📐
அமைப்புகள் (Constructions)
Geometric Constructions · Grade 10, Unit 28
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 ஒழுக்கு (Locus) என்றால் என்ன?
கடிகாரத்தில் செக்கன் முள் $3.5$ cm நீளம் கொண்டது. அது ஒரு நிமிடம் சுழலும்போது, அதன் முனை எப்போதும் மையத்திலிருந்து $3.5$ cm தூரத்தில் இருக்கிறது — அந்தத் தூரம் ஒருபோதும் மாறுவதில்லை. இந்த மாறாத் தூர நிபந்தனையை நிறைவேற்றும் எல்லாப் புள்ளிகளும் சேர்ந்து அமையும் பாதையையே ஒழுக்கு (locus) என்கிறோம் — இந்த உதாரணத்தில் அது ஒரு வட்டம். இந்த அலகில் கவராயமும் நேர்கோட்டு அளவியும் மட்டுமே பயன்படுத்தி, அளவீடு இல்லாமல் துல்லியமான கோணங்களையும் வடிவங்களையும் அமைப்பதைக் கற்போம்.
2 நான்கு அடிப்படை ஒழுக்குகள்
நான்கு நிலைமைகளுக்கும் நான்கு வெவ்வேறு ஒழுக்குகள் உருவாகும் — இவை அமைப்பியலின் அடித்தளம்:
- ஒரு நிலைப் புள்ளியிலிருந்து மாறாத் தூரம் கொண்ட புள்ளிகளின் ஒழுக்கு → வட்டம்
- இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் சம தூரம் கொண்ட புள்ளிகளின் ஒழுக்கு → செங்குத்து இருசமக்கூறி (perpendicular bisector)
- ஒரு கோட்டிலிருந்து மாறாத் தூரம் கொண்ட புள்ளிகளின் ஒழுக்கு → இரு சமாந்தர கோடுகள் (கோட்டின் இருபுறமும் ஒன்று)
- இரு வெட்டும் கோடுகளிலிருந்தும் சம தூரம் கொண்ட புள்ளிகளின் ஒழுக்கு → கோண இருசமக்கூறிகள்
செய்துகாட்டல் — செங்குத்து இருசமக்கூறி$A$, $B$ எனும் இரு புள்ளிகள் தரப்பட்டால், அவற்றிலிருந்து சம தூரத்தில் உள்ள எல்லாப் புள்ளிகளையும் அமைக்க: முதலில் $A$ ஐ மையமாக வைத்து, $AB$ இன் அரைநீளத்தை விடக் கூடிய ஆரையால் ஒரு வில் வரைவோம். அடுத்து அதே ஆரையுடன் $B$ ஐ மையமாக வைத்து மற்றொரு வில் வரைவோம். இந்த இரு வில்களும் இரு இடங்களில் வெட்டும் — அந்த வெட்டுப் புள்ளிகளை $C$, $D$ என்போம். இறுதியாக $C$ யையும் $D$ யையும் இணைக்கும் கோடு $CD$ ஐ வரைந்தால், அதுவே $AB$ ஐ செங்குத்தாக இருசமக்கூறிடும் கோடு — அதன் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் $A$, $B$ இரண்டிலிருந்தும் சம தூரத்தில் இருக்கும்.
3 முக்கோணி அமைத்தல் — எவை தரப்பட்டுள்ளன என்பதைப் பொறுத்து முறை
தரப்பட்ட தகவலைப் பொறுத்து மூன்று முக்கிய அமைப்பு முறைகள் உள்ளன:
- 3 பக்கம் (ப.ப.ப.): வில்-வெட்டு முறை பயன்படுத்தப்படும்.
- 2 பக்கம் + அடைகோணம் (ப.கோ.ப.): கோணம் வரைந்து, பின் பக்க நீளங்களை வில் மூலம் குறிக்கப்படும்.
- 2 கோணம் + 1 பக்கம் (கோ.ப.கோ.): இரு முனைகளிலும் கோணங்கள் வரைந்தால், மூன்றாம் உச்சி தானாகவே கிடைக்கும்.
செய்துகாட்டல் 1 — ப.ப.ப. அமைப்பு$AB=6$ cm, $BC=5.5$ cm, $AC=4.3$ cm கொண்ட முக்கோணி அமைக்க வேண்டும் என வைத்துக்கொள்வோம். முதலில் $AB=6$ cm நீளமுள்ள கோட்டை நேர்கோட்டு அளவியால் வரைவோம். அடுத்து $B$ ஐ மையமாக வைத்து $5.5$ cm ஆரையில் ஒரு வில் வரைவோம். பின்னர் $A$ ஐ மையமாக வைத்து $4.3$ cm ஆரையில் மற்றொரு வில் வரைவோம். இந்த இரு வில்களும் வெட்டும் புள்ளியே மூன்றாம் உச்சி $C$ — இறுதியாக $AC$ யையும் $BC$ யையும் இணைத்தால் முக்கோணி முழுமையாகும்.
செய்துகாட்டல் 2 — கோ.ப.கோ. அமைப்பு$XY = 6.5$ cm, $\hat{XYZ} = 45°$, $\hat{YXZ} = 60°$ கொண்ட முக்கோணி அமைக்க வேண்டும். முதலில் மூன்றாம் கோணத்தை கணக்கிட்டு விடுவோம் — ஏனெனில் அதை அறிந்திருந்தால்தான் இரண்டு கோணங்களையும் சரியான திசையில் வரைய முடியும். முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் கூடி $180°$ தருவதால் $$\hat{XZY} = 180° - 45° - 60° = 75°$$ இப்போது $XY = 6.5$ cm கோடு வரைந்து, $X$ இல் $60°$ கோணமும் $Y$ இல் $45°$ கோணமும் அமைத்தால், அவ்விரு கோடுகளும் நீட்டி வெட்டும் புள்ளியே மூன்றாம் உச்சி $Z$.
4 பைதகரஸுடன் இணைந்த அமைப்பு
அமைப்புகள் வெறும் வரைபடமாக மட்டுமல்ல, கணக்கீட்டுடன் இணைந்தும் வரும். ஒரு செங்கோண முக்கோணியை அமைத்தால், அதன் கர்ணத்தின் நீளத்தைப் பைதகரஸ் தேற்றத்தால் முன்கூட்டியே கணக்கிட்டுவிடலாம்.
செய்துகாட்டல் 3$AB = 6$ cm, $\hat{ABC} = 90°$, $BC = 4$ cm கொண்ட செங்கோண முக்கோணி அமைத்தால், அதன் கர்ணம் $AC$ இன் நீளம் என்ன என்பதை வரைவதற்கு முன்பே கணக்கிடலாம். பைதகரஸ் தேற்றப்படி $$AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} \approx 7.2 \text{ cm}$$ இவ்வாறு அமைப்பின் மூலமாகவே $\sqrt{52}$ போன்ற ஓர் விகிதமுறா எண்ணின் அண்ணளவுப் பெறுமானத்தையும் கண்டுகொள்ளலாம் — நேர்கோட்டு அளவியால் $AC$ ஐ அளந்தால் தோராயமாக $7.2$ cm எனக் காணப்படும்.
5 சமாந்தர கோடுகளும் ஒழுக்குகளின் சந்திப்பும்
ஒரு புள்ளியூடாக ஒரு கொடுக்கப்பட்ட கோட்டுக்குச் சமாந்தரமாக ஒரு கோடு அமைக்க வேண்டுமெனில், ஒத்த கோணம், ஒன்றுவிட்ட கோணம், அல்லது சாய்சதுர முறையில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம். இவை இணைகரம், சாய்சதுரம், சரிவகம் போன்ற வடிவங்களை அமைக்க உதவும்.
இரு வெவ்வேறு ஒழுக்குகளின் வெட்டுப் புள்ளி என்பது, அந்த இரு நிபந்தனைகளையும் ஒருங்கே நிறைவேற்றும் புள்ளி. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணியின் மூன்று பக்கங்களின் இரு செங்குத்து இருசமக்கூறிகளையும் வரைந்தால், அவை வெட்டும் புள்ளி — அதுவே சுற்றுவட்ட மையம் (circumcentre); அந்தப் புள்ளி முக்கோணியின் மூன்று முனைகளிலிருந்தும் ($A$, $B$, $C$) சம தூரத்தில் இருக்கும் ($OA=OB=OC$), ஏனெனில் அது ஒரே நேரத்தில் இரு செங்குத்து இருசமக்கூறிகளின் மீதும் அமைந்திருக்கிறது.
6 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1அமைப்பில் வில்-குறிகளை (arc marks) அழித்துவிடுவது. பரீட்சையாளர் உங்கள் அமைப்பு முறையை சரிபார்க்க அவை அவசியம் — அழிக்காமல் அப்படியே விட வேண்டும்.
⚠ தவறு 2ப.ப.ப. அமைப்பில் வில் ஆரை போதுமான அளவு பெரியதாக இல்லாதது. இரு வில்களும் வெட்ட வேண்டுமெனில், ஒவ்வொரு ஆரையும் குறைந்தது அரைப் பக்க நீளத்தையாவது கூடியதாக இருக்க வேண்டும்; இல்லையேல் வில்கள் ஒன்றையொன்று சந்திக்காது.
⚠ தவறு 3கோ.ப.கோ. அமைப்பில் மூன்றாம் கோணத்தை முன்கூட்டியே கணக்கிடாமல் நேரடியாக வரைய முயல்வது — திசை தவறாகிவிடும் அபாயம் உண்டு.
✔ நினைவில் கொள்ளுங்கள்ஒழுக்கு என்பது நிபந்தனையை நிறைவேற்றும் எல்லாப் புள்ளிகளையும் குறிக்கும் — ஒரு புள்ளி மட்டுமல்ல, முழுப் பாதையும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Locus = ஒழுக்கு
Perpendicular bisector = செங்குத்து இருசமக்கூறி
Angle bisector = கோண இருசமக்கூறி
Arc = வில் (குறி)
SSS / ப.ப.ப. = பக்கம்-பக்கம்-பக்கம்
SAS / ப.கோ.ப. = பக்கம்-கோணம்-பக்கம்
ASA / கோ.ப.கோ. = கோணம்-பக்கம்-கோணம்
Circumcentre = சுற்றுவட்ட மையம்