1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 11 · P2

நடுப்புள்ளித் தேற்றம்

Midpoint theorem

★★★★★ நடுப்புள்ளிதேற்றம்முக்கோணி

ஒரு முக்கோணியின் இரண்டு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை ஒரு கோட்டால் இணைத்து பாருங்கள். அந்தக் கோடு மூன்றாம் பக்கத்திற்கு சமாந்தரமாக இருக்கிறது — அதுமட்டுமில்லை, அதன் சரியாக அரை நீளத்திற்கு சமம். இரண்டு உண்மைகளும் ஒரே நேரத்தில். இது தேர்வில் நீளக் கணக்கிற்கும் சமாந்தரக் கோண கணக்கிற்கும் இரண்டாகவும் உதவுகிறது.

படி 1 — நடுப்புள்ளித் தேற்றம்

$\triangle ABC$ இல் $P$ = $AB$ இன் நடுப்புள்ளி, $Q$ = $AC$ இன் நடுப்புள்ளி. ஏன் $PQ \parallel BC$? $AP = PB$ மற்றும் $AQ = QC$ என்பதால் $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{1}{2}$ — இது ஒற்றை விகித நிலை. BPT (தேல்ஸ் தேற்றம்) மறுதலையால் $PQ \parallel BC$. ஏன் $PQ = \dfrac{1}{2}BC$? $\triangle APQ \sim \triangle ABC$ (AA சாம்யம்; விகிதம் $1:2$) — எனவே பக்க விகிதம் $\dfrac{PQ}{BC} = \dfrac{1}{2}$.

$P, Q$ = நடுப்புள்ளிகள் → $PQ \parallel BC$ மற்றும் $PQ = \dfrac{1}{2}BC$

நடுப்புள்ளித் தேற்றம் $P$ = $AB$ நடுப்புள்ளி, $Q$ = $AC$ நடுப்புள்ளி ⇒ $PQ \parallel BC$ மற்றும் $PQ = \dfrac{1}{2}BC$

$BC = 12$ cm ஆயின் $PQ = \dfrac{1}{2}(12) = 6$ cm.

$PQ = 5$ cm ஆயின் $BC = 2 \times 5 = 10$ cm.

$\angle APQ = \angle ABC$ (சமாந்தர கோடுகளுக்கு ஏகான்ம கோணங்கள்) → கோண கணக்கிலும் பயன்படுத்தலாம்.

படி 2 — மறுதலைத் தேற்றம்

தேற்றத்தை தலைகீழாகவும் சொல்லலாம்: ஒரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளி வழியே, மற்றொரு பக்கத்திற்கு சமாந்தரமாக வரையும் கோடு, மூன்றாம் பக்கத்தை இருசமக்கூறிடும்.

மறுதலை $P$ = $AB$ நடுப்புள்ளி, $PQ \parallel BC$ ($Q$ on $AC$) ⇒ $Q$ = $AC$ நடுப்புள்ளி

படி 3 — பயன்பாடுகள்

நடுப்புள்ளி முக்கோணி (medial triangle): மூன்று பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைத்தால் $4$ சிறு முக்கோணிகள் கிடைக்கும். ஒவ்வொன்றும் மூல முக்கோணியின் $\dfrac{1}{4}$ பரப்பு.

$PQ = \dfrac{1}{2}BC$ மற்றும் அனைத்து பக்கங்களும் அரை → பரப்பு விகிதம் $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$.

வேரிஞான் தேற்றம்: எந்த நாற்பக்கத்தின் (quadrilateral) நான்கு பக்க நடுப்புள்ளிகளையும் இணைத்தால் ஒரு இணைகரம் கிடைக்கும்.

⭐ இரண்டு உண்மைகள் — ஒரு தேற்றம் சமாந்தரம் ($PQ \parallel BC$) → கோண கணக்கிற்குப் பயன்படு. அரை நீளம் ($PQ = \tfrac{1}{2}BC$) → நீளக் கணக்கிற்குப் பயன்படு. கேள்வி எந்த வகை என்று பார்த்து சரியான பாகத்தை எடு.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $PQ = \dfrac{1}{2}BC$ — $PQ$ சிறியது, $BC$ பெரியது — தலைகீழாக்காதீர்கள்.
(2) தேற்றம் பொருந்த இரு நடுப்புள்ளிகள் தேவை — ஒன்று மட்டும் போதாது.
(3) மறுதலையில்: நடுப்புள்ளி + சமாந்தரம் → மூன்றாம் பக்கத்தை இருசமக்கூறிடும்.
(4) நடுப்புள்ளி முக்கோணியின் பரப்பு மூலத்தின் $\tfrac{1}{4}$ — $\tfrac{1}{2}$ அல்ல.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

நடுப்புள்ளித் தேற்றம்: $PQ \parallel BC$ மற்றும் $PQ = \dfrac{1}{2}BC$.
$P, Q$ = இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
மறுதலை: ஒரு நடுப்புள்ளி + சமாந்தரம் → மற்றதை இருசமக்கூறிடும்.
நடுப்புள்ளி முக்கோணி = மூலத்தின் $\tfrac14$ பரப்பு, $\tfrac12$ சுற்றளவு.
நாற்பக்க நடுப்புள்ளிகள் → இணைகரம் (வேரிஞான்).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$BC=12 \Rightarrow PQ=6$; $PQ=5 \Rightarrow BC=10$.
$PQ \parallel BC \Rightarrow \angle APQ = \angle ABC$ (ஒத்த கோணம்).
மறுதலை: $AB$ நடுப்புள்ளி $+ PQ\parallel BC \Rightarrow Q$ = $AC$ நடுப்புள்ளி.
நடுப்புள்ளி $\triangle$ பக்கங்கள்: எதிர்ப் பக்கங்களின் அரை.
சுற்றளவு $30 \Rightarrow$ நடுப்புள்ளி $\triangle$ சுற்றளவு $15$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

நிரூபணம்: $PQ$ ஐ $R$ வரை நீட்டு ($PQ=QR$); $\triangle APQ \equiv \triangle CRQ$; $PBCR$ இணைகரம்.
வேரிஞான்: மூலைவிட்டம் $AC$ வழி → $PQ \parallel SR$, $PQ=SR$ → இணைகரம்.
எச்சரிக்கை: $PQ$ சிறியது ($\tfrac12 BC$); இரு நடுப்புள்ளி தேவை.
மறுதலை: நடுப்புள்ளி + சமாந்தரம் இரண்டும் வேண்டும்.

📝 மேலும் பயிற்சி