு கிடைக்கும் — $m = 5$ என்பது ஒவ்வொரு மணி நேரமும் $5$ கி.மீ கூடுகிறது (வேகம்), $c = 20$ என்பது துவக்கத்தில் நிலையத்திலிருந்து $20$ கி.மீ தொலைவில் புறப்பட்டது என்று காட்டுகிறது. வரைபு என்பது சமன்பாட்டின் படம். $y = mx + c$ ஒரு நேர்க்கோடு; $y = ax^2 + b$ ஒரு பரவளைவு (parabola). இந்த அலகு படித்திறன் (slope) காணல், கோட்டுச் சமன்பாடு எழுதல், பரவளைவின் பண்புகள், வரைபிலிருந்து மூலங்கள்/ஆயிடை காணல் — அனைத்தையும் செய்துகாட்டுகிறது.

படி 1 — படித்திறன் (slope)

$y = mx + c$ இல் $x$ இன் குணகம் $m$ ஆனது நிலைகுத்து மாற்றம் ÷ கிடை மாற்றம். இரு புள்ளி $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ வழியே செல்லும் கோட்டுக்கு:

படித்திறன் சூத்திரம் $m = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$

படித்திறன் = நிலைகுத்து ÷ கிடை

$(3, 10)$, $(2, 6)$: $m = \dfrac{10 - 6}{3 - 2} = \dfrac{4}{1} = 4$.

$(6, 3)$, $(2, 5)$: $m = \dfrac{3 - 5}{6 - 2} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$ (கீழ்நோக்கிய கோடு).

$(-2, 4)$, $(1, -2)$: $m = \dfrac{4 - (-2)}{-2 - 1} = \dfrac{6}{-3} = -2$.

இரு புள்ளிகளையும் ஒரே வரிசையில் வைத்துக் கணி — மேல்/கீழ் தொடர்பு குழம்பாது.

படி 2 — கோட்டுச் சமன்பாடு எழுதல்

வெட்டுத்துண்டு + ஒரு புள்ளி தரப்படின்: வெட்டுத்துண்டு $3$, புள்ளி $(2, 7)$. $y = mx + c$ இல் பிரதியிடு: $7 = 2m + 3 \Rightarrow 2m = 4 \Rightarrow m = 2$. எனவே $y = 2x + 3$.

இரு புள்ளி தரப்படின்: $(1, 7)$, $(3, 15)$. முதலில் $m = \dfrac{7 - 15}{1 - 3} = \dfrac{-8}{-2} = 4$. பின் $(1, 7)$ ஐப் பிரதியிடு: $7 = 4(1) + c \Rightarrow c = 3$. எனவே $y = 4x + 3$.

படி 3 — பரவளைவு $y = ax^2 + b$

$y = ax^2 + b$ இன் வரைபு எப்போதும் ஒரு பரவளைவு, $y$-அச்சைப் பற்றிச் சமச்சீரானது (சமச்சீர் அச்சு $x = 0$), திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$.

பரவளைவின் பண்புகள் $a > 0$ → இழிவுப் புள்ளி (மேல்திறந்த ∪) • $a < 0$ → உயர்வுப் புள்ளி (கீழ்திறந்த ∩)
திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$ • உயர்வு/இழிவுப் பெறுமானம் $= b$

$a > 0$: இழிவுப் புள்ளியுடைய பரவளைவு

$y = 3x^2 - 5$: $a = 3 > 0$ → இழிவு. சமச்சீர் அச்சு $x = 0$, திருப்பப் புள்ளி $(0, -5)$, இழிவுப் பெறுமானம் $-5$.

$y = 4 - 2x^2$: $a = -2 < 0$ → உயர்வு. திருப்பப் புள்ளி $(0, 4)$, உயர்வுப் பெறுமானம் $4$.

படி 4 — வரைபிலிருந்து மூலங்களும் ஆயிடையும்

$ax^2 + b = 0$ இன் மூலங்கள் = பரவளைவு $x$-அச்சை வெட்டும் இடங்கள் ($y = 0$). எடுத்துக்காட்டு $y = x^2 - 4$ ஆனது $x = -2, +2$ இல் வெட்டுகிறது → $x^2 - 4 = 0$ இன் மூலங்கள் $\pm 2$.

$y = x^2 - 4$, $y \ge 0$ ஆகும் $x$ ஆயிடை: வெட்டுப் புள்ளிகளுக்கு வெளியே — $x \le -2$ அல்லது $x \ge 2$.

$y = x^2 - 3$, $y < 6$ ஆகும் ஆயிடை: $x^2 - 3 = 6 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$; கோட்டுக்கு உள்ளே → $-3 < x < 3$.

⭐ நிலைக்குத்து நகர்வு $y = x^2$ ஐ $b$ அலகு மேலே நகர்த்தினால் $y = x^2 + b$. எனவே $b$ வெறுமனே பரவளைவை மேல்/கீழ் நகர்த்துகிறது — வடிவம் மாறாது. திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$ ஆகும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) படித்திறனில் $y$ மாற்றம் மேலே, $x$ மாற்றம் கீழே — இருபுள்ளியையும் ஒரே வரிசையில் வை. (2) $a > 0$ → ∪ (இழிவு), $a < 0$ → ∩ (உயர்வு) — குழப்பாதே. (3) திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$, $(b, 0)$ அல்ல. (4) மூலங்கள் = $x$-வெட்டுக்கள், $y$-வெட்டு அல்ல.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$y = 3 - x$ கோட்டை ஆள்கூற்றுத் தளத்தில் வரைக.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

நேர்க்கோடு $y = mx + c$: $m$ = படித்திறன், $c$ = $y$-வெட்டுத்துண்டு.
படித்திறன்: $m = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ — இரு புள்ளியையும் ஒரே வரிசையில் வை.
பரவளைவு $y = ax^2 + b$: திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$, சமச்சீர் அச்சு $x = 0$.
$a > 0$ → ∪ இழிவுப் புள்ளி; $a < 0$ → ∩ உயர்வுப் புள்ளி. பெறுமானம் $= b$.
மூலங்கள் = பரவளைவு $x$-அச்சை வெட்டும் இடங்கள் ($y = 0$).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

கோட்டுச் சமன்பாடு (வெட்டு+புள்ளி): வெட்டு $3$, $(2,7)$ → $7 = 2m+3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow y = 2x+3$.
கோட்டுச் சமன்பாடு (இருபுள்ளி): $(1,7),(3,15)$ → $m = 4$, $c = 3$ → $y = 4x+3$.
பண்புகள்: $y = 3x^2 - 5$ → $x=0$, $(0,-5)$, இழிவு $-5$.
$y = 4 - 2x^2$ → $x=0$, $(0,4)$, உயர்வு $4$.
நகர்வு: $y = x^2$ ஐ $b$ மேலே நகர்த்து → $y = x^2 + b$, திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

ஆயிடை: $y = x^2 - 4$, $y \ge 0$ → $x \le -2$ அல்லது $x \ge 2$ (வெட்டுக்களுக்கு வெளியே).
ஆயிடை: $y = x^2 - 3$, $y < 6$ → $x = \pm 3 \Rightarrow -3 < x < 3$ (உள்ளே).
மூலங்கள்: $x^2 - 9 = 0$ → வரைபு $x$-அச்சை $\pm 3$ இல் வெட்டும் → மூலங்கள் $\pm 3$.
எச்சரிக்கை: திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$ — $(b, 0)$ அல்ல. $a$ அடையாளம் ∪/∩ ஐத் தீர்மானிக்கும்.

📝 மேலும் பயிற்சி