1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 24 · P3

தொடைகள்

Sets — Venn diagrams, set operations, counting

★★★★☆ தொடைsetsவென்நிரப்பி

வகுப்பில் $30$ பேர் படிக்கிறார்கள். $18$ பேர் தமிழ் எடுத்திருக்கிறார்கள்; $14$ பேர் கணிதம்; $6$ பேர் இரண்டையும். "$18 + 14 = 32$, ஆனால் வகுப்பில் $30$ பேரே இருக்கிறார்களே?" — இரட்டை எண்ணல் நடந்துவிட்டது: $6$ பேரை இரு முறை சேர்த்தோம். $18 + 14 - 6 = 26$ தான் சரி. இந்த கழித்தல் தேவையை வென் வரிப்படம் (Venn diagram) ஒரு பார்வையில் காட்டுகிறது. தொடைகள் (sets) என்பவை உறுப்புகளின் தொகுப்புகள்; $\cup, \cap, '$ குறியீடுகளால் இவற்றை கூட்டலாம், பிரிக்கலாம்.

படி 1 — அடிப்படைக் குறியீடுகள்

குறியீடு	படிக்கப்படுவது	பொருள்
$A \cup B$	$A$ ஒன்றிப்பு $B$	$A$ அல்லது $B$ (அல்லது இரண்டும்)
$A \cap B$	$A$ வெட்டு $B$	$A$ உம் $B$ உம் (இரண்டிலும்)
$A'$	$A$ நிரப்பி	$\varepsilon$ இல் உள்ள, $A$ இல் இல்லாதவை
$\varepsilon$	செம்மைத் தொடை	எல்லாவற்றையும் உள்ளடக்கிய மொத்த தொடை

படி 2 — இரு தொடை வென் வரிப்படம்

நடுப் பகுதி $= A \cap B$. "$A$ மட்டும்" $= n(A) - n(A \cap B)$

கூட்டு விதி (முக்கியம்) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A) = 18$, $n(B) = 14$, $n(A \cap B) = 6$: $n(A \cup B) = 18 + 14 - 6 = 26$. எதுவுமில்லை $= 30 - 26 = 4$.

"$A$ மட்டும்" $= 18 - 6 = 12$. "$B$ மட்டும்" $= 14 - 6 = 8$. சரிபார்: $12 + 6 + 8 + 4 = 30$ ✓.

படி 3 — மூன்று தொடைப் பிரதேசங்கள்

மூன்று தொடைகள் $A, B, C$ ஒன்றையொன்று வெட்டினால் $8$ பிரதேசங்கள் உருவாகும். வென் வரிப்படத்தில் நடுவிலிருந்து வெளியே நிரப்புவதே சரியான முறை: முதலில் $A \cap B \cap C$, பின் இரட்டை வெட்டுகள்($A \cap B$, $B \cap C$, $A \cap C$), பின் தனித் தொடைகள்.

$A \cap B \cap C$: மூன்றிலும் உள்ளவர்கள் — நேரடியாக மையத்தில் வை.

$A \cap B$ மட்டும் ($C$ இல்லாமல்) $= n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C)$.

தனிப்பட்ட $A$ மட்டும் $= n(A) -$ [மற்றவற்றுடன் பகிர்ந்த பகுதிகள்].

எல்லா பிரதேசங்களையும் கூட்டினால் $n(\varepsilon)$ கிடைக்கவேண்டும் — இதை சரிபார்க்கவும்.

⭐ சொற்களை கவனி "இரண்டில் ஒன்றாவது" → $\cup$ (ஒன்றிப்பு). "இரண்டுமே" → $\cap$ (வெட்டு). "எதுவும் இல்லை" → $(A \cup B)'$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$ என எழுதாதீர்கள் — $n(A \cap B)$ கழிக்க வேண்டும்.
(2) "$A$ மட்டும்" $= n(A) - n(A \cap B)$ — நிரப்பி $A'$ அல்ல.
(3) மூன்று தொடை: நடுவிலிருந்து நிரப்புங்கள் — இல்லாவிட்டால் கூட்டுத்தொகை தவறாகும்.
(4) "$A \cap B'$" $\ne$ "$A$ மட்டும்" என்று குழப்பாதீர்கள் — "$A \cap B' \cap C'$" தான் "$A$ மட்டும்" (மூன்று தொடையில்).

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

$A \cup B$ = ஒன்றிப்பு (அல்லது); $A \cap B$ = வெட்டு (இரண்டுமே); $A'$ = நிரப்பி.
$\varepsilon$ = செம்மைத் தொடை (universal set).
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
"$A$ மட்டும்" $= n(A) - n(A \cap B)$.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

எ.கா. $n(A){=}20, n(B){=}15, n(A{\cap}B){=}6 \Rightarrow n(A{\cup}B) = 29$.
எதுவுமில்லை $= n(\varepsilon) - n(A \cup B)$.
3 தொடை: $A{\cap}B{\cap}C$ = நடு; $(A{\cup}B{\cup}C)'$ = வெளி; $A{\cap}B{\cap}C'$ = $A,B$ உள் $C$ இல்லை.
3 தொடை: $n(A{\cup}B{\cup}C) = \Sigma n - \Sigma(\text{இரட்டை}) + n(\text{மூன்றும்})$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

எண் கணிப்பு நடுவிலிருந்து வெளியே நிரப்பு (மூன்றும் → இரட்டை → தனி).
எச்சரிக்கை: வெட்டை இருமுறை எண்ணாதே (அதனால் $-n(A\cap B)$).
சொல்: "ஒன்றாவது" $=\cup$; "இரண்டுமே" $=\cap$.

📝 மேலும் பயிற்சி