1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 5 · P1

திண்மங்களின் கனவளவு

Volume of solids

★★★★★ கனவளவுகோளம்கூம்புஉருளை

ஒரு நீர் நிரம்பிய உருளைக் கோப்பையை (cylinder) எடுங்கள். அதே ஆரையும் உயரமும் கொண்ட கூம்பை அந்த கோப்பையில் மூன்று முறை ஊற்றினால் — சரியாக நிரம்பும். கூம்பு = உருளையின் மூன்றில் ஒரு பங்கு. இது தற்செயல் இல்லை — வடிவியல் உண்மை. அதேபோல் கூம்பகமும் அரியத்தின் $\tfrac{1}{3}$. கோளமோ (sphere) வேறொரு அழகு: ஆர்க்கிமிடீஸ் இந்த சூத்திரத்தை $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ என்று கண்டுபிடித்தபோது மிகவும் மகிழ்ந்தார் — அதை தன் கல்லறையிலேயே பொறிக்கச் சொன்னார்! $\pi = \dfrac{22}{7}$ (NIE மரபு).

படி 1 — கூம்பின் கனவளவு

அதே $r, h$ உள்ள உருளை (cylinder) கனவளவு $\pi r^2 h$. கூம்பு அதன் சரியாக மூன்றில் ஒரு பங்கு:

கூம்பு (cone) $V_{\text{கூம்பு}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ ($h$ = செங்குத்து உயரம், சாயுரம் அல்ல)

$r = 7$ cm, $h = 12$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{22}{7} \times 7^2 \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 154 \times 12 = \dfrac{1848}{3} = 616\ \text{cm}^3$.

$r = 7$ cm, $h = 6$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times 154 \times 6 = 308\ \text{cm}^3$.

$\dfrac{22}{7} \times 49 = 154$ என்பதை முதலில் கண்டால் கணக்கு எளிதாகும்.

படி 2 — கூம்பகத்தின் கனவளவு

கூம்பகமும் (pyramid) அதே தர்க்கம் — அதே அடிப்பரப்பு, அதே உயரம் கொண்ட அரியத்தின் (prism) மூன்றில் ஒரு பங்கு.

கூம்பகம் (pyramid) $V = \dfrac{1}{3} \times (\text{அடிப் பரப்பு}) \times h$
சதுர அடி: $V = \dfrac{1}{3}a^2 h$

அடி $10 \times 10$ cm, $h = 12$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times 100 \times 12 = 400\ \text{cm}^3$.

அடி $6 \times 6$ cm, $h = 10$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120\ \text{cm}^3$.

படி 3 — கோளத்தின் கனவளவு

கோளம் (sphere) முழுவதும் சமச்சீர் — எல்லா திசையிலும் ஒரே ஆரை $r$. ஆர்க்கிமிடீஸ் கண்டுபிடித்த சூத்திரம்:

கோளம் & அரைக்கோளம் கோளம்: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
அரைக்கோளம்: $V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$

கோளம், $r = 21$ cm: $V = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{22}{7} \times 21^3$. $21^3 = 9261$; $\dfrac{22}{7} \times 9261 = 22 \times 1323 = 29106$; $\dfrac{4}{3} \times 29106 = 38808\ \text{cm}^3$.

அரைக்கோளம், $r = 21$ cm: $V = \dfrac{1}{2} \times 38808 = 19404\ \text{cm}^3$.

அல்லது $\dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3} \times 29106 = 19404$ ✓.

படி 4 — கலப்பு திண்மங்கள் (composite solids)

கூம்பு + அரைக்கோளம் சேர்ந்த வடிவம் (ice cream scoop on a cone) — தனித்தனியே கணக்கிட்டு கூட்டவும். உருளையின் உள்ளே ஒரு கூம்பு உள்ளது எனில் கனவளவை கழிக்கவும்.

எ.கா (ஊற்றல்): $r = 7$ cm, $h = 12$ cm கொண்ட உருளையில் அதே $r, h$ கூம்பு உள்ளது. உருளை கனவளவு $= \pi r^2 h = 154 \times 12 = 1848\ \text{cm}^3$. கூம்பு $= 616\ \text{cm}^3$. மீதி திரவ இடம் $= 1848 - 616 = 1232\ \text{cm}^3$.

⭐ மூன்றில் ஒன்று — எளிதில் நினைவு கூர கூம்பு + கூம்பு + கூம்பு = உருளை (அதே $r, h$). கூம்பகம் + கூம்பகம் + கூம்பகம் = அரியம் (அதே அடி, $h$).

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $\dfrac{1}{3}$ ஐ மறவாதீர்கள் — கூம்பு/கூம்பகம் இரண்டிலும்.
(2) கூம்பு கனவளவில் $h$ = செங்குத்து உயரம் — சாயுரம் $l$ அல்ல.
(3) கோளம் $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$ — $r^3$ (கனம்), $r^2$ அல்ல.
(4) அலகு: கனவளவு $\text{cm}^3$; $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

கூம்பு கனவளவு $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ (செங்குத்து உயரம் $h$).
கூம்பகம் $V = \dfrac{1}{3} \times$ அடிப் பரப்பு $\times h$.
கோளம் $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; அரைக்கோளம் $\dfrac{2}{3}\pi r^3$.
கூம்பு/கூம்பகம் $=$ அதே $r,h$ உருளை/அரியத்தின் $\dfrac{1}{3}$.
மீட்டல்: உருளை $\pi r^2 h$, கனவை $lbh$, சதுரமுகி $a^3$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

கூம்பு $r=7,h=12$: $\dfrac13\times154\times12 = 616$.
கூம்பகம் $10\times10, h=12$: $\dfrac13\times100\times12 = 400$.
கோளம் $r=21$: $\dfrac43\times29106 = 38808$.
அரைக்கோளம் $r=7$: $\dfrac23\times1078 = 718\tfrac23$.
மீண்டும் வார்த்தல்: கனவளவு மாறாது → பெரிய $V \div$ சிறிய $V$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

உருளை→கூம்பு: $3696 \div 616 = 6$ கூம்புகள்.
கலப்பு: கூம்பு+அரைக்கோளம் $r=7$: $616+718\tfrac23 = 1334\tfrac23$.
நீர்: கூம்பு $616 \to$ உருளை $r=7$: $154h=616 \Rightarrow h=4$.
எச்சரிக்கை: $\tfrac13$ மறக்காதே; கூம்பில் $h$ (சாயுரம் அல்ல); கோளம் $r^3$.

📝 மேலும் பயிற்சி