1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 14 · P2

இயல்பொத்த முக்கோணிகள்

Similar triangles

★★★★★ இயல்பொத்தமுக்கோணிவிகிதம்

உங்கள் கிராமத்தில் ஒரு பெரிய மரம் இருக்கிறது. அதன் உயரத்தை அளவிட ஏணி ஏறப் போகிறீர்களா? தேவையில்லை. $2$ மீ நீளம் கொண்ட ஒரு கம்பை நட்டு அதன் நிழலை அளவிடுங்கள்; அதே நேரத்தில் மரத்தின் நிழலையும் அளவிடுங்கள். கம்பும் மரமும் இயல்பொத்த (similar) முக்கோணிகளை உருவாக்குகின்றன — விகிதம் ஒன்றே என்பதால் மரத்தின் உயரம் கிடைக்கிறது. இயல்பொத்த உருவங்கள் என்பவை ஒரே கோணம் கொண்ட, ஆனால் வேறு அளவுள்ள வடிவங்கள். ஒத்த பக்கங்கள் எப்போதும் ஒரே விகிதத்தில் இருக்கும் — அதுவே சக்தி.

படி 1 — அடிப்படை விகித தேற்றம் (BPT / தாலஸ்)

ஒரு முக்கோணியில் ஒரு பக்கத்திற்கு சமாந்தரமான கோடு வரைந்தால், மற்ற இரு பக்கங்களும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஏன்? சமாந்தர கோடு AA (கோ.கோ.) நிலை மூலம் இரு இயல்பொத்த முக்கோணிகளை உருவாக்குகிறது — அவற்றின் பக்க விகிதம் சமம் என்பதிலிருந்து BPT வருகிறது.

$DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (BPT)

அடிப்படை விகித தேற்றம் (BPT) $DE \parallel BC$ ⇒ $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$
மறுதலை: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ ⇒ $DE \parallel BC$

$AD = 3$, $DB = 6$, $AE = 4$, $DE \parallel BC$: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{EC} \Rightarrow EC = 8$.

விகிதம் $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$; எனவே $EC = 2 \times AE = 2 \times 4 = 8$.

முழுப்பக்க விகிதமாக: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ (இயல்பொத்தல் விகிதம்).

படி 2 — இயல்பொத்த முக்கோணிகள்

இரு முக்கோணிகளின் மூன்று கோணங்களும் சமம் என்றால் அவை இயல்பொத்தவை ($\sim$). (மூன்றாவது கோணம் தானே $180°$ விதியால் சமம் ஆகும் — AA போதும்.) இயல்பொத்த முக்கோணிகளில் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் சமம் — இதுவே கணக்கிட பயன்படுகிறது.

இயல்பொத்தல் $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ (AA) எனில்: $\hat{A}=\hat{P}$, $\hat{B}=\hat{Q}$, $\hat{C}=\hat{R}$
$\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{AC}{PR}$ (ஒரே விகிதம்)

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$, $AB = 4$, $PQ = 6$, $BC = 5$: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{QR} \Rightarrow QR = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7.5$.

படி 3 — நடைமுறை பயன்பாடுகள்

மரத்தின் உயரம்: $2$ m குச்சி $3$ m நிழல் போடுகிறது; மரத்தின் நிழல் $12$ m. குச்சி $\triangle$ ∼ மர $\triangle$: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{h}{12} \Rightarrow h = 8$ m.

உள் முக்கோணி (DE ∥ BC): $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA — ஏகான்ம கோணங்கள்). $AD = 4$, $AB = 6$, $BC = 9$: $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{6} \Rightarrow DE = 6$.

⭐ பெயரிடும் வரிசை முக்கியம் $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ என்று எழுதும்போது வரிசை ஒத்திசைவை காட்டுகிறது: $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$, $C \leftrightarrow R$. $\dfrac{AB}{PQ}$ என்று எழுதுவதே சரி; $\dfrac{AB}{QP}$ தலைகீழாகிவிடும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) BPT இல் $\dfrac{AD}{DB}$ — முழுப் பக்கம் $AB$ அல்ல; பகுதிகளின் விகிதம்.
(2) ஒத்த பக்கங்களை பெயர் வரிசைப்படி சரியாக இணையுங்கள்.
(3) இயல்பொத்தல் $\neq$ ஒருங்கிசைவு — வடிவம் ஒன்று, அளவு வேறு.
(4) AA (இரு கோணம்) போதும் — மூன்று கோணமும் தரவாக வேண்டாம்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

இயல்பொத்தல்: ஒரே வடிவம், வேறு அளவு. ஒத்த கோணம் சமம், ஒத்த பக்கம் ஒரே விகிதம்.
BPT: $DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.
மறுதலை: விகிதம் சமம் → சமாந்தரம்.
நிபந்தனை: இரு கோணம் சமம் (AA) போதும்.
$\triangle ABC \sim \triangle PQR$: $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{AC}{PR}$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

BPT எ.கா: $AD=3, DB=6, AE=4 \Rightarrow EC=8$.
ஒத்த பக்கம்: $AB=4, PQ=6, BC=5 \Rightarrow QR=7.5$.
உள் முக்கோணி: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$.
நிழல்: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{h}{12} \Rightarrow h=8$ m.
சுற்றளவுகள் ஒரே விகிதம்: $3:5$, $24 \to 40$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

நிரூபணம்: $DE\parallel BC \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA) → BPT.
வெட்டும் கோடு: குத்துக்கோணம் + ஒன்றுவிட்ட → AA இயல்பொத்தல்.
எச்சரிக்கை: BPT இல் பகுதிகள் ($AD/DB$); ஒத்த பக்கங்களைப் பெயர் வரிசையால் இணை.
இயல்பொத்தல் $\ne$ ஒருங்கிசைவு (அளவு வேறு).

📝 மேலும் பயிற்சி