🔢
அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொ.ம.க.சி (LCM)
Least Common Multiple of Algebraic Expressions · Grade 10, Unit 12
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 எண்களின் LCM — மீட்டல்
அட்சரகணிதக் கோவைகளின் LCM காணும் முன், எண்களின் LCM காணும் முறையை நினைவுபடுத்திக் கொள்வோம் — அதே எண்ணம்தான் கோவைகளுக்கும் நீளும். ஒவ்வொரு எண்ணையும் முதன்மைக் காரணிகளின் வலுவாக எழுதி, ஒவ்வொரு வேறுபட்ட முதன்மை எண்ணின் மிகப் பெரிய வலுவை மட்டும் எடுத்துப் பெருக்கினால் LCM கிடைக்கும். "மிகப் பெரிய வலு" என்பதே திறவுகோல் — எல்லா வலுக்களையும் பெருக்கக் கூடாது.
செய்துகாட்டல்$6, 8, 12$ இன் LCM காண்போம். முதலில் ஒவ்வொன்றையும் காரணிப்படுத்துவோம்: $6 = 2\times3$, $8 = 2^3$, $12 = 2^2\times3$. இதில் வரும் முதன்மை எண்கள் $2$ உம் $3$ உம் மட்டுமே. $2$ இன் மிகப் பெரிய வலு $2^3$ (எட்டில் இருந்து வந்தது); $3$ இன் மிகப் பெரிய வலு $3^1$. இறுதியாக இவற்றைப் பெருக்கினால் $$\text{LCM} = 2^3 \times 3 = 24$$ கிடைக்கிறது. சோதனை: $24$ ஐ $6, 8, 12$ மூன்றும் சரியாக வகுக்கின்றனவா எனப் பார்த்தால் — ஆம், $24\div6=4$, $24\div8=3$, $24\div12=2$.
2 ஒற்றை உறுப்புக் கோவைகளின் LCM
எழுத்து மாறிகள் (variables) கொண்ட ஒற்றை உறுப்புக் கோவைகளுக்கும் அதே முறையே செல்லும் — எண் காரணிகளுக்கும் எழுத்து மாறிகளுக்கும் தனித்தனியே மிகப் பெரிய வலுவை எடுக்க வேண்டும்.
செய்துகாட்டல்$4a^2,\ 6ab,\ 8b$ இன் LCM காண்போம். முதலில் ஒவ்வொன்றையும் காரணிப்படுத்துவோம்: $4a^2 = 2^2 a^2$, $6ab = 2\cdot3\cdot a\cdot b$, $8b = 2^3 b$. இப்போது ஒவ்வொரு காரணிக்கும் மிகப் பெரிய வலுவைத் தேடுவோம்: $2$ இன் பெரிய வலு $2^3$, $3$ இன் பெரிய வலு $3^1$, $a$ இன் பெரிய வலு $a^2$, $b$ இன் பெரிய வலு $b^1$. அனைத்தையும் பெருக்கினால் $$\text{LCM} = 2^3 \times 3 \times a^2 \times b = 24a^2b$$ கிடைக்கிறது. எண்ணுக்கும் ($24$) ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ($a^2$, $b$) தனித்தனியே மிகப் பெரிய வலு எடுத்ததைக் கவனியுங்கள்.
3 ஈருறுப்புக் காரணிகள் கொண்ட கோவைகள்
$(x+2)$ போன்ற ஈருறுப்புக் காரணிகள் இருந்தால், அவற்றை ஒரு "தனி முதன்மைக் காரணி" போலவே நடத்த வேண்டும் — ஆனால் அதற்கு முன் கோவையைக் காரணிப்படுத்த வேண்டும். காரணிப்படுத்தாமல் நேரடியாக LCM காண முயலவே கூடாது.
செய்துகாட்டல்$2x+4$ உம் $3x-9$ உம் தரப்பட்டால், முதலில் ஒவ்வொன்றையும் காரணிப்படுத்துவோம்: $2x+4 = 2(x+2)$, $3x-9 = 3(x-3)$. இப்போது வேறுபட்ட காரணிகள் தெரிகின்றன — $2$, $3$, $(x+2)$, $(x-3)$. இவை நான்கும் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டவை என்பதால் அனைத்தையும் பெருக்குவோம்: $$\text{LCM} = 2 \times 3 \times (x+2)(x-3) = 6(x+2)(x-3)$$
வலு (power) கொண்ட காரணிகள் வந்தாலும் அதே "மிகப் பெரிய வலு" விதி பொருந்தும். $15x^2,\ 20(x+1),\ 10(x+1)^2$ தரப்பட்டால் — எண் காரணிகளின் பொ.ம.க.சி $60$ ($15=3\cdot5$, $20=2^2\cdot5$, $10=2\cdot5$; பெரிய வலுக்கள் $2^2, 3, 5$ → $60$), $x$ இன் பெரிய வலு $x^2$, $(x+1)$ இன் பெரிய வலு $(x+1)^2$. எனவே $$\text{LCM} = 60x^2(x+1)^2$$
4 $(a-b)$ மற்றும் $(b-a)$ — ஒரே காரணி, குறி மட்டும் வேறு
சில நேரங்களில் ஒரு கோவையில் $(a-b)$ எனவும் மற்றொன்றில் $(b-a)$ எனவும் தோன்றும். இவை இரண்டு வெவ்வேறு காரணிகள் அல்ல — $(b-a) = -(a-b)$ என்ற இயற்கணித உண்மையின்படி, குறி மட்டும் மாறுபட்ட ஒரே காரணிதான். LCM காணும்போது இரண்டையும் ஒரே வடிவத்துக்கு (எ.கா. எப்போதும் $(a-b)$ வடிவுக்கு) மாற்றிக்கொள்ள வேண்டும், இல்லையேல் இரண்டு தனிக் காரணிகளாகத் தவறாகக் கணக்கிடிவிடுவீர்கள்.
செய்துகாட்டல்$(b-a),\ 2(a-b),\ 4a^2(a-b)^2$ தரப்பட்டால், முதலில் $(b-a)$ ஐ $-(a-b)$ ஆக மாற்றுவோம். இப்போது எல்லாமே $(a-b)$ வடிவில் உள்ளன — வேறுபட்ட காரணிகள் $2$, $a^2$, $(a-b)^2$ (பெரிய வலு). குறியையும் சேர்த்துக் கொண்டால் $$\text{LCM} = -4a^2(a-b)^2$$
5 இருபடிக் காரணிகளும் சேர்ந்தபோது
கோவையில் $x^2+5x+6$ போன்ற இருபடிக் கோவை (quadratic expression) இருந்தால், அதை நேரடியாக LCM இல் பயன்படுத்த முடியாது — முதலில் அதை (அலகு 7 இல் கற்ற முறைப்படி) இரு ஈருறுப்புக் காரணிகளாக காரணிப்படுத்த வேண்டும். அதன் பின்னரே வழக்கம் போல வேறுபட்ட காரணிகளின் மிகப் பெரிய வலுவை எடுக்கலாம்.
செய்துகாட்டல்$3(x+2)^2,\ x^2+5x+6,\ 2x^2+7x+3$ இன் LCM காண்போம். முதலில் இரு இருபடிக் கோவைகளையும் காரணிப்படுத்துவோம்: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ ($2\times3=6$, $2+3=5$ என்பதால்); $2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)$ (விரித்துப் பார்த்தால் $2x^2+x+6x+3=2x^2+7x+3$ சரியாகிறது). இப்போது மூன்று கோவைகளையும் காரணி வடிவில் அடுத்தடுத்து வைப்போம்: $3(x+2)^2$, $(x+2)(x+3)$, $(x+3)(2x+1)$. வேறுபட்ட காரணிகள் $3$, $(x+2)$, $(x+3)$, $(2x+1)$ — இவற்றுள் $(x+2)$ மட்டும் முதல் கோவையில் வலு $2$ ஆக உள்ளது, மற்றவை வலு $1$. எனவே $$\text{LCM} = 3(x+2)^2(x+3)(2x+1)$$
6 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1காரணிப்படுத்தாமல் LCM காண முயல்வது. $x^2-9$ ஐ $(x-3)(x+3)$ ஆக்கியபின்தான் அதன் உண்மையான காரணிகள் தெரியும் — காரணிப்படுத்தாமல் விட்டால் தவறான LCM வரும்.
⚠ தவறு 2ஒவ்வொரு காரணியின் எல்லா வலுக்களையும் பெருக்குவது. LCM இல் ஒவ்வொரு வேறுபட்ட காரணியின் மிகப் பெரிய வலு மட்டுமே தேவை, எல்லா கோவைகளிலும் தோன்றும் ஒவ்வொரு வலுவும் அல்ல.
✔ நினைவில் கொள்ளுங்கள்$(b-a) = -(a-b)$ — இரண்டையும் ஒரே வடிவமாகக் கருதி LCM காணுங்கள். எப்போதும் இறுதி விடையைத் திரும்பப் பெருக்கிச் சரிபார்க்க முடியும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
LCM = பொது மடங்குகூட்டுச் சிறியது (பொ.ம.க.சி)
Prime factor = முதன்மைக் காரணி
Highest power = மிகப் பெரிய வலு
Factorise = காரணிப்படுத்து
Binomial factor = ஈருறுப்புக் காரணி
Quadratic expression = இருபடிக் கோவை
(a−b) = −(b−a) = குறி மாற்று உறவு
Distinct factor = வேறுபட்ட காரணி