1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 22 · P3

தொடலிகள்

Tangents — radius perpendicular, equal tangents from external point

★★★★★ தொடலிtangentவட்டம்

ஒரு சைக்கிள் சக்கரம் சாலையில் உருளும்போது சாலை சக்கரத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடுகிறது. அந்தத் தொடு புள்ளியில் சாலை சக்கரத்தின் ஆரத்திற்கு சரியாக செங்குத்தாக அமைகிறது — ஏனென்றால் அப்படி இல்லாவிட்டால் சக்கரம் நிலை குலைந்துவிடும். இதுவே தொடலியின் முதல் தேற்றம்: தொடலி ⊥ ஆரம். மேலும் வெளியே நின்று ஒரு வட்டத்தை இரு திசைகளிலும் தொட்டால் — இரண்டு தொடலிகளும் சமம்.

படி 1 — தொடலி என்றால்?

ஒரு நேர்கோடு வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடுவது தொடலி (tangent); அந்தப் புள்ளி தொடு புள்ளி (point of contact). ஒரு நேர்கோடு வட்டத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டினால் அது வெட்டுக்கோடு (secant) — தொடலி இல்லை.

படி 2 — தேற்றம் 1: தொடலி $\perp$ ஆரம்

தொடு புள்ளி $A$ இல் தொடலி ⊥ ஆரம் $OA$

தேற்றம் 1 தொடு புள்ளியில் வரையும் ஆரம் தொடலிக்கு செங்குத்தாக ($90°$) அமையும்.

தொடு புள்ளி $B$, $\angle ABD = 90°$ (ஆரம் $\perp$ தொடலி). முக்கோணியில் $\angle BAD = 35°$ எனில்: $35° + 90° + x = 180° \Rightarrow x = 55°$.

ஆரம் $OB = 7$ cm, தொடலியின் நீளம் $PT = 24$ cm, $OP = ?$ $OB \perp PT$ → $OP^2 = OB^2 + BT^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow OP = 25$ cm.

$7$-$24$-$25$ பைதகரஸ் மும்மை — $\sqrt{}$ கணக்கிட வேண்டாம்.

படி 3 — தேற்றம் 2: வெளிப்புள்ளியின் இரு தொடலிகள் சமம்

வெளிப் புள்ளி $P$: $PA = PB$; $OP$ கோணங்களை இருசமக் கூறிடும்

ஏன் $PA = PB$? $\triangle OAP$ மற்றும் $\triangle OBP$ ஐ ஒப்பிடுவோம்: $OA = OB$ (ஆரங்கள்), $\angle OAP = \angle OBP = 90°$ (தேற்றம் 1), $OP$ பொது — ஆகவே RHS படி $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ → $PA = PB$.

தேற்றம் 2 வெளிப் புள்ளி $P$ இலிருந்து வரையும் இரு தொடலிகள் சமம்: $PA = PB$. மேலும் $OP$ கோணங்களை $\angle APO = \angle BPO$ ஆக இருசமக் கூறிடும்.

$PA = 8$ cm → $PB = 8$ cm.

$\angle APB = 60°$ → $\angle APO = \angle BPO = 30°$.

முக்கோணியின் உள்வட்டம்: ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் இரு தொடலிக் கூறுகள் சமம். $AB = 6$, $BC = 8$, $CA = 10$; $x + y = 6$, $y + z = 8$, $x + z = 10$ → $x=4, y=2, z=6$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) ஆரம் $\perp$ தொடலி — தொடு புள்ளியில் மட்டுமே; வேறு இடத்தில் இல்லை.
(2) $PA = PB$ — வெளிப் புள்ளியிலிருந்து மட்டுமே (வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளியிலிருந்து இல்லை).
(3) $\triangle OAP$ இல் $\angle OAP = 90°$ → RHS ஒருங்கிசைவு → $PA = PB$.
(4) $OP$ கோணத்தை இருசமக் கூறிடும் — கணக்கில் பயன்படுத்துங்கள்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

தொடலி = வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடும் நேர்கோடு.
தேற்றம் 1: தொடு புள்ளியில் ஆரம் $\perp$ தொடலி ($90°$).
தேற்றம் 2: வெளிப் புள்ளி $P$ இலிருந்து $PA = PB$ (இரு தொடலி சமம்).
$OP$ ஆனது $\angle APB$ ஐயும் $\angle AOB$ ஐயும் இருசமக் கூறிடும்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$\triangle OAP$: $\angle OAP = 90°$. பைதகரஸ்: $PA = \sqrt{OP^2 - OA^2}$.
எ.கா. $OA{=}5, OP{=}13 \Rightarrow PA = 12$.
நாற்பக்கல் $OAPB$: $\angle AOB + \angle APB = 180°$ (இரு $90°$ நீக்கி).
$\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ — RHS ($90°$, ஆரம் சமம், $OP$ பொது).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

உள்வட்டம்: ஒவ்வோர் உச்சியின் இரு தொடலிக் கூறு சமம் → சுற்றளவு.
$PA = PB \Rightarrow \triangle PAB$ இருசமபக்கம்.
எச்சரிக்கை: ஆரம் $\perp$ தொடலி தொடு புள்ளியில் மட்டுமே; வெட்டுக்கோடு $\ne$ தொடலி.

📝 மேலும் பயிற்சி