1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 6 · P1

ஈறுறுப்புக் கோவைகள்

Binomial expressions

★★★★☆ ஈறுறுப்புவிரிவுகோவை

$99^2$ ஐ கணிப்பான் இல்லாமல் 5 வினாடியில் கணக்கிட முடியுமா? $(100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$ — அவ்வளவே. இதுதான் ஈறுறுப்பு விரிவின் அழகு. தரம் 10 இல் $(a+b)^2, (a-b)^2, (a+b)(a-b)$ ஆகியவற்றை கற்றீர்கள். இப்போது அடுத்த படி: $(a+b)^3$ இன் விரிவும் $101^3$ போன்ற கன கணக்குகளும். குணகங்கள் $1, 3, 3, 1$ ஆக வருவது யாடிச்சியல்ல — ஒரு அழகான முக்கோண வடிவத்தின் விளைவு.

படி 1 — வர்க்க விரிவு (மீட்டல்)

வர்க்க அடையாளங்களை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிவீர்கள். விரைவாக ஒருமுறை பார்க்கலாம்:

வர்க்கம் (G10 மீட்டல்) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ • $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

$103^2 = (100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.

$100$ என்பது "அடிப்படை" — அதன் அருகில் உள்ள எண்ணை $a+b$ அல்லது $a-b$ ஆக எழுதுங்கள்.

$99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

படி 2 — $(a+b)^3$ ஐ எவ்வாறு வருவிப்பது?

மனப்பாடம் செய்யாமல் வருவிக்கலாம்: $(a+b)^3 = (a+b) \times (a+b)^2$. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ என்பது தெரியும். இப்போது $(a+b)$ ஐ பெருக்குங்கள்:

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஏன்: $a^2b$ இரண்டு இடங்களிலிருந்து கிடைக்கிறது ($2a^2b + a^2b$); $ab^2$ இரண்டிலிருந்து ($ab^2 + 2ab^2$). அதனால் குணகங்கள் $3$.

கன விரிவு $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

⭐ குணகங்கள் $1, 3, 3, 1$ — பாஸ்கல் முக்கோணம் வர்க்கத்தில்: $1, 2, 1$. கனத்தில்: $1, 3, 3, 1$. ஒவ்வொரு குணகமும் அதன் மேலே உள்ள இரு குணகங்களின் கூட்டல்: $1+2=3$, $2+1=3$. $a$ இன் வலு $3 \to 0$; $b$ இன் வலு $0 \to 3$; மொத்தம் எப்போதும் $3$.

படி 3 — $(a-b)^3$ இன் அடையாளங்கள்

$(a-b)^3$ இல் $b$ இடத்தில் $(-b)$ வைத்தால் கிடைக்கும். அடையாளங்கள் மாறி மாறி வருகின்றன: $+, -, +, -$ — $b$ இன் ஒற்றை வலுக்கள் மறையாகும்.

$(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(4) + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$.

$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் கனப்படுத்தவும்.

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

$(a-b)^3$: $3a^2b$ மறை, $b^3$ மறை; $3ab^2$ நேர் (ஏனென்றால் $(-b)^2 = b^2$ நேர்).

படி 4 — எண் கணக்குகளில் சக்தி

தேர்வில் கணிப்பான் இல்லாத நேரத்தில் இந்த அடையாளங்கள் வேகத்தை கொடுக்கின்றன. $100, 10, 1$ ஆகியவற்றை அடிப்படையாக எடுத்து, அருகில் உள்ள எண்ணை $+/-$ கோவையாக எழுதுங்கள்.

$32^2 = (30+2)^2 = 900 + 120 + 4 = 1024$.

$101^3 = (100+1)^3 = 1000000 + 3(10000)(1) + 3(100)(1) + 1 = 1030301$.

$100^3 = 10^6$; $3 \times 100^2 \times 1 = 30000$; $3 \times 100 \times 1 = 300$; $1^3 = 1$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ — நடு உறுப்புகள் $3a^2b, 3ab^2$ அவசியம்.
(2) $(a-b)^3$: அடையாளங்கள் $+, -, +, -$ — நான்காம் உறுப்பு $-b^3$.
(3) $(2x)^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் மறக்காமல் கனப்படுத்துங்கள்.
(4) எண் கணக்கில்: முதலில் $a, b$ ஐ அடையாளப்படுத்துங்கள்; பின் நிரப்புங்கள்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$(x-y)^3$ இன் விரிவைக் கருதி $2\left(24^3 - 3 \times 24^2 \times 4 + 3 \times 24 \times 4^2 - 4^3\right)$ இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$x + y = 3$, $xy = 2$ எனின் $x^2 + y^2$ இன் பெருமானத்தைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

வர்க்கம்: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
கனம்: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ (அடையாளம் $+,-,+,-$).
குணகங்கள் $1, 3, 3, 1$ (பாஸ்கல்).
$(2x)^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் கனப்படுத்து.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
$(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$.
எண்: $32^2 = (30+2)^2 = 1024$; $99^2 = (100-1)^2 = 9801$.
எண் கனம்: $101^3 = (100+1)^3 = 1030301$; $99^3 = 970299$.
வலுக்கூட்டு எப்போதும் $3$ ($a^3, a^2b, ab^2, b^3$).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

பயன்பாடு: $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$. $a+b=5, ab=6 \Rightarrow a^3+b^3 = 35$.
சுருக்கல்: $(x+1)^3-(x-1)^3 = 6x^2+2$.
$(a+b)^3+(a-b)^3 = 2a^3+6ab^2$.
எச்சரிக்கை: $(a+b)^3 \neq a^3+b^3$; நடு உறுப்புகளை மறக்காதே.

📝 மேலும் பயிற்சி