🔢
அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்
Algebraic Fractions · Grade 10, Unit 13
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 அட்சரகணிதப் பின்னம் என்றால் என்ன?
தொகுதியிலோ (numerator) பகுதியிலோ (denominator) ஒரு அட்சரகணிதக் கோவை (எழுத்து மாறி உள்ள கோவை) இருந்தால், அது அட்சரகணிதப் பின்னம் எனப்படும் — உதாரணமாக $\dfrac{x}{4}$, $\dfrac{2}{x}$, $\dfrac{2x+1}{x+3}$ போன்றவை. இவற்றைக் கூட்டவோ கழிக்கவோ, சாதாரண எண் பின்னங்களைக் கூட்டுவது போலவே செய்ய வேண்டும்: பகுதிகளின் பொது மடங்குகூட்டுச் சிறியதை (LCM) பொதுப் பகுதியாக ஆக்கி, பின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு அல்லது கழி. இந்த அலகில் பின்னம் (அலகு 3), காரணிப்படுத்தல் (அலகு 7), LCM (அலகு 12) — மூன்று திறன்களும் ஒன்றுசேர்கின்றன.
2 ஒற்றை உறுப்புப் பகுதிகள்
பகுதிகள் $x$, $2x$, $3a$ போன்ற ஒற்றை உறுப்புகளாக இருக்கும்போது, முதலில் அவற்றின் பொ.ம.க.சி ஐக் கண்டு பொதுப் பகுதியாக்குகிறோம், பின் ஒவ்வொரு பின்னத்தின் தொகுதியையும் அதற்கேற்ப பெருக்கிச் சரிசெய்கிறோம், இறுதியாக தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டுகிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம்.
செய்துகாட்டல் 1$\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{2x}$ ஐக் கூட்டுவோம். பகுதிகள் $x$ உம் $2x$ உம்; இவற்றின் பொ.ம.க.சி $2x$. முதல் பின்னத்தை $2x$ பகுதியாக மாற்ற, மேலும் கீழும் $2$ ஆல் பெருக்குவோம்: $\dfrac2x = \dfrac{4}{2x}$. இரண்டாவது பின்னம் ஏற்கனவே $2x$ பகுதியில் உள்ளது. இப்போது பகுதி ஒன்றானதால் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டலாம்: $$\frac{4}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{7}{2x}$$
செய்துகாட்டல் 2$\dfrac{5}{3a} - \dfrac{3}{4a}$ ஐக் கழிப்போம். பகுதிகள் $3a$ உம் $4a$ உம்; பொ.ம.க.சி $12a$. முதல் பின்னத்தை $4$ ஆலும் இரண்டாவதை $3$ ஆலும் பெருக்குவோம்: $\dfrac{5}{3a}=\dfrac{20}{12a}$, $\dfrac{3}{4a}=\dfrac{9}{12a}$. இறுதியாக $$\frac{20}{12a} - \frac{9}{12a} = \frac{11}{12a}$$
மாறி வேறுபட்ட பகுதிகள் வந்தாலும் அதே முறை. $\dfrac{2}{3x} + \dfrac{5}{4y^2}$ இல் பொ.ம.க.சி $12xy^2$; முதல் பின்னத்தை $4y^2$ ஆலும் இரண்டாவதை $3x$ ஆலும் பெருக்கினால் $$\frac{8y^2}{12xy^2} + \frac{15x}{12xy^2} = \frac{8y^2 + 15x}{12xy^2}$$ கிடைக்கும் — இங்கு $8y^2$ உம் $15x$ உம் வெவ்வேறு உறுப்புகள் என்பதால் மேலும் கூட்ட முடியாது, அப்படியே விட்டு விடுகிறோம்.
3 ஈருறுப்புப் பகுதிகள்
பகுதிகள் $(x+3)$ போன்ற ஈருறுப்புகளாக இருக்கும்போது, பெரும்பாலும் இரண்டுக்கும் பொதுவான காரணி எதுவும் இல்லாததால், அவற்றின் பொ.ம.க.சி வெறுமனே இரண்டையும் பெருக்கியதே — $(x+3)(x+4)$. பொதுப் பகுதியாக்கியபின், தொகுதியை மட்டும் விரித்துச் சுருக்குகிறோம்; பகுதியை காரணி வடிவிலேயே வைத்திருக்கிறோம்.
செய்துகாட்டல் 3$\dfrac{2}{x+3} + \dfrac{3}{x+4}$ ஐக் கூட்டுவோம். பொ.ம.க.சி $(x+3)(x+4)$. முதல் பின்னத்தின் தொகுதியை $(x+4)$ ஆலும் இரண்டாவதை $(x+3)$ ஆலும் பெருக்குவோம்: $$= \frac{2(x+4) + 3(x+3)}{(x+3)(x+4)}$$ இப்போது தொகுதியை மட்டும் விரிப்போம்: $2(x+4)=2x+8$, $3(x+3)=3x+9$; இவற்றைக் கூட்டினால் $2x+8+3x+9=5x+17$. இறுதி விடை $$\frac{2x+8+3x+9}{(x+3)(x+4)} = \frac{5x+17}{(x+3)(x+4)}$$
4 பகுதியில் இருபடிக் கோவை — முதலில் காரணிப்படுத்து
பகுதியில் $x^2-3x-10$ போன்ற இருபடிக் கோவை (quadratic expression) இருந்தால், அதை நேரடியாகப் பார்த்து பொதுப் பகுதி கண்டுபிடிக்க முடியாது — முதலில் அதை காரணிப்படுத்த வேண்டும் (அலகு 7 இன் முறை). காரணிப்படுத்தியபின்தான் உண்மையான பொ.ம.க.சி தெளிவாகத் தெரியும்.
செய்துகாட்டல் 4$\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x^2 - 3x - 10}$ ஐக் கூட்டுவோம். முதலில் இருபடிப் பகுதியைக் காரணிப்படுத்துவோம்: $x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$ (சரிபார்க்க: $-5\times2=-10$, $-5+2=-3$ ✓). இப்போது கோவை $$= \frac{1}{x+2} + \frac{1}{(x+2)(x-5)}$$ ஆக மாறுகிறது — பொ.ம.க.சி $(x+2)(x-5)$ என்பது இப்போது தெளிவாகத் தெரிகிறது. முதல் பின்னத்தின் தொகுதியை $(x-5)$ ஆல் பெருக்கினால் $$= \frac{(x-5) + 1}{(x+2)(x-5)} = \frac{x-4}{(x+2)(x-5)}$$
இறுதியில் எப்போதும் சுருங்குமா எனப் பார்க்க வேண்டும் — சில நேரங்களில் தொகுதி பகுதியின் ஒரு காரணியால் சரியாக வகுபடும். எடுத்துக்காட்டாக $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} - \dfrac{2}{x^2-1}$ இல் $x^2-1=(x-1)(x+1)$; தொகுதிகளை பொதுப் பகுதி $(x-1)(x+1)$ மீது கொண்டு வந்து கூட்டினால் தொகுதி $4x-4=4(x-1)$ ஆக வருகிறது; இப்போது $(x-1)$ மேலும் கீழும் ஒன்றாக இருப்பதால் சுருங்கி, இறுதி விடை $\dfrac{4}{x+1}$ என எளிதாகிறது.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1பகுதிகளையும் சேர்த்துக் கூட்டி விடுவது. பொதுப் பகுதிக்கு மாற்றியபின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்ட வேண்டும் அல்லது கழிக்க வேண்டும்; பகுதி எப்போதும் அதே பொதுப் பகுதியாகவே இருக்க வேண்டும்.
⚠ தவறு 2கழித்தலில் இரண்டாம் பின்னத்தின் முழுத் தொகுதியையும் எதிர்க்குறியாக்க மறப்பது. $-\dfrac{3x+1}{x+2}$ இல் $-(3x+1) = -3x-1$ என விரிக்க வேண்டும் — $-3x+1$ அல்ல.
⚠ தவறு 3பகுதியில் இருபடிக் கோவை வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்த மறப்பது. காரணிப்படுத்தாமல் பொதுப் பகுதி காண முடியாது.
✔ நினைவில் கொள்ளுங்கள்கடைசியில் எப்போதும் விடை சுருங்குமா எனச் சரிபார்க்கவும் — பல தேர்வுக் கேள்விகளில் இதுவே கடைசி படி.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Algebraic fraction = அட்சரகணிதப் பின்னம்
Numerator = தொகுதி
Denominator = பகுதி
Common denominator = பொதுப் பகுதி
LCM = பொது மடங்குகூட்டுச் சிறியது
Factorise = காரணிப்படுத்து
Simplify = சுருக்கு
Quadratic denominator = இருபடிப் பகுதி