1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 16 · P2

பெருக்கல் விருத்தி

Geometric progression

★★★★☆ பெருக்கல் விருத்திபொது விகிதம்

முதல் நாள் ரூ. $1$ சேமிக்கிறீர்கள். இரண்டாம் நாள் ரூ. $2$. மூன்றாம் நாள் ரூ. $4$. நான்காம் நாள் ரூ. $8$. $30$ நாட்கள் பின்னர்? $2^{29} = 536{,}870{,}912$ — கோடிக்கணக்கான ரூபாய்! இதுவே பெருக்கல் விருத்தி (geometric progression) — ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தையதை ஒரே எண்ணால் பெருக்கி கிடைக்கிறது. கூட்டல் விருத்தி நேரடியாக வளரும்; பெருக்கல் விருத்தி வேகமாக வளரும் — வங்கி கூட்டு வட்டி, வைரஸ் பரவல், மக்கள்தொகை இயக்கம் எல்லாம் இந்த வடிவத்தை பின்பற்றுகின்றன.

படி 1 — பொது விகிதம் $r$

கூட்டல் விருத்தியில் $d$ (பொது வித்தியாசம்) — ஒவ்வொரு உறுப்பும் கழித்தால் கிடைக்கிறது. பெருக்கல் விருத்தியில் $r$ (பொது விகிதம்) — ஒவ்வொரு உறுப்பையும் முந்தையதால் வகுத்தால் கிடைக்கிறது. $r$ எல்லா இடங்களிலும் ஒன்றாக இருந்தால்தான் பெருக்கல் விருத்தி.

பொது விகிதம் $r = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2} = \cdots$ (அடுத்தது $\div$ முந்தையது)

$3, 6, 12, 24, 48$: $r = \dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} = \dfrac{24}{12} = 2$ ✓. $a = 3$, $r = 2$.

$2, 6, 18, 54$: $r = \dfrac{6}{2} = \dfrac{18}{6} = \dfrac{54}{18} = 3$ ✓. $a = 2$, $r = 3$.

படி 2 — $n$ ஆம் உறுப்பு: $T_n$ ஏன் $ar^{n-1}$?

$a$ இலிருந்து ஒரு படி: $a \times r = ar$. இரண்டு படி: $ar \times r = ar^2$. மூன்று படி: $ar^3$. $n$ ஆம் உறுப்பு வர $(n-1)$ படி: $a \times r^{n-1}$. முதல் உறுப்பில் $0$ பெருக்கல் — $T_1 = ar^0 = a$ ✓.

$n$ ஆம் உறுப்பு $T_n = a \cdot r^{n-1}$ ($a$ = முதல் உறுப்பு, $r$ = பொது விகிதம், $n$ = இடம்)

$3, 6, 12, \ldots$ இல் $5$ ஆம் உறுப்பு: $T_5 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.

$2, 6, 18, \ldots$ இல் $6$ ஆம் உறுப்பு: $T_6 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486$.

முதல் உறுப்பு $8$, $r = 2$ கொண்ட விருத்தியின் $7$ ஆம் உறுப்பை $2$ இன் வலுவாக: $T_7 = 8 \times 2^6 = 2^3 \times 2^6 = 2^9$.

$8 = 2^3$; $T_7 = 2^3 \times 2^6 = 2^9$ (சுட்டி கூட்டல் விதி).

படி 3 — முதல் $n$ உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை $S_n$

கூட்டுத்தொகை $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ($r \neq 1$; $r > 1$ ஆனால் எழுதுவது வழக்கம்)
அல்லது: $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ ($r < 1$ ஆனால் பயன்படுத்தல் எளிது)

$3 + 6 + 12 + 24$ ($a=3, r=2, n=4$): $S_4 = \dfrac{3(2^4 - 1)}{2 - 1} = \dfrac{3 \times 15}{1} = 45$. சரிபார்: $3+6+12+24 = 45$ ✓.

$2 + 6 + 18 + 54$ ($a=2, r=3, n=4$): $S_4 = \dfrac{2(3^4 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2 \times 80}{2} = 80$. சரிபார்: $2+6+18+54 = 80$ ✓.

⭐ கூட்டல் vs பெருக்கல் AP ($+d$): நேர்கோட்டு வளர்ச்சி. GP ($\times r$): கோடிக்கணக்கில் உயரும். $r > 1$ எனில் GP வேகமாக வளரும். $0 < r < 1$ எனில் சுருங்கும் (கதிரியக்கச் சிதைவு போல்). $r = 1 + \dfrac{R}{100}$ ஆக்கினால் கூட்டு வட்டி சூத்திரமாகும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $T_n = ar^{n-1}$ — வலு $(n-1)$, $n$ அல்ல ($T_1 = ar^0 = a$ என சரிபார்க்கவும்).
(2) $r = $ அடுத்தது $\div$ முந்தையது — கழித்தல் அல்ல (அது AP).
(3) $S_n$ சூத்திரம்: $r^n - 1$ அடைப்புக்குள் முழுவதும் $a$-ஆல் பெருக்கு.
(4) $r$ என்பது எல்லா அடுத்தடுத்த சோடிகளிலும் சமம் — ஒன்று மட்டும் சரிபார்த்தால் போதாது.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

ஒரு பெருக்கல் விருத்தியின் (geometric progression) இரண்டாம், மூன்றாம் உறுப்புகள் முறையே $6, 18$. (i) பொது விகிதம் (ii) முதல் உறுப்பு காண்க.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

முதல் உறுப்பு $8$, பொது விகிதம் $2$ உள்ள பெருக்கல் விருத்தியின் $7$ ஆம் உறுப்பை $2$ இன் ஒரு வலுவாக எழுதுக.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$9, 27, 81, \dots$ பெருக்கல் விருத்தியின் ஆறாம் உறுப்பை $3$ இன் ஒரு வலுவாகக் காட்டுக.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

முதல் உறுப்பு $6$, இரண்டாம் உறுப்பு $-12$ உள்ள பெருக்கல் விருத்தியின் மூன்றாம் உறுப்பைக் காண்க.

2024 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

ஒரு பெருக்கல் விருத்தியின் இரண்டாம் உறுப்பு $-6$, மூன்றாம் உறுப்பு $-12$. ஐந்தாம் உறுப்பைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

பெருக்கல் விருத்தி: ஒவ்வோர் உறுப்பும் $\times r$ (பொது விகிதம்).
பொது விகிதம் $r = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2}$ (அடுத்தது $\div$ முந்தையது).
$n$ ஆம் உறுப்பு $T_n = a \cdot r^{n-1}$.
கூட்டுத்தொகை $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$.
கூட்டல் வி: $+d$; பெருக்கல் வி: $\times r$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$3,6,12,\ldots$: $a=3, r=2$. $T_5 = 3 \cdot 2^4 = 48$.
$S_4$ of $3,6,12,24 = \dfrac{3(16-1)}{1} = 45$.
$2,6,18,\ldots$: $r=3$, $T_5 = 162$, $S_4 = 80$.
$a,r$ காணல்: $T_2=6, T_4=54 \Rightarrow r^2=9, r=3, a=2$.
குறையும்: $16,8,4,2$: $r=\tfrac12$, $T_5 = 1$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

$n$ காணல்: $3 \cdot 2^{n-1}=384 \Rightarrow 2^{n-1}=2^7 \Rightarrow n=8$.
பயன்பாடு: இரட்டிக்கும் பாக்டீரியா/பணம் = பெருக்கல் விருத்தி.
எச்சரிக்கை: $T_n$ இல் வலு $(n-1)$; $r$ வகுத்தல் (கழித்தல் அல்ல).
பெ.வி.யா சரிபார்: எல்லா $\dfrac{T_{k+1}}{T_k}$ சமமா எனப் பார்.

📝 மேலும் பயிற்சி