1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 21 · P3

வட்ட நாற்பக்கல்கள்

Cyclic quadrilaterals — opposite angles, exterior angle

★★★★★ வட்ட நாற்பக்கல்cyclicகோணம்

ஒரு சதுர கண்ணாடி சட்டத்தை கலைஞன் ஒரு வட்ட வடிவ திரையில் பொருத்த வேண்டும். நான்கு மூலைகளும் வட்டத்தின் மீது சரியாக அமைந்தால் — இதுவே வட்ட நாற்பக்கல் (cyclic quadrilateral). இந்த ஒரு நிலை ஒரு அற்புதமான விளைவை தருகிறது: எதிரே உள்ள இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180°$. இந்த ஒரு தேற்றத்தைக் கொண்டு பல கோண கணக்குகளை தீர்க்கலாம்.

படி 1 — வட்ட நாற்பக்கல் என்றால்?

$A, B, C, D$ — நான்கு உச்சியும் வட்டத்தின் மீது. $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$

படி 2 — தேற்றம் 1: எதிர்க் கோணங்கள் $180°$

ஏன் இப்படி? ஒரு வில் (arc) மையத்தில் செய்யும் கோணம் = அந்த வில் சுற்றளவில் செய்யும் கோணத்தின் இரு மடங்கு என்று அறிவோம். $ABCD$ வட்ட நாற்பக்கலில், $\angle A$ மற்றும் $\angle C$ ஆகியவை சேர்ந்து முழு $360°$ மையக் கோணத்தின் பாதியைப் பகிர்ந்துகொள்கின்றன. ஆகவே $\angle A + \angle C = \dfrac{360°}{2} = 180°$.

வட்ட நாற்பக்கல் $ABCD$ $\angle A + \angle C = 180°$ மற்றும் $\angle B + \angle D = 180°$.

$\angle A = 70°$: $\angle C = 180° - 70° = 110°$.

$\angle B = 3x$, $\angle D = x$: $3x + x = 180° \Rightarrow x = 45°$. எனவே $\angle B = 135°$, $\angle D = 45°$.

$\angle A = 95°$, $\angle C = 80°$: $95 + 80 = 175° \ne 180°$ → வட்ட நாற்பக்கல் இல்லை.

படி 3 — தேற்றம் 2: புறக் கோணம் = எதிர் உட்கோணம்

ஒரு பக்கத்தை நீட்டியதால் வெளியே உருவாகும் புறக் கோணம் அதற்கு எதிரே உள்ள உட்கோணத்திற்கு சமம். (ஏன்? புறக் கோணம் + அருகில் உள்ள உட்கோணம் $= 180°$; எதிர் உட்கோணமும் அந்த அருகில் உள்ள உட்கோணத்துடன் $= 180°$ → இரண்டும் சமம்.)

$BC$ ஐ $E$ வரை நீட்ட, புறக் கோணம் $\angle DCE = \angle A$. $\angle A = 75°$ எனில் $\angle DCE = 75°$.

படி 4 — ஆரங்களும் இருசமபக்க முக்கோணியும்

மையம் $O$ இலிருந்து வட்டத்தின் இரு உச்சிகளுக்கு வரையும் ஆரங்கள் சமம் → $\triangle OAB$ ஒரு இருசமபக்க முக்கோணி. அடிக் கோணங்கள் சமம் என்பதை பயன்படுத்தி மேல்கட்ட கோண கணக்குகளை தீர்க்கலாம்.

$OA = OB$ (ஆரங்கள்), $\angle OAB = 50°$ → $\angle OBA = 50°$; $\angle AOB = 180° - 50° - 50° = 80°$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) எதிர்க் கோணங்கள் = $A$–$C$ அல்லது $B$–$D$ — அடுத்தடுத்த கோணங்கள் $180°$ ஆவதில்லை.
(2) இந்த தேற்றம் வட்ட நாற்பக்கலுக்கு மட்டுமே — நான்கு உச்சியும் வட்டத்தின் மீது இருக்கவேண்டும்.
(3) புறக் கோணம் = எதிர் உட்கோணம் (அடுத்துள்ள உட்கோணம் அல்ல).
(4) ஆரங்கள் சமம் → இருசமபக்க முக்கோணி → அடிக் கோணங்கள் சமம்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

வட்ட நாற்பக்கல் = நான்கு உச்சியும் ஒரே வட்டத்தின் மீது.
தேற்றம் 1: எதிர்க் கோணங்கள் $180°$ ஆக நிரப்பும் — $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$.
தேற்றம் 2: புறக் கோணம் $=$ எதிரே உள்ள உட்கோணம்.
ஆரங்கள் சமம் $\Rightarrow$ இருசமபக்க முக்கோணி (அடிக் கோணம் சமம்).

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

$\angle A = 70° \Rightarrow \angle C = 110°$.
$\angle A = 2x, \angle C = x \Rightarrow 3x = 180° \Rightarrow x = 60°$.
மையக் கோணம் $= 2 \times$ சுற்றளவுக் கோணம் (ஒரே வில்).
புறக் கோணம் $115° \Rightarrow$ எதிர் உட்கோணம் $115°$, அடுத்த உட்கோணம் $65°$.

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

செவ்வகம்/சதுரம் — வட்ட நாற்பக்கல் ($90° + 90° = 180°$).
எச்சரிக்கை: எதிர்க் கோணம் ($A$–$C$), அடுத்தடுத்ததல்ல. புறம் $=$ எதிர் (அடுத்ததல்ல).
நிறுவலில் காரணம் (எதிர்க் கோணம்/இருசமபக்கம்/சர்வசமம்) எழுது.

📝 மேலும் பயிற்சி