1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 23 · P3

அமைப்புகள்

Constructions — bisectors, angles, circumcircle & incircle

★★★★☆ அமைப்புconstructionகவராயம்

கிரேக்க கட்டிட அமைப்பாளர்கள் கோணமானி இல்லாமலே துல்லியமான கோயில்களை கட்டினார்கள் — அளவுகோல் மற்றும் கவராயம் மட்டும் கொண்டு. கவராயம் ஒரு மாய கருவி: அதை ஒரே ஆரத்தில் திறந்து வரைந்தால், அந்த வட்டளவுகள் தனியாகவே நடுப்புள்ளிகளை மற்றும் சரியான கோணங்களை காட்டுகின்றன. இதுவே அமைப்புகள் (geometric constructions): கோணமானி இல்லாமல், கவராய வளைவுகளால் மட்டும் செங்குத்து, கோண இருசமக் கோடு, $60°$ — எல்லாம் அமைக்கலாம். முக்கியமான விதி: வளைவுகளை (அமைப்புக் கோடுகளை) அழிக்காதீர்கள் — அவையே "செய்முறை"யின் சாட்சி.

படி 1 — நேர்கோட்டுத் துண்டின் செங்குத்து இருசமக் கோடு

ஏன் இது வேலை செய்கிறது? செங்குத்து இருசமக் கோட்டின் மீதுள்ள எல்லா புள்ளியும் $A$ மற்றும் $B$ இலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்கும். கவராயத்தை $AB$ இன் பாதிக்கு மேல் திறந்தால், $A$ வளைவும் $B$ வளைவும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் — அந்த இரு புள்ளிகளும் $A, B$ க்கு சம தூரத்தில் உள்ளன. அவற்றை இணைக்கும் கோடு துல்லியமான செங்குத்து இருசமக் கோடு.

$A, B$ இலிருந்து சம ஆரத்தில் (பாதிக்கு மேல்) வளைவுகள் → வெட்டும் இரு புள்ளிகளை இணை

படி 2 — கோணத்தின் இருசமக் கோடு

$\angle AOB$ இன் உச்சி $O$ இலிருந்து ஒரு வளைவு — இரு புயங்களையும் $P, Q$ இல் வெட்டும். $P, Q$ இலிருந்து சம ஆரத்தில் வளைவுகள் → வெட்டும் புள்ளியை $O$ உடன் இணை. அந்தக் கோடு $\angle AOB$ ஐ இரு சம பாகங்களாக பிரிக்கும்.

படி 3 — செங்குத்து அமைத்தல்

கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளியில்: அப்புள்ளியின் இருபுறமும் சம ஆரத்தில் இரு புள்ளி குறித்து, அவற்றிலிருந்து வளைவுகளால் செங்குத்து அமை.

வெளிப் புள்ளியிலிருந்து: புள்ளியிலிருந்து வளைவு கோட்டை இரு இடத்தில் வெட்ட, அவற்றின் செங்குத்து இருசமக் கோடு புள்ளி வழியே செல்லும்.

படி 4 — அமைக்கக்கூடிய கோணங்கள்

கவராயத்தால் $60°$ நேரடியாக அமையும்: ஒரு கோட்டுத் துண்டு $AB$ வரை; $A$ மையமாக $AB$ ஐ ஆரமாகக் கொண்டு வளைவு; $B$ மையமாக அதே ஆரத்தில் வளைவு — வெட்டும் புள்ளி $C$. $\triangle ABC$ சமபக்க முக்கோணி → $\angle A = 60°$.

கோணம்	எப்படி
$60°$	சம ஆர வளைவு (சமபக்க முக்கோணி)
$30°$	$60°$ ஐ இருசமக் கூறிடல்
$90°$	செங்குத்து இருசமக் கோடு
$45°$	$90°$ ஐ இருசமக் கூறிடல்
$120°$	$60°$ இன் புறக் கோணம்; அல்லது $60°+60°$

படி 5 — சுற்றுவட்டம் vs உள்வட்டம்

இரு வட்டங்கள் — இரு வேறு நடைமுறை சுற்றுவட்டம் (circumcircle) → பக்கங்களின் செங்குத்து இருசமக் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி = சுற்றுமையம்; மூன்று உச்சியும் வட்டத்தில்.
உள்வட்டம் (incircle) → கோண இருசமக் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி = உள்மையம்; மூன்று பக்கங்களையும் தொடும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) கவராய வளைவுகளை அழிக்காதீர்கள் — அவை மதிப்பெண் தரும்.
(2) கோணமானியால் அளக்காதீர்கள் — கவராயத்தால் மட்டுமே.
(3) சுற்றுவட்டம் → செங்குத்து இருசமக் கோடு; உள்வட்டம் → கோண இருசமக் கோடு — குழப்பாதீர்கள்.
(4) செங்குத்து இருசமக் கோட்டு ஆரம் $AB$ இன் பாதிக்கு மேல் இருக்கவேண்டும் — இல்லாவிட்டால் வளைவுகள் வெட்டாது.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$A, B$ ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து சம தூரத்தில் $AC$ மீது உள்ள புள்ளி $D$ ஐக் காண, தேவையான அமைப்புக் கோடுகளை விளக்குக.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$A, B$ ($AB = 3$ cm) ஆகிய ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் $2$ cm தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகளைக் காண்பதற்கான அமைப்புக் கோடுகளை விளக்குக.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

நேர்கோடு $AB$ இலிருந்து $5$ cm தூரத்திலும், $A, B$ ஆகியவற்றிலிருந்து சம தூரத்திலும் உள்ள புள்ளி $P$ ஐக் காணும் அமைப்பை விளக்குக.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

கருவி: அளவுகோல் $+$ கவராயம் மட்டுமே (கோணமானி இல்லை).
செங்குத்து இருசமக் கோடு: $A, B$ இலிருந்து சம ஆரம் (பாதிக்கு மேல்) வளைவு → இணை. $90°$ $+$ நடு.
கோண இருசமக் கோடு: உச்சி வளைவு → புயங்களில் $P,Q$ → சம வளைவு → இணை.
அமைப்பு வளைவுகளை அழிக்காதே.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$60°$ = சம ஆர வளைவு. $30° = 60°/2$. $90°$ = செங்குத்து. $45° = 90°/2$. $120° = 60°+60°$.
சுற்றுவட்டம்: பக்கங்களின் செங்குத்து இருசமக் கோடுகள் → சுற்றுமையம் (உச்சிகள் வழியே).
உள்வட்டம்: கோண இருசமக் கோடுகள் → உள்மையம் (பக்கங்களைத் தொடும்).
முக்கோணி அமைய: இரு பக்கக் கூட்டு $>$ மூன்றாம் பக்கம்.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

சுற்றுமையம் வெளியே வரலாம் (விரிகோணம்); உள்மையம் எப்போதும் உள்ளே.
எச்சரிக்கை: சுற்று → செங்குத்து இருசமம்; உள் → கோண இருசமம். குழப்பாதே.
$3,4,8$ → முடியாது ($3{+}4{<}8$).

📝 மேலும் பயிற்சி