1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 13 · P2

சமன்பாடுகள்

Equations — simultaneous and quadratic

★★★★★ சமன்பாடுஒருங்கமைஇருபடி

ஒரு கடையில் $x$ ரூ.$2$ நாணயங்களும் $y$ ரூ.$5$ நாணயங்களும் உள்ளன. மொத்தம் $20$ நாணயங்கள்; மொத்த மதிப்பு ரூ. $55$. இரு தெரியாக்கள், இரு சமன்பாடுகள் — இதுவே ஒருங்கமை சமன்பாடு. அதுபோல் சில சூழல்களில் $x^2 + x - 6 = 0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாடு வருகிறது — அங்கு $x$ இன் இரு சாத்தியமான விடைகள் இருக்கும். இந்த அலகு இந்த இரண்டையும் மூன்று முறைகளில் தீர்க்கிறது.

படி 1 — ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்

இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே $x, y$ பெறுமானங்களை திருப்தி செய்ய வேண்டும். நீக்கல் முறை: ஒரு மாறியின் குணகங்களைச் சமமாக்கி கூட்டினால் அது "நீங்கும்". பிரதியீடு முறை: ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு மாறியை ($y = …$) வெளிப்படுத்தி மற்றதில் பிரதியிடு.

பிரதியீடு: $a + 2b = 3$, $2a + b = 0$. 2ஆவதிலிருந்து: $b = -2a$. பிரதியிடு: $a + 2(-2a) = 3 \Rightarrow -3a = 3 \Rightarrow a = -1$, $b = 2$.

நீக்கல்: $x + y = 20$ (i), $2x + 5y = 55$ (ii). (i)$\times 2$: $2x + 2y = 40$. (ii)$-$(i)$\times 2$: $3y = 15 \Rightarrow y = 5$, $x = 15$.

நாணய கணக்கு: $15$ ரூ.$2$ + $5$ ரூ.$5$ = $30 + 25 = 55$ ✓.

சொல் வழக்கு: "வயது" அல்லது "விலை" கேட்டால் $x, y$ என்று வைக்கவும்; இரண்டு தகவல்களும் இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஆகட்டும்.

படி 2 — இருபடிச் சமன்பாடு: காரணியாக்கம்

$ax^2 + bx + c = 0$ இல் பெருக்கம் பூஜ்யம் என்றால் ஒரு காரணி பூஜ்யம் — அதை நாம் பயன்படுத்துகிறோம். முதலில் எப்போதும் காரணியாக்கத்தை முயற்சிக்கவும்; இது வேகமான வழி.

$x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ அல்லது $x = 3$.

$2x^2 - 5x - 3 = 0 \Rightarrow (2x+1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}$ அல்லது $x = 3$.

$2 \times (-3) = -6$; இந்த $-6$ ஐ $+1 \times (-6)$ என்று பிரி, நடு ($-5$) சரியா என்று சோதி.

படி 3 — இருபடிச் சூத்திரம் (emergency key)

காரணியாக்க முடியாதபோது — அல்லது உறுதி இல்லாதபோது — இருபடிச் சூத்திரம் எப்போதும் வேலை செய்கிறது. இந்தச் சூத்திரம் $ax^2+bx+c=0$ ஐ "வர்க்கப் பூர்த்தி" முறையால் வருவிக்கப்பட்டது — ஒரே நடவடிக்கை.

இருபடிச் சூத்திரம் $ax^2 + bx + c = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$b^2 - 4ac$ = பாகுபடுத்தி: $>0$ → இரு மூலங்கள்; $=0$ → ஒரு மூலம்; $<0$ → மூலம் இல்லை

$x^2 - 2x - 1 = 0$: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$. $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

காரணியாக்க முடியாத இருபடி — சூத்திரம் தான் வழி.

$2x^2 + 3x - 2 = 0$: $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4} = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$. $x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ அல்லது $x = \dfrac{-8}{4} = -2$.

படி 4 — வர்க்கப் பூர்த்தியாக்கம் (completing the square)

சூத்திரம் இல்லாமல் தீர்க்க இந்த முறை — $x^2 + bx$ ஐ $(x + k)^2$ வடிவமாக மாற்றுகிறது. $k = \dfrac{b}{2}$; $(x+k)^2 = x^2 + bx + k^2$; எனவே $k^2$ ஐ இரு பக்கமும் சேர்த்தால் "பூர்த்தியாகும்".

$x^2 - 4x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 1$. $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ ஐ இரு பக்கம்: $(x-2)^2 = 1 + 4 = 5$. $x - 2 = \pm\sqrt{5} \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{5}$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) சூத்திரத்தில் $-b$ — $b$ இன் அடையாளத்தை கவனமாக நோக்குங்கள்; $b=-2$ ஆனால் $-b=+2$.
(2) $b^2 - 4ac$ முழுவதும் $\sqrt{\ }$ க்குள் — $\sqrt{b^2} - 4ac$ என்று பிரிக்காதீர்கள்.
(3) ஒருங்கமையில் $x$ மட்டும் போதாது — $y$ பெறுமானமும் தேவை.
(4) வர்க்கப் பூர்த்தியில் $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ ஐ இரு பக்கமும் சேர்க்கவும்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

ஒருங்கமை: நீக்கல் (கூட்டு/கழி) அல்லது பிரதியீடு.
இருபடி $ax^2+bx+c=0$ — 3 முறை: காரணி, வர்க்கப் பூர்த்தி, சூத்திரம்.
இருபடிச் சூத்திரம்: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
பாகுபடுத்தி $b^2-4ac$: $>0$ இரு மூலம், $=0$ சம, $<0$ மூலமில்லை.
சொல் வழக்கு: மாறிகள் வரையறுத்து இரு சமன்பாடு உருவாக்கு.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$a+2b=3, 2a+b=0 \Rightarrow a=-1, b=2$.
நாணயம்: $x+y=20, 2x+5y=55 \Rightarrow x=15, y=5$.
காரணி: $2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3) \Rightarrow x=-\tfrac12, 3$.
சூத்திரம்: $x^2-2x-1=0 \Rightarrow 1\pm\sqrt2$.
வர்க்கப் பூர்த்தி: $x^2-4x-1=0 \Rightarrow (x-2)^2=5 \Rightarrow 2\pm\sqrt5$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

கமலா/விமலா: $x+y=85, x=2y-95 \Rightarrow y=60, x=25$.
பாகுபடுத்தி $=0$: $x^2-6x+9=0 \Rightarrow x=3$ (சம மூலம்).
சொல்(இருபடி): $x^2=5x+6 \Rightarrow x=6$ அல்லது $-1$.
எச்சரிக்கை: சூத்திரத்தில் $-b$; $b^2-4ac$ முழுதும் மூலத்துக்குள்.

📝 மேலும் பயிற்சி