1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 1 · P1

மெய்யெண்கள்

Real numbers — rational/irrational, surds, number line

★★★★☆ மெய்யெண்விகிதமுறுவிகிதமுறாகரணி

சிறு வயதில் நாம் கற்றது எண்ணுவதுதான் — $1, 2, 3, \ldots$ ஒரு கூடையில் எத்தனை மாம்பழம் என்று. ஆனால் வாழ்க்கை அவ்வளவு நேர்த்தியாக இல்லை. கடன் வந்தபோது மறை எண் தேவைப்பட்டது; ஒரு ரொட்டியைப் பகிர்ந்தபோது பின்னம் தேவைப்பட்டது; ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தை அளந்தபோது $\sqrt{2}$ போன்ற, பின்னமாகக்கூட எழுத முடியாத ஒரு புதிய வகை எண் தேவைப்பட்டது. இப்படி எண்களின் குடும்பம் படிப்படியாக வளர்ந்தது. அந்த முழுக் குடும்பத்தையும் சேர்த்து நாம் மெய்யெண்கள் ($\mathbb{R}$) என அழைக்கிறோம். இந்த அலகில் அந்தக் குடும்ப உறுப்பினர்களை அடையாளம் காணவும், $\sqrt{}$ உள்ள எண்களை (சேடுகள்) நேர்த்தியாகச் சுருக்கவும் கற்போம். பயப்பட ஒன்றுமில்லை — ஒவ்வொன்றாக.

படி 1 — எண்களின் குடும்பம்

இந்தக் குடும்பத்தை ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக அடங்கும் கூடுகளாக நினைத்துப் பார். மிகச் சிறிய கூடு இயற்கை எண்கள் $\mathbb{N}$ — நாம் எண்ணத் தொடங்கிய $1, 2, 3, \ldots$. அதைச் சுற்றி இன்னும் பெரிய கூடு நிறையெண்கள் $\mathbb{Z}$ — பூச்சியத்தையும் மறை எண்களையும் சேர்த்தது. அதையும் சுற்றி விகிதமுறும் எண்கள் $\mathbb{Q}$ — இரு நிறையெண்களின் விகிதமாக ($\tfrac{a}{b}$) எழுதக்கூடிய எல்லாமே. எல்லாவற்றையும் அடக்கும் மிகப் பெரிய கூடு மெய்யெண்கள் $\mathbb{R}$.

ஒரு சிறிய கூட்டில் உள்ளது எப்போதும் அடுத்த பெரிய கூட்டிலும் இருக்கும் — $5$ ஒரு இயற்கை எண்; அது நிறையெண்ணும் ஆகும், விகிதமுறும் எண்ணும் ($\tfrac{5}{1}$) ஆகும், மெய்யெண்ணும் ஆகும். அதனால்தான் ஒரு எண்ணைக் கேட்டால் "அது எந்த மிகச் சிறிய கூட்டில் முதலில் இடம்பெறுகிறது?" என்று பார்க்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக $-\tfrac{3}{4}$ — இது இயற்கை எண்ணும் அல்ல, நிறையெண்ணும் அல்ல (பின்னம் ஆதலால்), ஆனால் விகிதமாக எழுதலாம். எனவே அது முதலில் இடம்பெறும் மிகச் சிறிய கூடு $\mathbb{Q}$.

அடுக்கடுக்கான தொடைகள் $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
$\mathbb{N}$ இயற்கை எண் $\{1,2,3,\ldots\}$ • $\mathbb{Z}$ நிறையெண் $\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}$
$\mathbb{Q}$ விகிதமுறும் $= \left\{\dfrac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\right\}$ • $\mathbb{Q}'$ விகிதமுறா • $\mathbb{R}$ மெய்யெண்

ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$; வெளியே $\sqrt{2},\sqrt{3},\pi$ விகிதமுறா

படி 2 — எந்த எண் "விகிதமுறும்", எந்தது இல்லை?

எளிய சோதனை ஒன்று உண்டு: எண்ணைத் தசமமாக எழுதிப் பார். விகிதமுறும் எண் இரண்டில் ஒரு வழியில் நடந்துகொள்ளும் — ஒன்று முற்றுப்பெறும் ($\tfrac14 = 0.25$, இங்கேயே நின்றுவிடுகிறது), அல்லது ஒரு தொகுதி இலக்கம் திரும்பத் திரும்ப வரும் ($\tfrac49 = 0.444\ldots = 0.\dot{4}$). இரண்டிலும் ஒரு ஒழுங்கு இருக்கிறது.

ஆனால் விகிதமுறா எண் ஒருபோதும் நிலைபெறாது — முடிவே இல்லாமல், எந்த ஒழுங்கும் இல்லாமல் தொடர்ந்துகொண்டே இருக்கும் ($\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$). அதை எந்தப் பின்னமாகவும் எழுத முடியாது. இங்கே ஒரு நல்ல சுருக்கு வழி: $\sqrt{n}$ விகிதமுறும் எண்ணாக இருப்பது $n$ ஒரு நிறை வர்க்கமாக ($4, 9, 16, 25, \ldots$) இருந்தால் மட்டுமே. $\sqrt{25} = 5$ — நேர்த்தி; ஆனால் $\sqrt{2}$ — ஒருபோதும் நிற்காது.

$\dfrac{1}{4} = 0.25$ (முற்றுப்பெறும்); $\dfrac{4}{9} = 0.\dot{4}$ (மடங்கு); $\dfrac{2}{7} = 0.\dot{2}8571\dot{4}$ (மடங்கு, $6$ இலக்கம் மீளும்).

வகைப்படுத்தல்: $\sqrt{25} = 5$ → விகிதமுறும்; $6.52$ → விகிதமுறும் (முற்றுப்பெறும்); $\sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{11}$ → விகிதமுறா; $0.01011011101111\ldots$ → விகிதமுறா (ஒழுங்கின்றி மீளா).

$\sqrt{n}$ விகிதமுறும் ஆவது $n$ ஒரு நிறை வர்க்கமானால் மட்டுமே.

படி 3 — சேடுகளை (surds) நேர்த்தியாக்குதல்

நிறை வர்க்கம் அல்லாத ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலத்தை சேடு (surd) என்கிறோம் — $\sqrt{2}, \sqrt{50}$ போன்றவை. இதை தசமமாக எழுத முடியாது என்பதால், சேடாகவே வைத்துக்கொண்டு வேலை செய்கிறோம். ஆனால் $\sqrt{50}$ போன்ற ஒரு சேட்டுக்குள் சில சமயம் ஒரு நிறை வர்க்கம் ஒளிந்திருக்கும். அதை வெளியே இழுத்து, சேட்டை மிக எளிய வடிவில் எழுதலாம் — பெரிய எண்ணை அதன் காரணிகளாகப் பிரித்து, நேர்த்தியான பகுதியைத் தனியே எடுப்பது போல.

$\sqrt{50}$ ஐ எடு. $50 = 25 \times 2$, இதில் $25$ ஒரு நிறை வர்க்கம். எனவே $\sqrt{50} = \sqrt{25}\times\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. $25$ "வெளியே வந்து" $5$ ஆகிவிட்டது; சுருக்க முடியாத $\sqrt{2}$ மட்டும் உள்ளே நிற்கிறது. இதைச் செய்ய மூன்று எளிய விதிகள் போதும்:

சேட்டு விதிகள் $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ • $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ • $(\sqrt{a})^2 = a$

சுருக்கல்: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$; $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

கூட்டல்/கழித்தல்: சேடுகள் ஒத்தவையாக இருந்தால் மட்டுமே கூட்டலாம் — $\sqrt{2}$ ஐ "ஒரு பொருள்" போல எண்ணு. $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ — இவை வெவ்வேறு பொருள்கள்; மேலும் சேர்க்க முடியாது.

பெருக்கல்: $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

படி 4 — பகுதியில் இருந்து சேட்டை அகற்றுதல்

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ஐ நேரடியாகக் கணிக்க முயன்றால் $1 \div 1.414\ldots$ — கையால் செய்ய மிகக் கடினம். ஆனால் ஒரு சிறு தந்திரத்தால் அந்தச் சேட்டை கீழிருந்து மேலே நகர்த்தலாம்: தொகுதியையும் பகுதியையும் அதே $\sqrt{2}$ ஆல் பெருக்கு. ($\tfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2} = 1$ ஆதலால் எண்ணின் பெறுமானம் மாறாது — நாம் வடிவத்தை மட்டுமே நேர்த்தியாக்குகிறோம்.) இதை பகுதியை விகிதமுறுவாக்கல் (rationalize) என்கிறோம் — கீழே உள்ள குழப்பத்தைத் துடைத்துவிட்டால் மீதி எளிதாகிவிடும்.

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.707$ — இப்போது $1.414 \div 2$ மட்டுமே; எளிது.

$\dfrac{3}{\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$; $\dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.

⭐ ஏன் இந்த சிரமம்? பகுதியில் சேடு இருந்தால் கையால் வகுப்பது கடினம், மேலும் ஒவ்வொரு முறையும் அண்ணளவு செய்தால் வழு சேர்ந்துகொண்டே போகும். சேட்டை மேலே நகர்த்தினால் வகுத்தல் சுலபம், விடையும் துல்லியம். அதனால்தான் பதில்களை $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ போன்ற நேர்த்தியான வடிவில் விட்டுவைக்கிறோம்.

⚠ கவனிக்க வேண்டிய தவறுகள் (1) $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — சோதித்துப் பார்: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, ஆனால் $3+4 = 7$. (2) ஒத்த சேடுகளை மட்டுமே கூட்ட/கழிக்க முடியும். (3) $a\sqrt{b}$ இல் $b$ க்குள் இன்னும் ஒரு நிறை வர்க்கம் இருந்தால் வேலை முடியவில்லை — $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$. (4) $\sqrt{n}$ விகிதமுறுவது $n$ நிறை வர்க்கமானால் மட்டுமே.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

எண் தொடைகள்: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\mathbb{Q}$ விகிதமுறும் $= \dfrac{a}{b}$ ($a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$); $\mathbb{Q}'$ விகிதமுறா.
விகிதமுறும் = முடிவுறு அல்லது மடங்கு தசமம். விகிதமுறா = முடிவுறா & மீளா.
$\sqrt{n}$ விகிதமுறும் ஆவது $n$ நிறை வர்க்கமானால் மட்டுமே.
சேடு எளிய வடிவம் $a\sqrt{b}$: $b$ இல் நிறை வர்க்கக் காரணி இருக்கக் கூடாது.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

சுருக்கல்: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
கூட்டல் (ஒத்த சேடு): $\sqrt{8}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
பெருக்கல்: $\sqrt{6}\times\sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$; $(2\sqrt{5})^2 = 20$.
விகிதமுறுவாக்கல்: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; $\dfrac{3}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
$5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ (மேலும் சுருக்க வேண்டும்).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

வழு குறைப்பு: $\dfrac{\sqrt{20}}{2}-\sqrt{5} = \sqrt{5}-\sqrt{5} = 0$ (சேட்டு வடிவம் சரி).
கலப்பு: $\sqrt{45}+\dfrac{1}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{16\sqrt{5}}{5}$.
எச்சரிக்கை: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$; ஒத்த சேடுகளை மட்டுமே கூட்ட/கழிக்க.
வென் வகைப்படுத்தல்: $\sqrt{2},\pi$ விகிதமுறா; $\sqrt{25},6.52,\tfrac{13}{5}$ விகிதமுறும்.

📝 மேலும் பயிற்சி