1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 12 · P2

வரைபுகள்

Graphs — quadratic functions, turning points

★★★★★ வரைபுஇருபடிபரவளைவு

வானில் எறிந்த ஒரு கிரிக்கெட் பந்தின் பாதை பாருங்கள் — ஒரு வளைவு, கிளம்பும்போது ஏறுகிறது, உச்சம் தொட்டு திரும்புகிறது, கீழே விழுகிறது. இந்த வளைவு பரவளைவு (parabola) — $y = ax^2 + bx + c$ இன் வரைபு. வரைபு மூன்று கேள்விகளுக்கு ஒரே நேரத்தில் விடை தருகிறது: பந்து எங்கே தரையில் விழுகிறது (மூலங்கள்)? உச்ச உயரம் என்ன (திருப்பப் புள்ளி)? எந்தப் புள்ளியிலிருந்து எறிந்தாலும் ஒரே வளைவு (சமச்சீர்)? சமன்பாட்டை தீர்க்காமலேயே படத்திலிருந்து படிக்கலாம் — அதுதான் வரைபின் சக்தி.

படி 1 — நேர்க்கோட்டு வரைபும் ஒருங்கமை சமன்பாடும்

$y = mx + c$ வரைய இரண்டு புள்ளிகள் போதும் ($x = 0$ மற்றும் $y = 0$ தருகின்றன — சுலபமான இரண்டு). இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியே அவற்றின் ஒருங்கமை சமன்பாட்டின் தீர்வு. ஏன்? அந்தப் புள்ளி இரண்டு சமன்பாடுகளையும் ஒரே நேரத்தில் திருப்தி செய்கிறது.

$y = x + 1$ மற்றும் $y = 2x - 1$: வெட்டு → $x + 1 = 2x - 1 \Rightarrow x = 2$, $y = 3$. தீர்வு $(2, 3)$.

வரைபில் கோடுகள் $(2,3)$ இல் வெட்டுகின்றன என்று தெரிந்தால் சமன்பாட்டை தீர்க்கவே தேவையில்லை.

படி 2 — இருபடி வரைபு $y = ax^2 + bx + c$

$a > 0$ என்றால் பரவளைவு ∪ வடிவம் (கிண்ணம் போல் — கீழ்நோக்கி திறந்தது; இழிவுப் புள்ளி உண்டு). $a < 0$ என்றால் ∩ வடிவம் (குவளை போல் — மேல்நோக்கி திறந்தது; உயர்வுப் புள்ளி உண்டு). வரைவதற்கு: பெறுமான அட்டவணை கணிக்கவும்; புள்ளிகளை வரையவும்; வளைவாக இணைக்கவும்.

மூலங்கள் $x=1,3$ ($y=0$); திருப்பப் புள்ளி $(2,-1)$; சமச்சீர் அச்சு $x=2$

இருபடி வரைபு — முக்கியத் தகவல் $a > 0$ → ∪ (இழிவு) • $a < 0$ → ∩ (உயர்வு)
சமச்சீர் அச்சு: $x = -\dfrac{b}{2a}$ • திருப்பப் புள்ளி: அச்சுப் புள்ளியில் $y$ பெறுமானம்
மூலங்கள்: $y = 0$ ஆக வைத்து $x$ காண் (வரைபில் $x$-அச்சை வெட்டும் இடம்)

$y = x^2 - 4x + 3$: பெறுமான அட்டவணை: $x = 0: y = 3$; $x = 1: y = 0$; $x = 2: y = -1$; $x = 3: y = 0$; $x = 4: y = 3$.

மூலங்கள்: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1, 3$. சமச்சீர் அச்சு: $x = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$. திருப்பப் புள்ளி: $(2, -1)$. இழிவுப் பெறுமானம்: $-1$.

படி 3 — வரைபிலிருந்து தீர்த்தல்

இரு வளைவுகள் அல்லது ஒரு வளைவும் ஒரு கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளை வரைபில் படிக்கலாம். வெட்டு புள்ளி = இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே $x, y$ ஐ திருப்தி செய்யும் இடம்.

$y = x^2 - 4x + 3$ மற்றும் $y = x - 1$: $x^2 - 4x + 3 = x - 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0$. தீர்வுகள்: $x = 1, 4$ → வரைபில் கோடு வளைவை $x = 1$ மற்றும் $x = 4$ இல் வெட்டும்.

$y = k$ கோட்டினால்: $y = x^2 - 4x + 3$ வரைபில் $y = 0$ கோடு ($x$-அச்சு) இரடை வெட்டுகிறது → $x = 1, 3$ மூலங்கள். $y = -1$ கோடு ஒரு புள்ளியில் தொடுகிறது → ஒரே மூலம் (திருப்பப் புள்ளி). $y = -2$ வெட்டவே இல்லை → மூலங்கள் இல்லை.

வரைபு மூலங்களின் எண்ணிக்கையை (0, 1, 2) காட்டுகிறது — விவேகி (discriminant) சொல்வதே இதை.

⭐ வரைபு = படம் ஒரு சமன்பாட்டின் மூலங்கள் → $x$-அச்சு வெட்டுக்கள். இரு சமன்பாடுகளின் தீர்வு → வரைபுகள் வெட்டும் புள்ளிகள். வரைபு ஒரு "காட்சி சாதனம்" — கண்ணால் பதில் தெரியும்.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) பெறுமான அட்டவணையில் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் தனியே கணிக்கவும் — கூட்டல் தவறாகிவிடும்.
(2) சமச்சீர் அச்சு $x = -\dfrac{b}{2a}$ — அடையாளத்தை கவனமாக பாருங்கள்.
(3) மூலங்கள் = $x$-வெட்டுக்கள் ($y = 0$), $y$-வெட்டு அல்ல ($x = 0$ ஆக்கும் போது $y$-வெட்டு).
(4) $a$ இன் அடையாளம் ∪/∩ வடிவத்தை தீர்மானிக்கிறது — முதலில் பார்க்கவும்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

📄 பழைய வினாத்தாள் வினாக்கள்

இவ்வலகுடன் பொருந்தும் உண்மையான சா/த வினாக்கள் — முழுத் தீர்வுடன்.

2015 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$y = 2x + c$ என்னும் நேர்கோடு $(1, 5)$ எனும் புள்ளி வழியே செல்லுமெனின் $c$ இன் பெறுமானத்தைக் காண்க.

2018 டிசம்பர் — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$(0, 8)$, $(2, 4)$ ஆகிய புள்ளிகளினூடாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் படித்திறனை (gradient) காண்க.

2020 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$(0, 2)$, $(5, 2)$ ஆகிய புள்ளிகளினூடாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் (i) படித்திறன் (ii) $y$-வெட்டுத்துண்டு காண்க.

2024 — வினாத்தாள் I (பகுதி A)

$(4, 6)$, $(6, 9)$ ஆகிய புள்ளிகளினூடாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

இருபடி வரைபு $y = ax^2 + bx + c$ — பரவளைவு. $a>0$ ∪, $a<0$ ∩.
சமச்சீர் அச்சு $x = -\dfrac{b}{2a}$.
மூலங்கள் = $x$-வெட்டுக்கள் ($y=0$).
திருப்பப் புள்ளி: அச்சு $x$ இல் $y$ கணி.
ஒருங்கமை சமன்பாடு: இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியே தீர்வு.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$y=x^2-4x+3$: அட்டவணை $3,0,-1,0,3$; மூலங்கள் $1,3$; அச்சு $x=2$; வெர்டெக்ஸ் $(2,-1)$.
காரணியாக்கம்: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ → மூலங்கள் $3,-1$.
கோடு+வளைவு: $x^2-4x+3 = x-1 \Rightarrow x=1,4$.
$y<0$: மூலங்களுக்கு இடையில் ($1
ஒருங்கமை: $y=x+1, y=2x-1 \Rightarrow (2,3)$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

வரைபால் சமன்பாடு: $x^2-4x+1=0 \Leftrightarrow x^2-4x+3=2$ → $y=2$ கோடு வரை.
$y=x^2, y=x+2$: $x^2-x-2=0 \Rightarrow (2,4),(-1,1)$.
எச்சரிக்கை: அட்டவணையில் முழுச் சார்பையும் கணி; அச்சு $-b/2a$.
மூலங்கள் $=x$-வெட்டு, $y$-வெட்டு அல்ல.

📝 மேலும் பயிற்சி