1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 19 · P3

தாயங்கள்

Matrices — order, types, equality, add/subtract, scalar & matrix multiplication

★★★★☆ தாயம்matrixநிரைநிரல்வரிசை

இரண்டு கடைகளில் மூன்று பொருட்களின் மாத விற்பனை: கடை $A$-யில் $75, 72, 63$ யூனிட்; கடை $B$-யில் $66, 70, 81$ யூனிட். இந்த $6$ எண்களை ஒரு அட்டவணையாக எழுதிவிட்டோம் — இதுவே தாயம் (matrix). தாயம் என்பது வெறும் அட்டவணை அல்ல: இரு தாயங்களை கூட்டலாம், பெருக்கலாம் — ஒரே கணக்கில் ஒரே நேரத்தில் பல தரவுகளுக்கு விடை கிடைக்கும். விளையாட்டு புள்ளி அட்டவணை, போக்குவரத்து வரைபடம், $AI$ படம் அலசல் — எல்லாம் தாயங்கள் தான்.

படி 1 — தாயத்தின் கட்டமைப்பு

எண்களை கிடைமட்டமாக நிரைகளிலும் (rows) செங்குத்தாக நிரல்களிலும் (columns) அடுக்கி ஓர் அடைப்பில் வைத்தால் தாயம். வரிசை (order) = நிரைகளின் எண்ணிக்கை $\times$ நிரல்களின் எண்ணிக்கை — எப்போதும் நிரை முதலில். கடை உதாரணத்தில் $2$ நிரை ($2$ கடை), $3$ நிரல் ($3$ பொருள்) → வரிசை $2 \times 3$.

$2 \times 3$ தாயம்: $2$ நிரை, $3$ நிரல்

$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ — $3$ நிரை, $2$ நிரல் → வரிசை $3 \times 2$.

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ — வரிசை $3 \times 1$ (நிரல் தாயம்). $\begin{pmatrix} 2 & c \\ a & b \end{pmatrix}$ — வரிசை $2 \times 2$ (சதுரத் தாயம்).

படி 2 — தாயங்களின் வகைகள்

வகை	விளக்கம்	எடுத்துக்காட்டு
நிரைத் தாயம்	ஒரே ஒரு நிரை ($1 \times n$)	$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$
நிரல் தாயம்	ஒரே ஒரு நிரல் ($m \times 1$)	$\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
சதுரத் தாயம்	நிரை $=$ நிரல் ($n \times n$)	$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
அலகுத் தாயம் $I$	மூலை $1$கள், ஏனைவை $0$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
சுழியத் தாயம்	எல்லா உறுப்பும் $0$	$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

படி 3 — சமத்துவம், கூட்டல், கழித்தல்

இரு தாயங்கள் சமம் என்றால் வரிசை ஒன்றே ஆக இருக்கவேண்டும்; மேலும் ஒத்த இடங்களில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் சமம். கூட்டல்/கழித்தலும் இதே விதி: ஒரே வரிசை இருந்தால் மட்டுமே சாத்தியம்; ஒத்த இடம்-இடமாக கூட்டு அல்லது கழி.

சமத்துவம்: $\begin{pmatrix} a & 3 \\ 10 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & b \\ c & 9 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow a=2,\; b=3,\; c=10,\; d=9$.

கூட்டல்: $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$.

எண்ணால் பெருக்கல்: ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அந்த எண்ணால் பெருக்கு. $5\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 5 \\ -10 & 40 \end{pmatrix}$.

படி 4 — தாயங்களின் பெருக்கல்

தாயப் பெருக்கல் சற்று வித்தியாசமானது — ஒத்த இடம்-இடமாக பெருக்குவதில்லை. $A \times B$ கணக்கிட: $A$ இன் ஒரு நிரையை $B$ இன் ஒரு நிரலுடன் இணைக்கிறோம் — ஒத்த உறுப்புகளை பெருக்கிக் கூட்டுகிறோம். இதற்கு ஒரு நிபந்தனை: $A$ இன் நிரல் எண்ணிக்கை = $B$ இன் நிரை எண்ணிக்கை.

பொருந்தும் நிபந்தனை $A$ ($m \times k$), $B$ ($k \times n$) $\Rightarrow$ $AB$ ($m \times n$) சாத்தியம்.

$\begin{pmatrix} 5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 5{\times}3 + 2{\times}1 = 17$.

$1\times2$ பெருக்கல் $2\times1$ → முடிவு $1\times1$ (ஒரே எண்).

$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$: முடிவு $(1,1)$ = $2{\cdot}1+4{\cdot}6=26$; $(1,2)$ = $2{\cdot}8+4{\cdot}7=44$; $(2,1)$ = $3{\cdot}1+5{\cdot}6=33$; $(2,2)$ = $3{\cdot}8+5{\cdot}7=59$. $= \begin{pmatrix} 26 & 44 \\ 33 & 59 \end{pmatrix}$.

வரிசை சோதனை: $X$ ($2\times2$), $Y$ ($2\times1$) → $XY$ உள்ளது ($2\times1$). ஆனால் $YX$ ($1 \ne 2$) → பொருந்தாது.

⭐ $AB \ne BA$ — முக்கியமான வித்தியாசம் எண்களில் $3 \times 5 = 5 \times 3$. ஆனால் தாயங்களில் $AB \ne BA$ பொதுவாக. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, ஆனால் தலைகீழாக பெருக்க வேறொரு விடை வரும். வரிசை மாற்றினால் பதில் மாறும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) வரிசை = நிரை $\times$ நிரல் — மாற்றி எழுதாதீர்கள்.
(2) கூட்டல்/கழித்தல்: ஒரே வரிசை இருக்கவேண்டும்; வேறு வரிசையாக இருந்தால் சாத்தியமில்லை.
(3) பெருக்கலில் $AB$ சாத்தியம் என்றாலும் $BA$ சாத்தியமில்லாமல் போகலாம்.
(4) எண்ணால் பெருக்க ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்கவும் — ஒரு உறுப்பை மட்டும் பெருக்காதீர்கள்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$x, y$ காண்க: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \ 0 \end{pmatrix}$.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \ -6 & 3 \end{pmatrix}$ எனின் $x, y$ காண்க.

2019 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & x \ -4 & 3 \end{pmatrix}$ எனின் $x$ காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

தாயம் = எண்களை நிரை–நிரல்களாக அடைப்புக்குள் அடுக்கியது.
வரிசை $=$ நிரை $\times$ நிரல் (நிரை முதலில்).
நிரைத் தாயம் $1 \times n$; நிரல் தாயம் $m \times 1$; சதுரத் தாயம் $n \times n$.
அலகுத் தாயம் $I$: மூலை $1$, ஏனைவை $0$. சுழியம்: எல்லாம் $0$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

கூட்டல்/கழித்தல்: ஒரே வரிசை இருந்தால் மட்டுமே; ஒத்த உறுப்புகளைச் செய்.
சமனாதல்: ஒரே வரிசை + ஒத்த உறுப்புகள் சமம்.
எ.கா. $\begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 6 \ 3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \ 5 & 9 \end{pmatrix}$.
$\begin{pmatrix} a & 3 \ 10 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & b \ c & 9 \end{pmatrix} \Rightarrow a{=}2, b{=}3, c{=}10, d{=}9$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

எண்ணால் பெருக்கல்: ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்கு. $3\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \ 0 & 12 \end{pmatrix}$.
தாயப் பெருக்கல்: $A$ நிரல் $= B$ நிரை எனின் சாத்தியம்; வரிசை $= A$நிரை $\times B$நிரல். நிரை$\times$நிரல்.
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 8 \ 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 & 44 \ 33 & 59 \end{pmatrix}$. $AB \ne BA$.
எச்சரிக்கை: கூட்ட/சமனாக ஒரே வரிசை; ஒத்த உறுப்பு மட்டும். வரிசையை மாற்றாதே.

📝 மேலும் பயிற்சி