1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 3 · P1

சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் II

Indices and logarithms II

★★★★★ சுட்டிமடக்கைசமன்பாடு

கணிப்பான் வருவதற்கு முன்பு, விஞ்ஞானிகள் $0.005432 \times 87.6$ போன்ற பெரிய பெருக்கல்களை எப்படிச் செய்தார்கள்? பெருக்கலை நேரடியாகச் செய்யாமல், மடக்கை எடுத்து கூட்டினார்கள் — ஏனென்றால் $\lg(M \times N) = \lg M + \lg N$. கூட்டல் எப்போதும் பெருக்கலை விட எளிது. ஆனால் $0.005432$ போன்ற $1$ இலும் சிறிய எண்களின் மடக்கை மறை — அதை அட்டவணையில் எப்படிக் கையாள்வது? அதற்காகவே பட்டை (bar) குறியீடு.

படி 1 — சிறப்பியல்பும் தசமக்கூறும்

$\lg 5.432 = 0.7350$ என்று அட்டவணை தருகிறது. இப்போது $5.432 \times 10^{-1} = 0.5432$ என்பதை எடுங்கள்: $$\lg 0.5432 = \lg(5.432 \times 10^{-1}) = \lg 5.432 + \lg 10^{-1} = 0.7350 + (-1) = -0.2650.$$

ஆனால் இந்த $-0.2650$ ஐ அப்படியே அட்டவணையில் தேட முடியாது — அட்டவணை நேர் தசமக்கூறுகளுக்கே வேலை செய்கிறது. எனவே ஒரு புத்திசாலி யுக்தி: சிறப்பியல்பை (integer part) மட்டும் மறையாக எழுது; தசமக்கூறை (mantissa) எப்போதும் நேராக வை.

$\lg 0.5432 = -1 + 0.7350$ — இதை $\bar{1}.7350$ என்று எழுதுகிறோம். $\bar{1}$ என்பது "மறை ஒன்று" மட்டுமே; $.7350$ நேர். இப்போது அட்டவணையில் $.7350$ ஐ தேட முடியும் — இலக்கங்கள் $5432$ கிடைக்கும்; சிறப்பியல்பு $\bar{1}$ கொடுக்கும் புள்ளியின் இடம்.

எண்	விஞ்ஞான முறை	$\lg$ (பட்டை வடிவம்)
$5.432$	$5.432 \times 10^0$	$0.7350$
$0.5432$	$5.432 \times 10^{-1}$	$\bar{1}.7350$
$0.05432$	$5.432 \times 10^{-2}$	$\bar{2}.7350$
$0.005432$	$5.432 \times 10^{-3}$	$\bar{3}.7350$

கவனிக்கவும்: இலக்கங்கள் $5432$ மாறவில்லை — தசமக்கூறு $0.7350$ அப்படியே இருக்கிறது. சிறப்பியல்பு மட்டுமே மாறுகிறது. புள்ளிக்குப் பின் எத்தனை பூச்சியம் இருந்தாலும் $+1$ கூட்டி சிறப்பியல்பு காணலாம்.

மறை சிறப்பியல்பு கண்டுபிடிக்கும் வழி $0 < x < 1$ ஆனால்: புள்ளிக்குப் பின் முதல் பூச்சியமற்ற இலக்கம் வரும் இடம் $= n$ என்றால், சிறப்பியல்பு $= \bar{n}$.
$0.5…$ → பூச்சியம் இல்லை → சிறப்பியல்பு $\bar{1}$.
$0.05…$ → ஒரு பூச்சியம் → சிறப்பியல்பு $\bar{2}$.

படி 2 — முறன்மடக்கை (antilog) — பட்டை வடிவத்திலிருந்து எண் காண்க

$\lg x = \bar{1}.7350$ என்றால் $x$ என்ன? நேர்மாறாக அட்டவணையில் தசமக்கூறு $0.7350$ தேட $5432$ கிடைக்கிறது. சிறப்பியல்பு $\bar{1}$ என்றால் "புள்ளிக்குப் பின் பூச்சியம் இல்லாமல் இலக்கங்கள்" → $x = 0.5432$.

$\text{antilog}\,\bar{1}.7350 = 0.5432$.

சிறப்பியல்பு $\bar{1}$: புள்ளிக்குப் பின் உடனே இலக்கம் (பூச்சியம் இல்லை).

$\text{antilog}\,\bar{3}.7350 = 0.005432$.

சிறப்பியல்பு $\bar{3}$: புள்ளிக்குப் பின் $2$ பூச்சியம் ($n-1 = 3-1 = 2$), பின் இலக்கங்கள்.

படி 3 — பட்டை சேர்க்கை (bar log arithmetic)

பட்டை சிறப்பியல்புகளை சேர்க்கும்போது கவனமாக இருக்க வேண்டும். தசமக்கூறுகளை முதலில் கூட்டுங்கள்; $1$ அல்லது அதிகம் கடந்தால் ஒன்றை "கொண்டுசெல்" என்று எடுங்கள் — ஆனால் இந்த கொண்டுசெல் நேர், எனவே மறை சிறப்பியல்புகளிலிருந்து கழிக்காமல் கூட்டவும்.

$\bar{1}.7350 + \bar{1}.7350$: தசமம் $0.7350 + 0.7350 = 1.4700$ → கொண்டுசெல் $1$, தசமம் $0.4700$. சிறப்பியல்பு: $(-1) + (-1) + 1\text{(கொண்டுசெல்)} = -1$ → $\bar{1}.4700$. விடை: $\text{antilog}\,\bar{1}.4700 = 0.2951$.

$0.5432 \times 0.5432 = 0.2951$ என்று நேரடியாகச் சரிபார்க்கலாம்.

$\bar{2}.7350 - \bar{1}.4200$: $= (-2 + 0.7350) - (-1 + 0.4200) = (-2+1) + (0.7350-0.4200) = \bar{1}.3150$.

கழித்தலில் சிறப்பியல்புகளை தனியே, தசமக்கூறுகளை தனியே கையாளுங்கள்.

படி 4 — விஞ்ஞானக் கணிப்பான்

இன்று கணிப்பான் உள்ளது — மடக்கை அட்டவணை தேவையில்லை. ஆனால் விதிகளும் கருத்துகளும் அவசியம்; கணிப்பான் கொடுக்கும் விடையைப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும். முக்கிய சாவிகளை அறிந்து வையுங்கள்:

⭐ கணிப்பான் சாவிகள் $\boxed{\log}$ — பொதுவான மடக்கை $(\log_{10})$ • $\boxed{\ln}$ — இயற்கை மடக்கை $(\log_e)$ • $\boxed{x^y}$ அல்லது $\boxed{\wedge}$ — வலு • $\boxed{\sqrt{\ }}$ — வர்க்கமூலம் • $\boxed{x^{-1}}$ — தலைகீழ்.
எ.கா: $2^{10}$: $2\ \boxed{x^y}\ 10\ \boxed{=}$ → $1024$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $\bar{2}.3725 = -2 + 0.3725$ — தசமக்கூறு எப்போதும் நேர்; முழுவதும் $-2.3725$ அல்ல.
(2) பட்டை கூட்டலில் தசமக்கூறிலிருந்து வரும் கொண்டுசெல் ($+1$) சிறப்பியல்புக்கு கூட்டவும் — கழிக்காதீர்கள்.
(3) $\bar{n}$ சிறப்பியல்பு: antilog எடுக்கும்போது புள்ளிக்குப் பின் $(n-1)$ பூச்சியம், பின் இலக்கங்கள்.
(4) கணிப்பான் $\log$ சாவி $\log_{10}$ மட்டுமே; $\ln$ வேறு.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

சுருக்குக: $\log_3 9$.

2016 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

அடுக்கு (கட்டு) வடிவில் காட்டுக: $\log_2 16 = 4$.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$26.3 = 10^{1.42}$ ஆகும். $\lg 26.3$ இன் பெறுமானம் யாது?

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$\log_2 a = 5$ எனின், $a$ இன் பெறுமானத்தை $2$ இன் ஒரு வலுவாக எழுதுக.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$\log_a b = c$ எனின் சரியான கூற்று எது? (i) $c^a = b$ (ii) $a^c = b$ (iii) $b^c = a$ (iv) $a^b = c$

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

மடக்கை $=$ சிறப்பியல்பு $+$ தசமக்கூறு. தசமக்கூறு எப்போதும் நேர்.
$1$ இலும் குறைந்த எண்: சிறப்பியல்பு மறை, பட்டை ($\bar{1}, \bar{2}$) குறியீட்டில்.
$0 < x < 1$: சிறப்பியல்பு $= -(\text{புள்ளிக்குப் பின் பூச்சியங்கள்}) - 1$.
பட்டை $\bar{n}.mmmm = -n + 0.mmmm$.
விதிகள்: $\lg(MN)=\lg M+\lg N$, $\lg M^n = n\lg M$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$\lg 5.432 = 0.7350 \Rightarrow \lg 0.5432 = \bar{1}.7350$, $\lg 0.05432 = \bar{2}.7350$.
$\bar{2}.3725 = -2+0.3725 = -1.6275$.
பெருக்கல்: $0.4\times0.5$: $\bar{1}.6021+\bar{1}.6990 = \bar{1}.3011 \Rightarrow 0.2$.
வகுத்தல்: $\dfrac{0.5432}{0.05432}$: $\bar{1}.7350-\bar{2}.7350 = 1.0000 \Rightarrow 10$.
கணிப்பான்: $2^{10}=1024$, $\sqrt[3]{343}=7$, $\sqrt{225}=15$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

பட்டை சேர்க்கை: தசமக்கூறிலிருந்து வரும் கொண்டுசெல்லை சிறப்பியல்புக்கு சேர்.
$\lg 0.72$: $\lg 72 = 3\lg2+2\lg3 = 1.8572 \Rightarrow \lg 0.72 = \bar{1}.8572$.
வலுச் சமன்பாடு: $3^x=81 \Rightarrow x=4$; $2^{x+1}=16 \Rightarrow x=3$.
எச்சரிக்கை: பட்டையில் சிறப்பியல்பு மட்டும் மறை; தசமக்கூறு நேர்.

📝 மேலும் பயிற்சி