1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 7 · P1

அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

Algebraic fractions

★★★★☆ அட்சரகணிதம்பின்னம்காரணி

$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ — இதை நீங்கள் எளிதாகச் செய்வீர்கள். இப்போது $\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x+3}$ என்றால்? அதே விதிகள்தான் — பொது வகுத்தி $(x+2)(x+3)$, தொகுதிகளை மாற்றி எழுது, கூட்டு. எண் பின்னமும் அட்சர பின்னமும் ஒரே விதிகளில் நடக்கின்றன. ஒரு முக்கிய வித்தியாசம்: பெருக்கலிலும் வகுத்தலிலும் காரணியாக்கம் முதலில் — பொது காரணிகள் தெரிந்தால் நீக்கலாம்; அது மட்டுமே இங்கு புதிதாக வருவது.

படி 1 — பெருக்கல்

சாதாரண பின்னங்கள் போலவே: தொகுதி $\times$ தொகுதி, பகுதி $\times$ பகுதி. பின் பெருக்கலுக்கு முன்பே பொது காரணிகளை நீக்குங்கள் — எண்ணை சுருக்குவது போல.

பெருக்கல் $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ (முதலில் காரணியாக்கி நீக்குங்கள்; பின் பெருக்குங்கள்)

$\dfrac{x}{2} \times \dfrac{x}{3} = \dfrac{x^2}{6}$.

$\dfrac{x^2-4}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-2}$. முதல் படி — காரணியாக்கு: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. $$= \frac{(x-2)(x+2)}{x+3} \times \frac{x+3}{x-2} = x+2.$$

$(x+3)$ மேலும் கீழும் நீங்குகிறது; $(x-2)$ மேலும் கீழும் நீங்குகிறது. மிச்சம் $(x+2)$ மட்டுமே.

$\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-1} \times \dfrac{x-1}{x+2}$. காரணியாக்கு: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$; $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. $$= \frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x-1}{x+2} = \frac{x+3}{x+1}.$$

படி 2 — வகுத்தல்

"பின்னத்தை பின்னத்தால் வகுத்தல்" என்பது "வகுப்பானை தலைகீழாக்கிப் பெருக்கு" — எண் பின்னங்களில் செய்வதே.

வகுத்தல் $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ (தலைகீழாக்கிப் பெருக்கு)

$\dfrac{x}{2} \div \dfrac{x}{4} = \dfrac{x}{2} \times \dfrac{4}{x} = \dfrac{4x}{2x} = 2$.

$\dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{x^2}$. $= \dfrac{x^2-4}{x} \times \dfrac{x^2}{x+2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x} \times \dfrac{x^2}{x+2} = (x-2) \cdot x = x^2-2x$.

படி 3 — கூட்டல்/கழித்தல்

பொது வகுத்தி (LCM) கண்டுபிடித்து, தொகுதிகளை மாற்றி எழுதி, கூட்டுங்கள் / கழியுங்கள் — எண் பின்னம் போலவே. பகுதியில் இருபடிக் கோவை இருந்தால் முதலில் காரணியாக்குங்கள்; பொது வகுத்தி தெளிவாகத் தெரியும்.

$\dfrac{1}{m+2} - \dfrac{2}{m+3}$. பொது வகுத்தி $(m+2)(m+3)$: $= \dfrac{(m+3) - 2(m+2)}{(m+2)(m+3)} = \dfrac{m+3-2m-4}{(m+2)(m+3)} = \dfrac{-m-1}{(m+2)(m+3)}$.

கழித்தலில் $2(m+2)$ — "2 முழுவதையும் பெருக்கவும்", $m$ மட்டும் அல்ல.

$\dfrac{a+3}{a^2-4} + \dfrac{1}{a+2}$. $a^2-4 = (a-2)(a+2)$; பொது வகுத்தி $(a-2)(a+2)$: $= \dfrac{a+3}{(a-2)(a+2)} + \dfrac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{(a+3)+(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{2a+1}{(a-2)(a+2)}$.

⭐ சாவி: காரணியாக்கம் முதலில் இருபடிப் பகுதிகளை எப்போதும் முதலில் காரணியாக்குங்கள். $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$ — இவை மட்டுமே தேர்வில் வரும் வகைகள். காரணியாக்கினால் நீக்கலும் பொது வகுத்தியும் தெளிவாகும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $\dfrac{x+2}{x} \neq \dfrac{2}{1}$ — கூட்டலில் $x$ ஐ நீக்க முடியாது; பெருக்கலில் மட்டுமே.
(2) வகுத்தல்: வகுப்பானை (denominator) தலைகீழாக்கு; மீண்டும் வகுக்காதே.
(3) கழித்தலில் இரண்டாம் தொகுதி முழுவதையும் கழி: $-(2m+4)$, $-2m-4$ என்றே எழுது.
(4) காரணியாக்கியபின் நீக்கும் காரணிகள் பெருக்கப்பட்ட பகுதிகளாக இருக்கவேண்டும் — கூட்டப்பட்ட காரணிகள் நீக்க முடியாது.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

பெருக்கல்: $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ (காரணியாக்கி நீக்கு).
வகுத்தல்: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ (தலைகீழாக்கிப் பெருக்கு).
கூட்டல்/கழித்தல்: பொது பகுதி (பொ.ம.க.சி) கொண்டு.
காரணியாக்கம்: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.
நீக்கம் காரணிகளுக்கு மட்டும்; கூட்டல் தொகுதியை நீக்காதே.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$\dfrac{x^2-4}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-2} = x+2$.
$\dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{x^2} = (x-2)x = x^2-2x$.
$\dfrac{1}{m+2}-\dfrac{2}{m+3} = \dfrac{-m-1}{(m+2)(m+3)}$.
$\dfrac{a+3}{a^2-4}+\dfrac{1}{a+2} = \dfrac{2a+1}{(a-2)(a+2)}$.
$\dfrac{x+2}{x^2-4} = \dfrac{1}{x-2}$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

கலப்பு: $\dfrac{x^2-1}{x+2}\times\dfrac{x+2}{x-1}\div(x+1) = 1$.
மூன்று பின்னம்: $\dfrac{7}{3m}+\dfrac{5}{4m}-\dfrac{8}{m} = \dfrac{-53}{12m}$.
எச்சரிக்கை: $\dfrac{x+2}{x}$ இல் $x$ ஐ நீக்க முடியாது. கழித்தலில் அடைப்பு வை.
இருபடிப் பகுதிகளை முதலில் காரணியாக்கு.

📝 மேலும் பயிற்சி