🔟 தரம் 10 · அலகு 27 · P2

வட்டத்தின் நாண்கள்

Chords of a circle — the perpendicular from the centre

★★★★☆ வட்டம்நாண்

ஒரு வட்ட மேடையில் ஒரு கயிற்றை இரு புள்ளிகளில் கட்டினால் — அந்தக் கயிறே ஒரு நாண் (chord). அந்த நாணுக்கு மையத்திலிருந்து செங்குத்தாக இறக்கினால் என்ன நடக்கும்? சரியாக நடுவில் நாணை இருசமக்கூறிடுகிறது. இந்த ஒரு உண்மை இரு வடிவங்களில் கூறப்படும்: (1) மையத்திலிருந்து நாணின் நடுப்புள்ளிக்கு வரும் கோடு நாணுக்கு செங்குத்து; (2) மையத்திலிருந்து நாணுக்கு வரும் செங்குத்து நாணை இருசமக்கூறிடும். இரண்டும் சேர்ந்து ஒரு செங்கோண முக்கோணி அமைக்கின்றன → பைதகரஸ் கொண்டு ஆரை/நாண் நீளம்/தூரம் காணலாம்.

படி 1 — இரு தேற்றங்கள்

நாண் தேற்றங்கள் தேற்றம் 1: மையம் → நாணின் நடுப்புள்ளி கோடு $\perp$ நாண்.
தேற்றம் 2 (மறுதலை): மையத்திலிருந்து நாணுக்கான செங்குத்து நாணை இருசமக்கூறிடும்.

$OC \perp AB$, $C$ = நாண் நடுப்புள்ளி; $OB$ = ஆரை

படி 2 — பைதகரஸ் முறை

நாண் நீளம் $= 2 \times$ அரைநாண். மையம், நடுப்புள்ளி, நாண்-முனை ஒரு செங்கோண முக்கோணியை அமைக்கும்:

அடிப்படை உறவு $r^2 = d^2 + \left(\dfrac{\text{நாண்}}{2}\right)^2$ ($r$ = ஆரை, $d$ = மையத்திலிருந்து நாணுக்கான தூரம்)

தூரம் காணல்: $r = 5$ cm, நாண் $AB = 8$ cm. $C$ நடுப்புள்ளி → $BC = 4$. $\hat{OCB} = 90°$ (தேற்றம் 1). $OB^2 = OC^2 + CB^2 \Rightarrow 25 = OC^2 + 16 \Rightarrow OC = 3$ cm.

ஆரை காணல்: $PQ = 12$, $OR = 8$ (செங்குத்து). $PR = 6$. $r^2 = 8^2 + 6^2 = 100 \Rightarrow r = 10$ cm.

தேற்றம் 2: செங்குத்து $OR$ ஆனது $PQ$ ஐ இருசமக்கூறிடுவதால் $PR = 6$.

படி 3 — கோணம் (இருசமபக்க முக்கோணி)

$OP = OQ$ (ஆரைகள்) → முக்கோணி $OPQ$ எப்போதும் இருசமபக்கம்; அடிக்கோணங்கள் சமம்.

நாண் $PQ$, நடுப்புள்ளி $R$, $\hat{QOR} = 40°$. $\hat{ORQ} = 90°$ (தேற்றம் 1). முக்கோணி $OQR$: $\hat{OQR} = 180° - 90° - 40° = 50°$. $OPQ$ இருசமபக்கம் → $\hat{OPR} = \hat{OQR} = 50°$.

படி 4 — நிரூபணம் (தேற்றம் 1)

தரவு: $AB$ நாண், நடுப்புள்ளி $X$. நிரூபிக்க: $OX \perp AB$. அமைப்பு: $OA, OB$ இணை.

$\triangle OXA$, $\triangle OXB$ இல்: $OA = OB$ (ஆரைகள்); $AX = XB$ (நடுப்புள்ளி); $OX$ பொது. $\therefore \triangle OXA \equiv \triangle OXB$ (ப.ப.ப.). எனவே $\hat{OXA} = \hat{OXB}$. இவை நேர்கோட்டின் அடுத்த கோணங்கள் → $\hat{OXA} + \hat{OXB} = 180°$, ஆகவே $\hat{OXA} = 90°$. $\therefore OX \perp AB$.

⭐ சம நாண்கள் சம நீளமுள்ள நாண்கள் மையத்திலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்கும் ($OX = OY$). இது ச.ப.ப. ஒருங்கிசைவால் நிரூபிக்கப்படும் — பல "காட்டுக" வினாக்களுக்கு அடிப்படை.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) பைதகரஸில் அரைநாணை ($\frac{AB}{2}$) பயன்படுத்து, முழு நாணை அல்ல. (2) ஆரை = கர்ணம் (மிகப் பெரிய பக்கம்) — அதைச் சரியாக அடையாளம் காண். (3) $OP = OQ$ ஆரைகள் என்பதால் $OPQ$ எப்போதும் இருசமபக்கம். (4) ஒருங்கிசைவில் சரியான நிபந்தனையை (ப.ப.ப. / ச.ப.ப.) எழுது.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$O$ ஐ மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் ஆரம் $10$ cm. மையத்திலிருந்து நாண் $AB$ இற்கு வரையும் செங்குத்துத் தூரம் $OM = 8$ cm. $AB$ இன் நீளத்தைக் காண்க.
$OM \perp AB$, $OM = 8$, ஆரம் $OB = 10$

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

நாண் = வட்டத்தின் இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு. விட்டம் = மிக நீளமான நாண் $= 2r$.
தேற்றம் 1: மையம் → நாண் நடுப்புள்ளி கோடு $\perp$ நாண்.
தேற்றம் 2: மையத்திலிருந்து செங்குத்து நாணை இருசமக்கூறிடும்.
பைதகரஸ்: $r^2 = d^2 + \left(\dfrac{\text{நாண்}}{2}\right)^2$.
$OP = OQ$ ஆரைகள் → $\triangle OPQ$ இருசமபக்கம்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$r=5$, நாண் $8$ → $OC = \sqrt{25-16} = 3$.
நாண் $12$, $OR=8$ → $r = \sqrt{64+36} = 10$.
கோணம்: $\hat{QOR}=40° \Rightarrow \hat{ORQ}=90° \Rightarrow \hat{OPR}=50°$ (இருசமபக்கம்).
சம நாண்கள் மையத்திலிருந்து சம தூரம் ($OX=OY$).
செங்குத்து நாண்கள் → $OXBY$ செவ்வகம்; சுற்றளவு $= 2(\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2})$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

நிரூபணம் (தேற்றம் 1): $OA=OB$, $AX=XB$, $OX$ பொது → ப.ப.ப. → $\hat{OXA}=90°$.
சம நாண் $OX=OY$: ச.ப.ப. ($90°$, ஆரை, அரைநாண்).
பொறித்த சமபக்க $\triangle$: $XB=6 \Rightarrow BC=12 \Rightarrow$ சுற்றளவு $36$.
எச்சரிக்கை: பைதகரஸில் அரைநாணைப் பயன்படுத்து; ஆரை = கர்ணம்.

📝 மேலும் பயிற்சி