1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 20 · P3

சமனிலிகள்

Inequalities — solving, sign-flip, number line, word problems

★★★★☆ சமனிலிinequalityஎண் கோடு

ஒரு பையில் $8$ தேயிலைப் பாக்கெட் (ஒவ்வொன்றும் $x$ கிராம்) மற்றும் $3000$ g சீனி. எடை $5000$ g ஐ தாண்டக் கூடாது என்றால்: $8x + 3000 \le 5000$ → $x \le 250$. இங்கு "$=$" இல்லை — ஒரு வீச்சு (range) விடைகள் உள்ளன. இதைக் குறிக்கவே சமனிலிகள் (inequalities): $<, >, \le, \ge$. சமன்பாட்டிலிருந்து வித்தியாசம் ஒன்றே ஒன்று: மறை எண்ணால் பெருக்கினால்/வகுத்தால் குறியீடு மாறும்.

படி 1 — சமனிலியை அவிழ்த்தல்

சமன்பாட்டைப் போலவே — இருபுறமும் ஒரே மதிப்பை கூட்டலாம், கழிக்கலாம்; மறை அல்லாத எண்ணால் பெருக்கலாம்/வகுக்கலாம். $x$ ஐ தனிமைப்படுத்துவதே குறிக்கோள்.

$3x - 2 > 2x + 3 - 2x$: $3x - 2x > 3$ ⟹ $x > 3$.

$5x + 3 \le 3x + 1$: $5x - 3x \le 1 - 3$ ⟹ $2x \le -2$ ⟹ $x \le -1$.

படி 2 — மறை எண்ணால் வகுத்தல்: குறி மாறும்!

$2 < 6$ என்று தெரியும். இருபுறமும் $-1$ ஆல் பெருக்க: $-2$ மற்றும் $-6$. இப்போது $-2 > -6$ — குறியீடு மாறியது. இதுவே சமனிலியிலும் நடக்கும்: மறை எண்ணால் பெருக்கினால் அல்லது வகுத்தால் $< \leftrightarrow >$, $\le \leftrightarrow \ge$ மாறும்.

⭐ மறை எண் → குறி மாறும் கூட்டல்/கழித்தல்: குறி மாறாது. மறை எண்ணால் பெருக்கல்/வகுத்தல்: குறி கட்டாயம் மாறும்.

$-2x < 1$: இருபுறமும் $-2$ ஆல் வகு (குறி மாறும்) → $x > -\dfrac{1}{2}$.

$3 - 4x \ge 11$: $-4x \ge 8$ → $-4$ ஆல் வகு (குறி மாறும்) → $x \le -2$.

படி 3 — எண் கோட்டில் காட்டல்

திறந்த வட்டம் ($<, >$): அந்த மதிப்பு உள்ளடங்காது · நிரப்பிய வட்டம் ($\le, \ge$): உள்ளடங்கும்

படி 4 — முழு எண் தீர்வுகள்

$5x + 3 \le 3x + 13$: $2x \le 10$ ⟹ $x \le 5$. முழு எண் தீர்வுகள்: $\ldots, 3, 4, 5$ — மிகப் பெரியது $5$.

படி 5 — சொல் வழக்குகள்

பை சுமை: $8x + 3000 \le 5000$ ⟹ $x \le 250$. ஒரு பாக்கெட் அதிகபட்சம் $250$ g.

"தாண்டக் கூடாது" = $\le$; "குறைய வேண்டும்" = $<$ — சொற்களை கவனமாக வாசிக்கவும்.

தரம் நிபந்தனை: மூன்று தேர்வுகளில் $72, 68, x$ மதிப்பெண்கள். சராசரி குறைந்தது $70$ வேண்டும்: $\dfrac{72 + 68 + x}{3} \ge 70$ ⟹ $140 + x \ge 210$ ⟹ $x \ge 70$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) மறை எண்ணால் பெருக்கல்/வகுத்தல் — குறி மாற்றத்தை மறக்காதீர்கள்.
(2) எண் கோட்டில் திறந்த ($< >$) vs நிரப்பிய ($\le \ge$) வட்டத்தை சரியாக வரையுங்கள்.
(3) "அதிகபட்சம்" → $\le$; "குறைந்தபட்சம்" → $\ge$; "மட்டுமே குறைவாக" → $<$.
(4) கூட்டல்/கழித்தலில் குறி மாறாது — பெருக்கல்/வகுத்தலில் மறையால் மட்டுமே மாறும்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

தீர்க்க: $1 - 2x \le 7$.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

சமனிலி குறியீடுகள்: $<$ (சிறிது), $>$ (பெரிது), $\le$ (சிறிது அல்லது சமம்), $\ge$.
சமன்பாடு போல அவிழ்: இருபுறமும் கூட்டு/கழி/(மறை அல்லாத) பெருக்கு/வகு.
⚑ மறை எண்ணால் வகு/பெருக்கினால் — குறியீட்டை மாற்று!
"அதிகபட்சம்" $\Rightarrow \le$; "குறைந்தபட்சம்" $\Rightarrow \ge$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$3x - 2 > 2x + 3 \Rightarrow x > 5$.
$-2x < 6 \Rightarrow x > -3$ (மறையால் வகு → குறி மாறும்).
எண் கோடு: $<,>$ திறந்த வட்டம்; $\le,\ge$ நிரப்பிய வட்டம்.
முழு எண் தீர்வு: $x \le 5 \Rightarrow$ மிகப் பெரியது $5$. $x > 3 \Rightarrow$ மிகச் சிறியது $4$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

சொல் வடிவம்: $8x + 3000 \le 5000 \Rightarrow x \le 250$.
எச்சரிக்கை: கூட்டல்/கழித்தலில் குறி மாறாது — மறையால் பெருக்கல்/வகுத்தலில் மட்டுமே.
திறந்த/நிரப்பிய வட்டத்தைச் சரியாகத் தேர்வு செய்.

📝 மேலும் பயிற்சி