1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 17 · P3

பைதகரசின் தேற்றம்

Pythagoras theorem

★★★★★ பைதகரஸ்செங்கோணம்கர்ணம்

ஒரு கட்டிட ஆசிரியர் சுவர் மூலையை சரியாக $90°$ ஆக்க வேண்டும். ஒரு சுவரில் $3$ அடி அளவிடுகிறார்; மற்ற சுவரில் $4$ அடி. மூலையிலிருந்து இந்த இரு புள்ளிகளுக்கிடையே மாபாவை இழுக்கிறார் — $5$ அடி கிடைத்தால் மூலை சரியாக $90°$. கி.மு. $600$-க்கும் முன்பாக கட்டிட வல்லுனர்கள் இந்த $3$-$4$-$5$ தந்திரத்தை அறிந்திருந்தார்கள். பைதகரஸ் இதை ஏன் என்று நிரூபித்தார்: செங்கோண முக்கோணியில் செம்பக்கத்தின் வர்க்கம் = மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓.

படி 1 — தேற்றமும் மூலமும்

$c^2 = a^2 + b^2$; $c$ = செம்பக்கம் (மிகப்பெரிய பக்கம், செங்கோணத்துக்கு எதிரே)

பைதகரசின் தேற்றம் $c^2 = a^2 + b^2$ ($c$ = செம்பக்கம்)

பக்கங்கள் $3, 4$: $c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

பக்கங்கள் $5, 12$: $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

பக்கங்கள் $7, 24$: $c = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

$625 = 25^2$ — $7$-$24$-$25$ மும்மை; தேர்வில் அடிக்கடி வரும்.

படி 2 — தெரியாத குறுகிய பக்கம் காணல்

செம்பக்கம் தெரிந்தால், மற்ற பக்கம் = கழித்தல்: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. செம்பக்கம் தெரியாவிட்டால் = கூட்டல்: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

செம்பக்கம் $13$, ஒரு பக்கம் $5$: $b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

செம்பக்கம் $25$, ஒரு பக்கம் $7$: $b = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.

படி 3 — மறுதலை: செங்கோணம் சரிபார்க்கல்

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணி உருவாக்குகிறதா என்று சரிபார்க்க: மிகப்பெரிய பக்கத்தின் வர்க்கம் = மற்ற இரண்டின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையா?

$6, 8, 10$: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ → செங்கோண முக்கோணி ✓.

$4, 5, 6$: $4^2 + 5^2 = 41 \neq 36 = 6^2$ → செங்கோணம் இல்லை.

படி 4 — நடைமுறை பயன்பாடுகள்

செவ்வக மூலைவிட்டம்: $3 \times 4$ செவ்வகம்: மூலைவிட்டம் $= \sqrt{9+16} = 5$.

ஏணி: $13$ m ஏணி சுவரில் சாய்க்கப்படுகிறது; அடி சுவரிலிருந்து $5$ m: சுவர் உயரம் $= \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ m.

சமபக்க முக்கோணி உயரம்: பக்கம் $a$ → உயரம் $= \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. $a = 10$: உயரம் $= \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

⭐ பைதகரஸ் மும்மைகள் — மனப்பாடம் $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(6,8,10)$, $(9,12,15)$ — இவற்றை அறிந்தால் $\sqrt{}$ கணக்கிடாமலே தேர்வில் விடை சொல்லலாம்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $c$ = மிகப்பெரிய பக்கம் — சிறிய பக்கம் செம்பக்கம் ஆகாது.
(2) $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ — $\sqrt{9+16} = 5$ ஆனால் $3+4 = 7$.
(3) செம்பக்கம் தெரிந்தால் கழிக்கவும் ($c^2 - a^2$); தெரியாவிட்டால் கூட்டவும்.
(4) மறுதலை: மூன்று பக்கங்களும் தரப்பட்டால் மிகப்பெரிய பக்கத்தை $c$ ஆக வையுங்கள்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

பைதகரஸ்: $c^2 = a^2 + b^2$ ($c$ = செம்பக்கம், மிகப்பெரிய பக்கம்).
செம்பக்கம் காண: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
தெரியாத பக்கம்: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (செம்பக்கம் தெரிந்தால் கழி).
மறுதலை: $c^2 = a^2+b^2$ எனில் செங்கோணம்.
மும்மைகள்: $(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$3,4 \to 5$; $5,12 \to 13$; $8,15 \to 17$; $7,24 \to 25$; $20,21 \to 29$.
செம்பக்கம் $13$, பக்கம் $5 \to 12$.
மறுதலை: $6,8,10$ → $100=10^2$ → செங்கோணம்.
செவ்வக மூலைவிட்டம்: $\sqrt{l^2+b^2}$. சதுரம் பக்கம் $a \to a\sqrt2$.
ஏணி: $13$ m, அடி $5$ m → உயரம் $12$ m.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

இருசமபக்க உயரம்: அடியை இருசமக்கூறிடு → பைதகரஸ் ($13,13,$ அடி $10 \to h=12$).
சமபக்க உயரம்: பக்கம் $6 \to 3\sqrt3$.
பரப்பு வழி உயரம்: $\tfrac12 \cdot AC \cdot h = $ பரப்பு.
எச்சரிக்கை: $\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$; $c$ மிகப்பெரிய பக்கம்.

📝 மேலும் பயிற்சி