📚 கற்றல் முதன்மை க.பொ.த. (சா/த) க.பொ.த. (உ/த) பிற 🌐 English உள்நுழைய
சா/த · கணிதம் · தரம் 11 · அலகு 18
1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 18 · P3

திரிகோணகணிதம்

Trigonometry — ratios, angles of elevation/depression
★★★★★ திரிகோணகணிதம்sincostan

உங்கள் வீட்டு முன்னால் ஒரு தென்னை மரம் இருக்கிறது. அதன் உயரத்தை அளவிட வேண்டும் — ஆனால் ஏறுவது சாத்தியமில்லை. ஒரு கோணமானி (protractor) மட்டும் இருந்தால் போதும்: $30$ m தூரத்திலிருந்து பார்க்கும்போது மேல் நுனிக்கு கோணம் $30°$ என்று தெரிந்தால், உயரம் $= 30 \times \tan 30° = 10\sqrt{3} \approx 17.3$ m. இப்படி கோணம் + தூரம் → உயரம் என்று கணக்கிட உதவுவதே திரிகோணகணிதம். சைன், கோசைன், தான்சன் (sin, cos, tan) என்பவை செங்கோண முக்கோணியில் ஒரு கோணத்திற்கும் அதன் பக்கங்கள் விகிதத்திற்கும் உள்ள அழகான உறவு.

படி 1 — பக்கங்களை பெயரிடல்

செங்கோண முக்கோணியில் ஒரு கூர்க்கோணம் $\theta$ ஐ தேர்வு செய்கிறோம். அந்தக் கோணத்திலிருந்து பார்க்கும்போது மூன்று பக்கங்களும் வேவ்வேறு பாத்திரம் வகிக்கின்றன. செம்பக்கம் (hypotenuse) எப்போதும் செங்கோணத்துக்கு எதிரே உள்ள மிகப்பெரிய பக்கம். எதிர்ப் பக்கம் (opposite) என்பது $\theta$ ஐ எதிர்த்திருக்கும் பக்கம். அயற் பக்கம் (adjacent) என்பது $\theta$ க்கு ஒட்டிய ஆனால் செம்பக்கம் அல்லாத பக்கம்.

θ எதிர் அயல் செம்பக்கம் $\theta$ ஐ மாற்றினால் "எதிர்" மற்றும் "அயல்" பக்கங்களும் மாறும் — செம்பக்கம் மட்டும் நிலையானது.
மூன்று விகிதங்கள் — SOH CAH TOA $\sin\theta = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{செம்பக்கம்}}$  •  $\cos\theta = \dfrac{\text{அயல்}}{\text{செம்பக்கம்}}$  •  $\tan\theta = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$

முக்கியமான புரிதல்: இந்த விகிதங்கள் முக்கோணியின் அளவைப் பொறுத்ததில்லை — கோணத்தைப் பொறுத்தது மட்டுமே. $3$-$4$-$5$ முக்கோணியும் $6$-$8$-$10$ முக்கோணியும் அதே $\theta$ ஐ கொண்டால், $\sin\theta$ இரண்டிலும் ஒன்றே: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0.6$. அதனால்தான் "தூரம் தெரிந்தால் உயரம் காணலாம்" என்ற அற்புதம் சாத்தியம்.

$3, 4, 5$ முக்கோணி ($\theta$ க்கு எதிர் $3$, அயல் $4$): $\sin\theta = \tfrac{3}{5}$, $\cos\theta = \tfrac{4}{5}$, $\tan\theta = \tfrac{3}{4}$.
$5, 12, 13$ முக்கோணி ($\theta$ க்கு எதிர் $5$): $\sin\theta = \tfrac{5}{13}$, $\cos\theta = \tfrac{12}{13}$, $\tan\theta = \tfrac{5}{12}$.

படி 2 — விசேட கோணங்கள்

$30°, 45°, 60°$ ஆகியவற்றிற்கு விகிதங்கள் நேர்த்தியான வடிவத்தில் கிடைக்கின்றன. $45°$ எளிது: சமபக்க செங்கோண முக்கோணியில் இரு பக்கங்கள் $1, 1$ — செம்பக்கம் $\sqrt{2}$ → $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. $30°/60°$: சமபக்க முக்கோணியை இரண்டாக பிரித்தால் பக்கங்கள் $2, 1, \sqrt{3}$ → $\sin 30° = \tfrac{1}{2}$, $\cos 30° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\theta$$\sin\theta$$\cos\theta$$\tan\theta$
$30°$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$1$
$60°$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$\sqrt{3}$

படி 3 — தெரிந்த கோணத்திலிருந்து பக்கம் காணல்

செம்பக்கம் $10$, $\theta = 30°$: எதிர் $= 10 \times \sin 30° = 10 \times \tfrac{1}{2} = 5$; அயல் $= 10 \times \cos 30° = 10 \times \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.
அயல் $= 8$, $\theta = 45°$: எதிர் $= 8 \times \tan 45° = 8 \times 1 = 8$.
$\tan\theta = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$ → எதிர் $= $ அயல் $\times \tan\theta$.

படி 4 — ஏற்றக் & இறக்கக் கோணங்கள்

ஏற்றம் / இறக்கம் ஏற்றக் கோணம் (angle of elevation): கிடைமட்டத்திலிருந்து மேலே பார்க்கும் கோணம்.
இறக்கக் கோணம் (angle of depression): கிடைமட்டத்திலிருந்து கீழே பார்க்கும் கோணம்.
$30$ m தூரத்திலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சிக்கு ஏற்றக் கோணம் $30°$: $\tan 30° = \dfrac{h}{30} \Rightarrow h = 30 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \approx 17.3$ m.
ஒரு கோபுர உச்சியிலிருந்து கீழே ஒரு படகை பார்க்கும்போது இறக்கக் கோணம் $45°$. கோபுர உயரம் $50$ m: $\tan 45° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = 50$ m.
ஏகாந்திர கோணங்கள் (alternate angles) படி இறக்கக் கோணம் = முக்கோணியின் உள்ளே $\tan$ கோணம் — இரண்டும் சமம்.
⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) எதிர்/அயல் கோணத்தைப் பொறுத்து மாறும் — $\theta$ எங்கே என்று முதலில் உறுதிப்படுத்துங்கள்.
(2) SOH → sin, CAH → cos, TOA → tan; தேவையான பக்கங்கள் எவை என்று பார்த்து சரியான விகிதம் தேர்க.
(3) கணிப்பானில் degree mode (DEG) இருக்கிறதா என்று சோதியுங்கள் — radian mode தவறான விடை தரும்.
(4) ஏற்றம்/இறக்கம் கிடைமட்டத்திலிருந்து அளக்கப்படும் — செங்குத்திலிருந்து அல்ல.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2017 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)
  • முக்கோணி $ABC$ இல் ($\angle B = 90°$) $\tan\theta = \dfrac{3}{4}$ ($\theta$ உச்சி $C$ இல்), $BC = 8$ cm. $AB$ இன் நீளத்தைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

  • SOH-CAH-TOA: $\sin = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{செம்}}$, $\cos = \dfrac{\text{அயல்}}{\text{செம்}}$, $\tan = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$.
  • எதிர்/அயல் கோணத்தைப் பொறுத்து மாறும்.
  • $\sin30°=\tfrac12$, $\cos30°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan30°=\tfrac{1}{\sqrt3}$.
  • $\sin45°=\cos45°=\tfrac{1}{\sqrt2}$, $\tan45°=1$.
  • $\sin60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos60°=\tfrac12$, $\tan60°=\sqrt3$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

  • $3,4,5$: $\sin\theta=\tfrac35$, $\cos\theta=\tfrac45$, $\tan\theta=\tfrac34$.
  • பக்கம்: செம்$10$, $30°$ → எதிர் $5$, அயல் $5\sqrt3$.
  • ஏற்றம்: உயரம் $= $ தூரம் $\times \tan(\text{கோணம்})$. $30$ m, $30°$ → $10\sqrt3$.
  • ஏணி: உயரம் $= \ell\sin\theta$, தூரம் $= \ell\cos\theta$.
  • பட்டம்: உயரம் $= $ நூல் $\times \sin\theta$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

  • விகிதம் காண: $\sin\theta=\tfrac35 \Rightarrow$ அயல் $=4 \Rightarrow \cos=\tfrac45$.
  • அடையாளம்: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
  • இறக்கம் = ஏற்றம் (ஒன்றுவிட்ட கோணம்).
  • எச்சரிக்கை: எதிர்/அயல் கோணத்தைப் பொறுத்து; கணிப்பான் degree முறை.
📝 மேலும் பயிற்சி