1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 4 · P1

திண்மங்களின் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு

Surface area of solids

★★★★★ மேற்பரப்புகோளம்கூம்புஉருளை

பிறந்தநாள் கொண்டாட்டத்தில் கூம்பு வடிவ தொப்பி வைக்கிறீர்கள் — அதை வண்ண காகிதத்தால் மூட எவ்வளவு காகிதம் வேண்டும்? டென்னிஸ் பந்தை (கோளம்) பேக்கேஜ் செய்ய எவ்வளவு தகடு தேவை? இதுதான் மேற்பரப்பளவு கேள்வி. தரம் 10 இல் உருளை, அரியத்தைக் கண்டீர்கள்; இங்கு மூன்று புதியவை: கூம்பு, கூம்பகம், கோளம். ஒவ்வொன்றிலும் ஒரே தந்திரம் — முகங்களைப் பிரித்து, தனித்தனியே கணக்கிட்டு, கூட்டு. $\pi = \dfrac{22}{7}$ (NIE மரபு).

படி 1 — கூம்பு (cone) — சாயுரம் ஏன் முக்கியம்?

கூம்பை தட்டையாக விரித்தால் ஒரு "ஆரை வெட்டு" (sector) கிடைக்கும். அந்த sector இன் ஆரம் $=$ கூம்பின் சாயுரம் $l$ (apex இலிருந்து அடி விளிம்பு வரை). வளைப்பரப்பு $= \pi r l$ — இங்கு $r$ = அடி ஆரை, $l$ = சாயுரம். செங்குத்து உயரம் $h$ சாயுரம் அல்ல — $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (பைதகரஸ்).

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (பைதகரஸ்) — சாயுரம் = apex → அடி விளிம்பு

கூம்பு (cone) சாயுரம் $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ • வளைப்பரப்பு $= \pi r l$ • அடி வட்டம் $= \pi r^2$
மொத்த மேற்பரப்பளவு $= \pi r(r + l)$

எ.கா: $r = 7$ cm, $h = 24$ cm. முதலில் சாயுரம்: $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ cm.

$7$-$24$-$25$ பைதகரஸ் மும்மை — NIE தேர்வுகளில் அடிக்கடி வருவது.

வளைப்பரப்பு $= \dfrac{22}{7} \times 7 \times 25 = 22 \times 25 = 550\ \text{cm}^2$.

அடி $= \dfrac{22}{7} \times 7^2 = \dfrac{22}{7} \times 49 = 154\ \text{cm}^2$.

மொத்தம் $= 550 + 154 = 704\ \text{cm}^2$.

அல்லது: $\pi r(r+l) = \dfrac{22}{7} \times 7 \times (7+25) = 22 \times 32 = 704$ ✓.

படி 2 — கூம்பகம் (pyramid)

சதுர அடியுள்ள கூம்பகம் (square-based pyramid) — நான்கு முக்கோண முகங்கள் + ஒரு சதுர அடி. ஒவ்வொரு முக்கோண முகத்தின் பரப்பு $= \tfrac{1}{2} \times a \times l$ ($a$ = அடிப்பக்கம், $l$ = முகச்சாய்வு உயரம் — சாயுர நடுப்புள்ளி முதல் apex வரை).

முகச்சாய்வு உயரம் தராவிட்டால், செங்குத்து உயரம் $h$ மற்றும் அடியின் மையத்திலிருந்து விளிம்பு தூரம் $\tfrac{a}{2}$ கொண்டு: $l = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2}$.

சதுர அடிக் கூம்பகம் மொத்த மேற்பரப்பளவு $= a^2 + 2al$

$a = 10$ cm, முகச்சாய்வு $l = 13$ cm: மொத்தம் $= 10^2 + 2 \times 10 \times 13 = 100 + 260 = 360\ \text{cm}^2$.

படி 3 — கோளம் (sphere) மற்றும் அரைக்கோளம்

கோளத்தின் மேற்பரப்பளவு $= 4\pi r^2$ — வட்டப் பரப்பின் நான்கு மடங்கு. (ஏன்? கோளை தட்டையாக펼쳐 விரித்தால் நான்கு "வட்டங்களுக்கு" சமம் என்று நிரூபிக்கலாம் — NIE கூடுதல் தகவல்.) அரைக்கோளத்தில் வளைந்த பகுதி $+ $ தட்டையான வட்டமுகம் என்று இரண்டும் சேர்க்கவும்.

கோளம் & அரைக்கோளம் கோளம் மேற்பரப்பளவு $= 4\pi r^2$
அரைக்கோளம் வளைப்பரப்பு $= 2\pi r^2$ • அரைக்கோளம் மொத்தம் $= 3\pi r^2$

கோளம், $r = 7$ cm: $4 \times \dfrac{22}{7} \times 49 = 4 \times 154 = 616\ \text{cm}^2$.

அரைக்கோளம் மொத்தம் ($r = 7$): $3\pi r^2 = 3 \times 154 = 462\ \text{cm}^2$.

வளைப்பரப்பு $2\times154=308$ + தட்டையான வட்டம் $154 = 462$ ✓.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) கூம்பு வளைப்பரப்பில் $l$ = சாயுரம், செங்குத்து $h$ அல்ல — $l$ முதலில் காண்க.
(2) கோளம் $= 4\pi r^2$ — வட்டம் $\pi r^2$ மட்டும் தவறு.
(3) அரைக்கோளம் மொத்தம் $= 3\pi r^2$ — தட்டையான வட்டமுகத்தை மறவாதீர்கள்.
(4) கூம்பகம்: முகச்சாய்வு $(l)$, செங்குத்து உயரம் $(h)$ அல்ல.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

ஓர் உருளையின் வளைபரப்பு $880$ cm$^2$, அடி ஆரை $14$ cm. உருளையின் உயரத்தைக் காண்க. ($\pi = \tfrac{22}{7}$)

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

செவ்வுருளையின் (cylinder) அடி ஆரை $7$ cm, உயரம் $10$ cm. வளைபரப்பைக் காண்க. ($\pi = \tfrac{22}{7}$)

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

கூம்பு சாயுரம் $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (பைதகரஸ்).
கூம்பு: வளைப்பரப்பு $= \pi r l$; மொத்தம் $= \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.
சதுர அடிக் கூம்பகம்: மொத்தம் $= a^2 + 2al$ ($l$ = முகச்சாய்வு உயரம்).
கோளம் $= 4\pi r^2$.
அரைக்கோளம்: வளைப்பரப்பு $2\pi r^2$, மொத்தம் $3\pi r^2$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

கூம்பு $r=7,h=24$: $l=25$, வளை $550$, மொத்தம் $704$.
கூம்பகம் $a=10,h=12$: $l=\sqrt{144+25}=13$, மொத்தம் $360$.
கோளம் $r=7$: $4\times154=616$; $r=14$: $2464$.
அரைக்கோளம் $r=7$: மொத்தம் $3\times154=462$.
முகச்சாய்வு (h தரப்படின்): $l=\sqrt{h^2+(a/2)^2}$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

கலப்பு: ஐஸ்க்ரீம் (கூம்பு+அரைக்கோளம்) $r=7,l=25$: $550+308=858$.
உருளை+அரைக்கோளம் $r=7$: $2\pi rh+\pi r^2+2\pi r^2 = 440+154+308 = 902$.
தலைகீழ்: வளைப்பரப்பு $550$, $l=25 \Rightarrow r=7$; கோளம் $616 \Rightarrow r=7$.
எச்சரிக்கை: கூம்பு வளைப்பரப்பு $\pi r l$ (சாயுரம்!); கோளம் $4\pi r^2$ (வட்டப் பரப்பு அல்ல).

📝 மேலும் பயிற்சி