🔟 தரம் 10 · அலகு 2 · P1

வர்க்கமூலம்

Square roots — by approximation and by the long-division (division) method

★★★★☆ வர்க்கமூலம்அண்ணளவாக்கம்வகுத்தல் முறை

ஒரு சதுர அறையின் பரப்பளவு $441\ \text{cm}^2$ என்று மட்டும் தெரிந்தால், அதன் ஒரு பக்கம் எவ்வளவு நீளம்? பரப்பளவு = பக்கம் $\times$ பக்கம் என்பதால், "எந்த எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கினால் $441$ வரும்?" என்று கேட்கிறோம். அந்த எண்ணே $441$ இன் வர்க்கமூலம் ($\sqrt{441}$). வர்க்கம் காண்பதன் நேர்மாறு செயலே வர்க்கமூலம். இந்தப் பாடத்தில், வர்க்கமூலத்தை இரண்டு வழிகளில் காண்போம் — அண்ணளவாக்கம் (சுற்றி வளைத்துக் கிட்டிய மதிப்பு) மற்றும் வகுத்தல் முறை (சரியான, நேரடியான முறை).

வர்க்கமூலம் என்றால் என்ன?

$3 \times 3 = 9$. இதை $3^2 = 9$ ("மூன்றின் வர்க்கம் ஒன்பது") என எழுதுகிறோம். இப்போது திருப்பிக் கேளுங்கள்: "$9$ எந்த எண்ணின் வர்க்கம்?" — பதில் $3$. எனவே $9$ இன் வர்க்கமூலம் $3$; இதை $\sqrt{9} = 3$ என எழுதுகிறோம். அதேபோல் $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{25} = 5$. $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ போன்ற, ஒரு முழுஎண்ணின் வர்க்கமாக வரும் எண்கள் நிறைவாக்கங்கள் (perfect squares) எனப்படும்.

📌 அறிந்திருக்க வேண்டியவை $11^2{=}121,\ 12^2{=}144,\ 13^2{=}169,\ 14^2{=}196,\ 15^2{=}225,\ 16^2{=}256,\ 17^2{=}289,\ 18^2{=}324,\ 19^2{=}361,\ 20^2{=}400,\ 21^2{=}441,\ 25^2{=}625$. இவற்றை மனப்பாடம் செய்தால் பல வினாக்கள் ஒரே வரியில் தீர்ந்துவிடும்.

படி 1 — அண்ணளவாக்க முறை: இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்தல்

ஒவ்வொரு எண்ணும் நிறைவாக்கம் அல்ல. $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$; ஆனால் $4$ க்கும் $9$ க்கும் இடைப்பட்ட $5, 6, 7, 8$ இன் வர்க்கமூலம் முழுஎண் அல்ல — அது ஒரு தசம எண். அதன் கிட்டிய மதிப்பைக் காண்பதே அண்ணளவாக்கம். உத்தி எளிது: எண்ணை அதற்கு அருகிலுள்ள இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்து, எந்தப் பக்கம் கிட்டியதோ அதை நோக்கி நகர்வது.

செய்துகாட்டல் 1 — $\sqrt{17}$ ஐ அண்ணளவாக்கம் காண்க

$17$ க்கு அருகிலுள்ள இரு நிறைவாக்கங்கள்: கீழே $16$, மேலே $25$. $$16 < 17 < 25 \;\Rightarrow\; \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25} \;\Rightarrow\; 4 < \sqrt{17} < 5$$

வர்க்கமூலம் வரிசையைக் காப்பாற்றுகிறது — பெரிய எண்ணுக்குப் பெரிய மூலம். எனவே $\sqrt{17}$ நிச்சயம் $4$ க்கும் $5$ க்கும் இடையே.

$17$ எந்தப் பக்கம் கிட்டியது? $17-16 = 1$ (சிறிது), $25-17 = 8$ (பெரிது). எனவே $17$ ஆனது $16$ க்கு — அதாவது $4$ க்கு — கிட்டியது.

குறைந்த வித்தியாசம் உள்ள பக்கமே கிட்டிய பக்கம். எனவே $\sqrt{17}$ ஆனது $4.1, 4.2, 4.3, 4.4$ வரிசையில் இருக்கும்.

இப்போது வர்க்கம் செய்து சோதிக்கிறோம்: $$4.1^2 = 16.81, \qquad 4.2^2 = 17.64$$ $17$ ஆனது $16.81$ க்கும் $17.64$ க்கும் இடையே; கிட்டியது $16.81$. $$\therefore \sqrt{17} \approx 4.1$$

"$\approx$" என்பது "கிட்டத்தட்ட சமம்". $4.3, 4.4$ ஐச் சோதிக்கத் தேவையில்லை — $17$ ஏற்கனவே $4.1$ க்கும் $4.2$ க்கும் இடையே அகப்பட்டுவிட்டது.

விடை: $\sqrt{17} \approx 4.1$.

படி 2 — வகுத்தல் முறை (long division): சரியான, நேரடியான வழி

அண்ணளவாக்கம் கிட்டிய மதிப்பைத் தரும்; ஆனால் பெரிய எண்களுக்கு அது மெதுவானது. வகுத்தல் முறை எந்த நேர் எண்ணுக்கும் வர்க்கமூலத்தை நேரடியாகத் தரும். வகுத்தலைப் போலவே தோன்றும் — ஆனால் இலக்கங்களை இரண்டிரண்டாக பிரித்து வேலை செய்வோம். $\sqrt{1764}$ ஐக் காண்போம்.

ஒன்றாம் இடத்திலிருந்து இடப்பக்கம் இரண்டிரண்டு இலக்கங்களாக கோடிட்டுப் பிரி: $\overline{17}\ \overline{64}$.

ஒவ்வொரு இரட்டை இலக்கமும் விடையில் ஒரு இலக்கத்தைத் தரும். எனவே $1764$ (இரண்டு ஜோடி) → விடையில் இரண்டு இலக்கங்கள்.

முதல் ஜோடி $17$. $17$ ஐ விட சிறிய, கிட்டிய நிறைவாக்கம் $16 = 4^2$. எனவே மேலே $4$, இடப்பக்கம் $4$. $4\times4=16$ ஐக் கழி: $17-16 = 1$. $$\begin{array}{r r} & 4 \\ 4\,| & \overline{17}\ \overline{64} \\ & \underline{16}\phantom{\ \ 64} \end{array}$$

$17$ க்குள் அடங்கும் மிகப் பெரிய வர்க்கமே $16$; அதன் மூலம் $4$ விடையின் முதல் இலக்கம்.

அடுத்த ஜோடி $64$ ஐ இறக்கி, மீதி $1$ உடன் சேர் → $164$. இடப்பக்க எண்ணை $2\times4 = 8$ ஆக இரட்டிப்பாக்கி, ஓர் இடம் விடு: $8\,\square$.

இடப்பக்கப் பகுதி விடையின் இரு மடங்கு — அதன் பின் ஓர் புதிய இலக்கம் சேர்க்கப்படும்.

$8\square \times \square = 164$ க்குச் சமம் (அல்லது கிட்டியது) ஆகும்படி $\square$ ஐத் தேர். $82 \times 2 = 164$ — சரியாகப் பொருந்துகிறது! எனவே அந்த இலக்கம் $2$; மீதி $0$. $$\begin{array}{r r} & 4\ \ 2 \\ 4\,| & \overline{17}\ \overline{64} \\ & \underline{16}\phantom{\ \ 64} \\ 82\,| & 1\ 64 \\ & \underline{1\ 64} \\ & \phantom{1\ 6}0 \end{array}$$

மீதி $0$ வந்தால் எண் ஒரு நிறைவாக்கம்; விடை சரியாக $42$. மேலே சேர்ந்த இலக்கங்களே ($4$ பின் $2$) வர்க்கமூலம்.

முடிவு $$\sqrt{1764} = 42$$

தசம எண்களின் வர்க்கமூலம்

தசம எண்ணெனில், தசமப் புள்ளியிலிருந்து இரு பக்கமும் இரண்டிரண்டாகப் பிரியுங்கள். தேவைப்பட்டால் வலப்பக்கம் $00$ சேர்த்துத் தொடரலாம். எடுத்துக்காட்டாக $\sqrt{3.61}$:

$3.\,61$ எனப் பிரி. முதல் பகுதி $3$ → கிட்டிய வர்க்கம் $1 = 1^2$, மேலே $1$, மீதி $3-1 = 2$.

$61$ ஐ இறக்கு → $261$. இடப்பக்கம் $2\times1 = 2$, பின் $2\square \times \square = 261$? $29 \times 9 = 261$ — சரி! அந்த இலக்கம் $9$, மீதி $0$. $$\begin{array}{r r} & 1.\ 9 \\ 1\,| & \overline{3}.\ \overline{61} \\ & \underline{1}\phantom{.\ 61} \\ 29\,| & 2\ 61 \\ & \underline{2\ 61} \\ & \phantom{2\ 6}0 \end{array}$$

விடையில் தசமப் புள்ளியின் இடம், மேலே முதல் ஜோடிக்குப் பின் வைக்கப்படும் — எனவே $1$ க்குப் பின் புள்ளி, பின் $9$ → $1.9$.

விடை: $\sqrt{3.61} = 1.9$. (சோதனை: $1.9^2 = 3.61$ ✓)

⭐ பரீட்சைக் குறிப்பு இலக்கங்களை ஜோடியாகப் பிரித்த எண்ணிக்கையே விடையின் இலக்க எண்ணிக்கை. பெரிய எண்ணுக்கு முதல் இலக்கத்தை உடனே மதிப்பிட இது உதவும். மீதி $0$ வராவிட்டால், $00$ சேர்த்துத் தேவையான தசமதானம் வரை தொடருங்கள்.

படி 3 — வர்க்கமூலத்தைப் பயன்படுத்தல்

சதுரத்தின் பரப்பளவு தெரிந்தால் பக்கம் = $\sqrt{\text{பரப்பளவு}}$. இதுவே வர்க்கமூலத்தின் மிகப் பொதுவான பயன்பாடு. மேலே கேட்ட அறை: பரப்பளவு $441\ \text{cm}^2$, பக்கம் $= \sqrt{441} = 21\ \text{cm}$. பின்னர் பைதகரஸ் தேற்றத்திலும் ($c = \sqrt{a^2+b^2}$) வர்க்கமூலம் வரும்.

⚠ பொதுவான தவறு $\sqrt{a+b}$ ஆனது $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ அல்ல. எடுத்துக்காட்டு: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, ஆனால் $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$. முதலில் கூட்டி, பின்னரே மூலம் காண்க.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி $\sqrt{90}$ இன் முதலாம் அண்ணளவான பெறுமானத்தைக் காண்க.
$\begin{array}{c|cccc} x & 9.3 & 9.4 & 9.5 & 9.6 \ \hline x^2 & 86.49 & 88.36 & 90.25 & 92.16 \end{array}$

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

வர்க்கமூலம் = வர்க்கத்தின் நேர்மாறு: $3^2=9 \Rightarrow \sqrt 9 = 3$.
நிறைவாக்கங்கள்: $11^2{=}121 \dots 21^2{=}441,\ 25^2{=}625$ — மனப்பாடம் செய்.
அண்ணளவாக்கம்: எண்ணை இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்து, கிட்டிய பக்கம் நோக்கி நகர்.
வகுத்தல் முறை: இலக்கங்களை இரண்டிரண்டாக ($\overline{17}\ \overline{64}$) பிரி → விடையில் அவ்வளவு இலக்கம்.
எச்சரிக்கை: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt a + \sqrt b$. முதலில் கூட்டு, பின் மூலம்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

அண்ணளவாக்கம் (3 படி): (1) அருகிலுள்ள இரு நிறைவாக்கங்கள் → முழுஎண் எல்லை; (2) எந்தப் பக்கம் கிட்டியது (வித்தியாசம் சிறியது); (3) $x.1^2, x.2^2 \dots$ வர்க்கம் செய்து சோதி.
வகுத்தல் முறை: ஜோடியாகப் பிரி → முதல் ஜோடிக்குக் கிட்டிய வர்க்கம் → மீதியுடன் அடுத்த ஜோடி இறக்கு → மேலுள்ள எண்ணை இரட்டித்து, ஒரு புதிய இலக்கம் சேர்த்து $(\text{2×விடை})\square \times \square \le$ மீதி.
தசமம்: தசமப் புள்ளியிலிருந்து இரு பக்கமும் ஜோடி; தேவைப்பட்டால் வலப்பக்கம் $00$ சேர்த்துத் தொடர்.
முழுமைப்படுத்தல்: ஒரு தசமம் கூடுதலாகக் கண்டு, $\ge 5$ எனில் மேல்நோக்கி.
பயன்பாடு: சதுரப் பக்கம் $= \sqrt{\text{பரப்பு}}$; கர்ணம் $= \sqrt{a^2+b^2}$ (பைதகரஸ்); $6a^2 = $ கனப்பெட்டி மேற்பரப்பு.
சோதனை எண்கள்: $26^2{=}676,\ 47^2{=}2209,\ 53^2{=}2809,\ 61^2{=}3721,\ 42^2{=}1764$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

இரு முறைகள்: அண்ணளவாக்கம் (கிட்டிய மதிப்பு, சிறிய எண்) vs வகுத்தல் முறை (சரியான/தசம மதிப்பு, பெரிய எண்).
வகுத்தல் முறையில் இலக்கங்களை ஜோடியாகப் பிரிக்க மறக்காதே — அதுவே விடையின் இலக்க எண்ணிக்கையைச் சொல்கிறது.
விடையைச் சோதிக்க எப்போதும் வர்க்கம் செய்து பார் ($\text{விடை}^2 = $ கொடுக்கப்பட்ட எண்?).
பயன்பாட்டு வினா திறவுகோல்: "சதுரம்/சதுர முகம்/சம வரிசை" எனில் வர்க்கமூலம் தேவை.

📝 மேலும் பயிற்சி