1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 25 · P3

நிகழ்தகவு

Probability — independent/dependent, tree & grid, combined events

★★★★★ நிகழ்தகவுprobabilityமரவரைபடம்

கிரிக்கெட் போட்டியில் ஆட்டம் தொடங்கும் முன் நாணயம் சுண்டுகிறார்கள் — ஏன் "நடுநிலை" என்று? ஏனென்றால் நாணயத்திற்கு தலை/பூ யாரையும் விரும்புவதில்லை: $P(\text{தலை}) = \dfrac{1}{2}$, $P(\text{பூ}) = \dfrac{1}{2}$. நிகழ்தகவு (probability) என்பது "எவ்வளவு சாத்தியம்?" என்பதை $0$ முதல் $1$ வரை அளக்கும் எண். இந்த அலகில் ஒரு சோதனை மட்டுமல்ல — இரண்டு அல்லது மூன்று நிலை சோதனைகளை மர வரிப்படம் மற்றும் நெடுவரிசை மூலம் கணிக்கலாம்.

படி 1 — அடிப்படை வாய்ப்பாடு

நிகழ்தகவு $P(A) = \dfrac{\text{சாதகமான பேறுகள்}}{\text{சமதகவுள்ள மொத்தப் பேறுகள்}}$

பகடை $\{1,2,3,4,5,6\}$: $P(\text{இரட்டை}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$; $P(5) = \dfrac{1}{6}$; $P(\text{$4$-க்கு மேல்}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

நிரப்பி விதி: $P(\text{மழை இல்லை}) = 1 - P(\text{மழை}) = 1 - 0.3 = 0.7$.

"குறைந்தது ஒன்று" கணக்கு எளிது: $1 - P(\text{ஒன்றும் இல்லை})$.

படி 2 — சார & சாரா நிகழ்வுகள்

வகை	பொருள்	உதாரணம்
சாரா (independent)	ஒன்று மற்றதை பாதிக்காது	மீள்வைப்புடன் எடுத்தல்; நாணயம்
சார (dependent)	ஒன்று மற்றதை பாதிக்கும்	மீள்வைப்பின்றி எடுத்தல்

பையில் $7$ வெள்ளை $+ 3$ கறுப்பு $= 10$ பந்து. மீள்வைப்புடன்: முதல் பந்தை வைத்துவிட்டு மீண்டும் எடுக்கிறோம் → இரண்டாம் எடுப்பும் $P(\text{வெ}) = \dfrac{7}{10}$ மாறாது (சாரா). மீள்வைப்பின்றி: எடுத்த பந்தை வைக்காமல் → மொத்தம் $9$; முதல் வெள்ளையென்றால் இரண்டாம் $P(\text{வெ}) = \dfrac{6}{9}$ (சார).

படி 3 — மர வரிப்படம் (இரு நிலை)

கிளை வழியே பெருக்கு ("உம்"); இரு வேறு வழிகளை கூட்டு ("அல்லது")

இரு நிலை விதிகள் "உம்" (and) → கிளைகளை பெருக்கு: $P(A \text{ உம் } B) = P(A) \times P(B\mid A)$.
"அல்லது" (or) → சாத்தியமான வழிகளை கூட்டு.

மீள்வைப்புடன் இரு வெள்ளை: $\dfrac{7}{10} \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{49}{100}$.

மீள்வைப்பின்றி $P(\text{ஒரு வெள்ளை, ஒரு கறுப்பு})$ = (வெ பின் கறு) + (கறு பின் வெ) $= \dfrac{7}{10}{\times}\dfrac{3}{9} + \dfrac{3}{10}{\times}\dfrac{7}{9} = \dfrac{21}{90}+\dfrac{21}{90} = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$.

படி 4 — நெடுவரிசை (grid) முறை

இரு பகடை உருட்டல் → $6 \times 6 = 36$ சமதகவுப் பேறுகள். கூட்டுத்தொகை $7$ வரும் சோடிகள்: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — $6$ சோடிகள். $P(\text{தொகை }7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

⭐ நிரப்பியை பயன்படுத்துங்கள் "குறைந்தது ஒரு முறை $X$ நடக்க" — நேரடியாக கணிப்பது சிக்கலாக இருக்கும். $P(\text{குறைந்தது ஒரு முறை}) = 1 - P(\text{ஒரு முறையும் இல்லை})$ — எளிது.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) மீள்வைப்பின்றி — இரண்டாம் எடுப்பில் மொத்தமும் சாதகமும் குறையும் ($10 \to 9$).
(2) "உம்" $=$ பெருக்கல்; "அல்லது" $=$ கூட்டல் — குழப்பாதீர்கள்.
(3) $P$ எப்போதும் $0 \le P \le 1$ — $1$-க்கு மேல் போகவே முடியாது.
(4) கிளைகளில் அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டு $= 1$ (ஒவ்வொரு முனையிலும்).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

$P(A) = \dfrac{\text{சாதகம்}}{\text{மொத்தம்}}$. $0 \le P \le 1$.
நிரப்பி: $P(A') = 1 - P(A)$.
பகடை: $P(\text{இரட்டை}) = \tfrac12$, $P(5) = \tfrac16$.
சாரா = மீள்வைப்புடன் ($P$ மாறாது); சார = மீள்வைப்பின்றி ($P$ குறையும்).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

மர வரிப்படம்: "உம்" → கிளை பெருக்கு; "அல்லது" → வழிகள் கூட்டு.
மீள்வைப்புடன் இரு வெ ($\tfrac{7}{10}$): $\tfrac{7}{10}{\times}\tfrac{7}{10} = \tfrac{49}{100}$.
மீள்வைப்பின்றி: $\tfrac{7}{10}{\times}\tfrac{6}{9} = \tfrac{7}{15}$.
இரு பகடை $= 36$ பேறு. கூட்டு $7 \Rightarrow \tfrac{6}{36} = \tfrac16$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

"குறைந்தது ஒன்று" → $1 - P(\text{எதுவுமில்லை})$ (நிரப்பி எளிது).
எச்சரிக்கை: மீள்வைப்பின்றி மொத்தமும் சாதகமும் குறையும் ($10{\to}9$).
ஒரு வெ ஒரு கறு → இரு வரிசை (வெ-கறு $+$ கறு-வெ) கூட்டு.

📝 மேலும் பயிற்சி