📚 கற்றல் முதன்மை க.பொ.த. (சா/த) க.பொ.த. (உ/த) பிற 🌐 English உள்நுழைய
சா/த · கணிதம் · தரம் 10 · அலகு 31
🔟 தரம் 10 · அலகு 31 · P2

வட்டத்தின் கோணங்கள்

Angles in a circle — centre, circumference and cyclic quadrilaterals
★★★★★ வட்டம்கோணம்அரைவட்டம்

நீங்கள் ஒரு புகைப்படக் கலைஞர். இரு கட்டிடங்கள் $A$ மற்றும் $B$ ஐ நோக்கி $40°$ கோணத்தில் படம் எடுக்க வேண்டும் — எங்கு நிற்கலாம்? ஆச்சரியம்: ஒரு வட்டத்தின் ஒரே துண்டத்தில் எந்த இடத்திலும் நிற்கலாம் — ஒரே வட்டத் துண்டில் ஒரே நாண் $AB$ ஐப் பார்க்கும் கோணம் எல்லா இடத்திலும் சமம். இதுவே இந்த அலகின் நான்கு தேற்றங்களில் ஒன்று. மீதி மூன்று: மையக் கோணம் $= 2 \times$ பரிதிக் கோணம்; விட்டம் காணும் பரிதிக் கோணம் $= 90°$; சுழற்சி நாற்பக்கத்தில் எதிர்க் கோணங்கள் $= 180°$. இவை நான்கும் வட்டக் கோணக் கணக்குகளின் சாவிகள் — எல்லாவற்றிலும் துணை: ஆரைகள் சமம் → இருசமபக்க முக்கோணி.

படி 1 — மையக் கோணம் = 2 × பரிதிக் கோணம்

O A B C 2x x $A\hat{O}B = 2\,A\hat{C}B$ (ஒரே சிறுவில் $AB$)
தேற்றம் 1 ஒரு வில்லினால் மையத்தில் எதிரைமைக்கும் கோணம் $=$ அதே வில்லினால் பரிதியில் எதிரைமைக்கும் கோணத்தின் இருமடங்கு:   $A\hat{O}B = 2\,A\hat{C}B$
$Q\hat{P}R = 50°$ → $Q\hat{O}R = 2 \times 50° = 100°$.
$O\hat{A}B = 20°$: $OA = OB$ (ஆரைகள்) → $O\hat{B}A = 20°$; $A\hat{O}B = 180° - 40° = 140°$; எனவே $A\hat{C}B = \dfrac{140°}{2} = 70°$.

படி 2 — ஒரே துண்டக் கோணங்கள் சமம்

A B P Q x x $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$ (ஒரே பேர்வில் துண்டம்)
தேற்றம் 2 ஒரே வட்டத் துண்டத்தில் (same segment) ஒரே நாணினால் எதிரைமைக்கும் கோணங்கள் சமம்: $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$
சமபக்கம் $PQR$ பொறித்த வட்டம், $R\hat{Q}S = 30°$: $Q\hat{P}R = 60°$ (சமபக்கம்); $Q\hat{S}R = Q\hat{P}R = 60°$ (ஒரே துண்டம்); $\triangle QRS$: $Q\hat{R}S = 180° - 30° - 60° = 90°$.

படி 3 — அரைவட்டக் கோணம் = 90°

A B C 90° விட்டம் $AB$ விட்டம் → $A\hat{C}B = 90°$
தேற்றம் 3 அரைவட்டக் கோணம் (விட்டத்தினால் பரிதியில் எதிரைமைக்கும் கோணம்) எப்போதும் $90°$.
$AB$ விட்டம், $\hat{ABC} = 3\hat{BAC}$: $\hat{ACB} = 90°$, எனவே $\hat{BAC} + \hat{ABC} = 90°$; $\hat{BAC} + 3\hat{BAC} = 90° \Rightarrow \hat{BAC} = 22.5°$, $\hat{ABC} = 67.5°$.

படி 4 — சுழற்சி நாற்பக்கம்

தேற்றம் 4 சுழற்சி நாற்பக்கத்தின் (cyclic quadrilateral) எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180°$: $P\hat{Q}R + P\hat{S}R = 180°$
கலப்புக் கணக்கு: $A\hat{O}C = 120°$ ஆயின் $A\hat{B}C$ இன் இரு சாத்திய பெறுமானங்கள்: பேர்வில் மீது $\dfrac{120°}{2} = 60°$; சிறுவில் மீது $\dfrac{360° - 120°}{2} = 120°$.
⭐ வழிமுறை எந்தக் கணக்கிலும்: (அ) ஆரைகள் சமம் → இருசமபக்கம்; (ஆ) மையம்=2×பரிதி; (இ) ஒரே துண்டம் சமம்; (ஈ) விட்டம் → $90°$; (உ) முக்கோண கோணக்கூட்டு $180°$. இவற்றை வரிசையாகப் பயன்படுத்து.
⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) மையக் கோணம் $= 2 \times$ பரிதிக் கோணம் — தலைகீழ் அல்ல. (2) "ஒரே துண்டம்" சமம் என்பதற்கு இரு கோணங்களும் ஒரே பக்கம் இருக்க வேண்டும். (3) விட்டம் கண்டால் உடனே $90°$ குறி. (4) ஒரே நாணுக்கு பரிதிக் கோணம் இரு பக்கம் இருந்தால் இரு சாத்திய மதிப்புகள்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)
  • $A, B, C, D$ வட்டத்தின் மீது உள்ள $4$ புள்ளிகள். நாண்கள் $AC, BD$ ஆகியன $E$ இல் வெட்டுகின்றன. $\angle CAB = 40°$, $\angle DBA = 45°$ எனின், $\angle DEC$ ஐக் காண்க.
    ABCDE40°45°நாண்கள் $AC, BD$ $E$ இல் வெட்டுகின்றன

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

  • தேற்றம் 1: மையக் கோணம் $= 2 \times$ பரிதிக் கோணம். $A\hat{O}B = 2A\hat{C}B$.
  • தேற்றம் 2: ஒரே துண்டக் கோணங்கள் சமம். $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$.
  • தேற்றம் 3: அரைவட்டக் கோணம் $= 90°$ (விட்டத்தினால்).
  • தேற்றம் 4: சுழற்சி நாற்பக்கம் எதிர்க் கோணங்கள் கூட்டு $= 180°$.
  • துணை: ஆரைகள் சமம் → இருசமபக்க முக்கோணி.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

  • $O\hat{A}B = 20° \Rightarrow A\hat{O}B = 140° \Rightarrow A\hat{C}B = 70°$.
  • சமபக்கம் பொறித்த: $Q\hat{P}R=60°$ (ஒரே துண்டம்) $\Rightarrow Q\hat{R}S = 90°$.
  • அரைவட்டம்: $\hat{ACB}=90°$; $\hat{BAC}=3\hat{ABC} \Rightarrow 67.5°, 22.5°$.
  • அரைவட்டம் + ஒருங்கிசைவு: $PS=QR \Rightarrow R\hat{P}S = 50°$ (ச.ப.ப).
  • இரு சாத்தியம்: $A\hat{O}B=100° \Rightarrow A\hat{C}B = 50°$ அல்லது $130°$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

  • நிரூபணம் (மையம்=2×பரிதி): $CO$ நீட்டு; புறக்கோணம் $X\hat{O}A=2O\hat{C}A$; கூட்டு.
  • நிரூபணம் (அரைவட்டம்): $A\hat{O}B=180°=2A\hat{X}B \Rightarrow A\hat{X}B=90°$.
  • $OB=AB \Rightarrow$ சமபக்கம் $\Rightarrow A\hat{O}B=60° \Rightarrow A\hat{C}B=30°$.
  • எச்சரிக்கை: விட்டம் கண்டால் உடனே $90°$; ஒரே நாணுக்கு பரிதிக் கோணம் இரு பக்கம் → இரு மதிப்பு.
📝 மேலும் பயிற்சி