1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 2 · P1

சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் I

Indices and logarithms I

★★★★★ சுட்டிமடக்கைவலு

தரம் 8 இல் $2^3 = 8$ என்று கற்றீர்கள். "2 ஐ மூன்று முறை தன்னோடு பெருக்கு" — அது புரிகிறது. தரம் 10 இல் $a^0 = 1$, $a^{-n}$ போன்றவற்றை கண்டீர்கள். ஆனால் $2^{1/2}$ என்றால் என்ன? "2 ஐ அரை முறை பெருக்கு" என்று சொல்வதற்கு அர்த்தமே இல்லை, இல்லையா? இந்த அலகு அதற்கான விடையைத் தருகிறது — பின்ன சுட்டிகளும் மறை சுட்டிகளும் அதே பழைய விதியிலிருந்தே இயல்பாக வருகின்றன என்று காண்பிக்கிறோம். மடக்கை (logarithm) என்பது சுட்டியின் "பின்னோக்கு சக்கரம்" — அதுவும் இங்கே தெளிவாகும்.

படி 1 — $a^{-n}$ ஏன் $\dfrac{1}{a^n}$?

$a^5 \div a^5 = 1$ என்பது தெரியும். ஆனால் சுட்டி விதிப்படி $a^5 \div a^5 = a^{5-5} = a^0$. எனவே $a^0 = 1$ — இது விதியிலிருந்தே வருகிறது, நாம் மனப்பாடம் செய்யும்படி சொல்லவில்லை.

இப்போது $a^3 \div a^5$ எடுங்கள். நேரடியாக எழுதினால்: $$\frac{a^3}{a^5} = \frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a^2}.$$ ஆனால் விதிப்படி: $a^3 \div a^5 = a^{3-5} = a^{-2}$. இரண்டும் சரியாக இருக்க வேண்டும் என்றால் $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ என்றுதான் இருக்க வேண்டும். மறை சுட்டி என்பது "தலைகீழாக மாற்று" — அவ்வளவே.

படி 2 — $a^{1/n}$ ஏன் $\sqrt[n]{a}$?

"வலுவின் வலு" விதி நினைவிருக்கிறதா? $(a^m)^n = a^{mn}$. இதை $a^{1/2}$ க்குப் பயன்படுத்துங்கள்: $$(a^{1/2})^2 = a^{1/2 \times 2} = a^1 = a.$$ $a^{1/2}$ ஐ இருமுறை தன்னோடு பெருக்கினால் $a$ கிடைக்கிறது. அதாவது $a^{1/2}$ என்பது $a$ வின் வர்க்கமூலம் தான்: $a^{1/2} = \sqrt{a}$.

அதேபோல் $(a^{1/3})^3 = a^1 = a$ — மூன்றாம் மூலம்: $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. பகுதி (denominator) $n$ என்பது "$n$ ஆம் மூலம்" என்று பொருள்.

படி 3 — $a^{m/n}$ = மூலம் மற்றும் வலு

இப்போது இரண்டையும் இணைக்கலாம்: $a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]{a})^m$. வேண்டுமென்றால் மாற்றியும் எழுதலாம்: $a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$. இரண்டும் சரிதான் — எது கணக்கிட எளிதோ அதை எடுங்கள்.

நினைவிருக்கட்டும் $a^{m/n}$ இல் — பகுதி $n$ = மூலம்; தொகுதி $m$ = வலு. அகரவரிசையில் D (denominator) → R (root) — root க்குப் பிறகுதான் power என்பதை நினைவுகூறுங்கள்.

எ.கா 1: $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.

எ.கா 2: $(\sqrt{25})^{-2} = (25^{1/2})^{-2} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$.

முதலில் வர்க்கமூலம் (25→5), பிறகு மறை சுட்டி (5²→25, தலைகீழ்).

எ.கா 3: $\sqrt[3]{3\tfrac{3}{8}} = \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} = \dfrac{3}{2}$.

$\dfrac{27}{8} = \dfrac{3^3}{2^3}$ என்றதால் மூன்றாம் மூலம் $= \dfrac{3}{2}$.

எ.கா 4: $\left(\dfrac{27}{125}\right)^{2/3} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.

பகுதி 3 = மூலம்: $\dfrac{27}{125} \to \dfrac{3}{5}$. தொகுதி 2 = வலு: $\to \dfrac{9}{25}$.

எ.கா 5: $(0.125)^{2/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$.

படி 4 — சுட்டிகளுடன் சுருக்கல்

சுட்டி விதிகளை பின்ன/மறை சுட்டிகளுக்கும் அப்படியே பயன்படுத்தலாம். தொகுதியிலோ பகுதியிலோ மறை சுட்டி இருந்தால், அதை மாற்றி எழுதினால் சுருக்கமாகிறது.

$(\sqrt{x})^3 = (x^{1/2})^3 = x^{3/2}$.

$(\sqrt[3]{a})^{-1/2} = (a^{1/3})^{-1/2} = a^{-1/6} = \dfrac{1}{a^{1/6}}$.

$\dfrac{1}{\sqrt{x^{-3}}} = (x^{-3})^{-1/2} = x^{3/2}$.

மறை மறை = நேர்: $-3 \times -\tfrac{1}{2} = +\tfrac{3}{2}$.

சுட்டி விதிகள் — சுருக்கக் குறிப்பு $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ • $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ • $(a^m)^n = a^{mn}$
$a^0 = 1$ • $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ • $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ • $a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m$

படி 5 — மடக்கை (logarithm) — சுட்டியின் நேர்மாறு

ஒரு கணக்கு கற்பனை செய்யுங்கள்: $2^? = 32$. விடை $5$ என்று தெரியும், ஏனென்றால் $2^5 = 32$. ஆனால் $10^? = 500$ என்றால்? விடை இந்த முறை நேரடியாகத் தெரியாது.

மடக்கை இதற்கான கேள்வியை முறையாக எழுத வழிதருகிறது: $$10^x = 500 \implies x = \log_{10} 500.$$ "$\log_{10} 500$" என்றால் "10 ஐ எத்தனை மடங்கு உயர்த்தினால் 500 கிடைக்கும்?" என்று மட்டுமே பொருள். முன்னோக்கு (forward): $a^x = N$. பின்னோக்கு (reverse): $\log_a N = x$. இரண்டும் ஒரே உறவை வேறு வேறு திசையில் காட்டுகின்றன.

சுட்டி ↔ மடக்கை மாற்றம் $$a^x = N \;\Longleftrightarrow\; \log_a N = x \qquad (a>0,\; a\neq 1,\; N>0)$$ $\lg = \log_{10}$ (பொதுவான மடக்கை)

படி 6 — மடக்கை விதிகள் எங்கிருந்து வருகின்றன?

மடக்கை விதிகள் மனப்பாடமல்ல — சுட்டி விதிகளிலிருந்தே வருகின்றன. $\log_a M = x$ என்றால் $a^x = M$; $\log_a N = y$ என்றால் $a^y = N$. அப்போது $MN = a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, எனவே $\log_a(MN) = x+y = \log_a M + \log_a N$. கூட்டல் விதி சுட்டியின் கூட்டல் விதியிலிருந்தே வந்தது. மற்ற விதிகளும் அதேதான்.

மடக்கை விதிகள் $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
$\log_a\!\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
$\log_a M^n = n\,\log_a M$
$\log_a a = 1$ • $\log_a 1 = 0$

எ.கா 1: $\lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \times 4) = \lg 100 = 2$.

$100 = 10^2$, எனவே $\log_{10} 100 = 2$.

எ.கா 2: $\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2\dfrac{8}{4} = \log_2 2 = 1$.

எ.கா 3: $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\log_3 3 = 4 \times 1 = 4$.

எ.கா 4: $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \tfrac{1}{2}$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $a^{m/n}$: பகுதி $=$ மூலம், தொகுதி $=$ வலு — தலைகீழ் மாற்றாதீர்கள்.
(2) $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — மறை சுட்டி, மறை எண் அல்ல ($a^{-2} \neq -a^2$).
(3) $(a+b)^n \neq a^n + b^n$ — விதிரித்துப் பெருக்குவது தனிக்கோவைகளுக்கு மட்டுமே.
(4) $\log(M+N) \neq \log M + \log N$ — கூட்டலுக்கு மடக்கை விதி இல்லை.
(5) $\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$ — இவற்றை சுட்டியிலிருந்தே நினைவுகூருங்கள்: $a^1=a$, $a^0=1$.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சுருக்குக: $5a \times a^2$.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

பெறுமானத்தைக் காண்க: $2^{-1}$.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

சுட்டி விதிகள்: $a^m a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
$a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$, $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.
மடக்கை: $a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$.
$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$, $\log_a M^n = n\log_a M$.
$\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

மதிப்பீடு: $\sqrt[3]{27}=3$, $(\sqrt{25})^{-2}=\tfrac{1}{25}$, $\left(\tfrac{27}{125}\right)^{2/3}=\tfrac{9}{25}$.
நேர்ச் சுட்டி: $(\sqrt{x})^3=x^{3/2}$, $(\sqrt[3]{a})^{-1/2}=\tfrac{1}{a^{1/6}}$.
தசம: $(0.125)^{2/3}=\tfrac14$, $(0.81)^{1/2}=0.9$, $\sqrt[6]{\tfrac{1}{64}}=\tfrac12$.
மடக்கை: $\lg25+\lg4=2$, $\log_3 81=4$, $\log_5\sqrt5=\tfrac12$.
சுட்டிச் சமன்பாடு: $4^x=8 \Rightarrow 2^{2x}=2^3 \Rightarrow x=\tfrac32$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

கலப்பு: $\left(\tfrac{4}{25}\right)^{1/2}\!\times\!\left(\tfrac34\right)^{-1}\!\times2^0 = \tfrac{8}{15}$.
சுருக்கல்: $\sqrt{\tfrac{4a^{-2}}{9x^2}} = \tfrac{2}{3ax}$.
மடக்கை: $\log_a 45 = 2\log_a 3 + \log_a 5$ ($45=3^2\cdot5$).
எச்சரிக்கை: $(a+b)^n \neq a^n+b^n$; $\log(M+N)\neq\log M+\log N$.

📝 மேலும் பயிற்சி